- Conhecer por meio da história da matemática conceitos da Geometria antiga dos Japoneses.

Conhecimentos básicos de geometria.

Atividade 1

Professor, para iniciar essa aula, você pode propor aos alunos tabuleiros do jogo Sudoku. Essa atividade pode ser desenvolvida no laboratório de informática, onde os alunos podem desenvolver a atividade por meio do recurso que se encontra disponível em http://demonstrations.wolfram.com/SudokuGame.

O Sudoku é um jogo de quebra-cabeça baseado na colocação lógica de números. Depois de algumas rodadas do jogo, ainda no laboratório de informática, o professor pode propor uma pesquisa com os alunos na intenção de descobrir quem criou o sudoku. O encaminhamento é para descubram que ele surgiu no Japão, antes de se disseminar para além do oceano. Dando continuidade a pesquisa o professor pode conduzir de maneira que os alunos descubram que os japoneses sempre foram muito desenvolvidos na matemática, a ponto de concebê-la como arte religiosa. O professor pode partir para o questionamento:

Imagine ao andar em uma igreja, olhando para as paredes, ao invés de vitrais e estátuas,  
ver problemas de matemática inscritos em tabuletas de madeira?

Templo Japonês.
 Fonte: http://www.physics.princeton.edu/~trothman/shrine.jpg   

Mas, por que será que os japoneses escolheram templos religiosos para pendurar tabuletas com problemas matemáticos?   

É difícil imaginar que tudo isso aconteceu enquanto o Japão ficou totalmente isolado do resto do mundo, e seus estudiosos (de certa forma) foram obrigados a inventar meios para dar continuidade em suas pesquisas matemáticas.   

Atividade 2

Os alunos podem buscar imagens na internet sobre as tabuletas matemáticas, bem como sua origem. O professor deve encaminhar a pesquisa, e pode direcionar para detalhes da História do Japão.

Sugestões para o encaminhamento do professor:

Vamos aprender sobre a rica história do Japão...

Hoje em dia qualquer pessoa que caminhe pelas ruas das pequenas cidades do Japão, pode ainda ver pendurado nas entradas dos templos budistas ou santuários japoneses, gravuras com figuras geométricas, chamados Sangaku (ou tabuletas matemáticas). Antigamente, budistas e xintoístas[1] tinham hábito de oferecer a Buda ou as divindades, animais vivos em sacrifício. Ao longo do tempo, esses hábitos foram se dissociando da ligação com animais, mas as tabuletas continuaram sendo penduradas para agradecer ou solicitar algo a Buda ou alguma das divindades xintoístas. No reinado dos Togukawa, admirar “cavalos pintados” fazia parte da visita aos templos.

Muitos artistas se utilizaram dessas tabuletas para se tornarem conhecidos, pois suas obras ficavam expostas e dessa forma seu reconhecimento era garantido. Alguns locais se tornaram verdadeiras galerias de arte.

“Cavalos Pintados” são alguns dos objetos que substituíram os sacrifícios de animais como oferendas a partir do século VIII.
Fonte: Revista Scientific American, Portugal, nº 11, 2005.

Porém, nesta aula vamos estudar um momento específico da cultura japonesa, o foco do período histórico que vamos abordar é denominado Edo (antigo nome de Tókio), e vai de 1603 a 1867.

Durante grande parte do período Edo, o Japão foi um país isolado, pois era proibido de manter contato com os vizinhos históricos, China e Coréia. Nesta época, era governado de forma feudal pela família Tokugawa. Sob ameaça de pena de morte, nenhum japonês poderia manter contato com estrangeiros. O comércio era mantido apenas com dois países, Portugal e Holanda, sendo que somente um porto da baia de Nagasaki poderia receber as embarcações comerciais desses países. Livros ocidentais também foram proibidos.

Na época, atividades intelectuais, como a matemática permaneciam incentivadas, mas por causa do isolamento do país, os japoneses com grande talento matemático, precisaram forjar seus próprios caminhos. Assim, passaram a desenvolver métodos para responder questões geométricas complexas - tais como a forma como muitos círculos de um certo tamanho poderiam caber em um triângulo particular - sem o benefício das técnicas de cálculo, que eram relativamente novos na Europa na época A Matemática no Japão, no período Edo, foi desenvolvida a partir das bases chinesas. Como eles não tinham contato com os matemáticos ocidentais, inicia-se, então, um fenômeno cultural sem precedentes na história da Matemática, e por isso, os matemáticos japoneses do período Edo desenvolveram uma habilidade muito grande no uso do ábaco[2] (sorobam) e suas aplicações.

Atividade 3

No laboratório de informática, os alunos devem acessar o recurso disponível em http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12217, onde localizará algumas imagens de ábacos e sorobans. 

Ábaco 

Os alunos podem buscar no youtube vídeos que apresentem as operações com o soroban e com o ábaco. Sugestão do video Usando o Soroban disponível no YouTube em: http://www.youtube.com/watch?v=cGY2yr-35Po. O professor pode dar uns 15 a 20 minutos para que os alunos vejam os vídeos e socializem com os colegas.

E então continuar a exposição. Que foi na mesma época cultural que surgem gravuras, escritas em uma língua antiga do Japão, o Kanbun[3], com teoremas geométricos. Essas gravuras em madeira foram oferecidas aos deuses dos templos budistas e santuários xintoístas e apresentavam resultados geométricos por meio de figuras artisticamente trabalhadas, acompanhadas de um texto explicativo. Dessa forma, cada mestre lançava um desafio aos outros matemáticos rivais, uma vez que não apresentavam soluções dos problemas nelas contidos. 

Um dos 900 Sangaku que ainda sobrevivem no Japão (original em madeira).
Fonte: http://www.princeton.edu/main/images/news/2006/06/sangaku-020-i2.jpg  

Este Sangaku ilustra soluções para os enigmas usando técnicas geométricas tradicionais japonesas que se desenvolveram de forma independente dos métodos ocidentais, conforme já citamos anteriormente.  

[1] Xintoísmo é o nome dado à espiritualidade tradicional do Japão e dos japoneses, considerado também uma religião pelos estudiosos ocidentais. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Xinto%C3%ADsmo, acesso em 05 de maio de 2010. 

[2] O ábaco é um antigo instrumento de cálculo, formado por uma moldura com bastões ou arames paralelos, dispostos no sentido vertical, correspondentes cada um a uma posição digital (unidades, dezenas,...) e nos quais estão os elementos de contagem (fichas, bolas, contas,...) que podem fazer-se deslizar livremente. Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Abaco, acesso em 05 de maio de 2010. 

[3] Dialeto japonês arcaico relacionado ao chinês.

Atividade 4

Pesquisa

Com os alunos ainda no laboratório de Informática, o professor pode acessar o sítio CUT the Knot por meio do link http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Sangaku.shtml, onde pode consultar outros Sangaku com a turma.    

Observação

Como o sítio indicado acima está em inglês convém o professor instalar em seu computador um complemento de tradutor para seu navegador. Sugerimos o Google Translate que pode ser facilmente baixado na internet. (ver orientação nos recursos complementares)

Atividade 5

Com base na pesquisa feita no sítio indicado, o professor pode apresentar aos alunos o seguinte Sangaku, para que em grupo levantem diferentes hipóteses para sua solução. Lembrando que muitas vezes os resultados podem ser facilmente encontrados, e de diferentes formas e o professor precisa estar preparado para atender outras proposições.

Dados: Esta sangaku foi “pendurada” por Shigetoshi Tanabe, um jovem de quinze anos, no templo Meiseirinji em Ogaki no ano de 1865. Em um triângulo equilátero azul, estão 3 círculos verdes de raio a, 4 círculos vermelhos de raio b, e seis círculos brancos de raio c conforme a imagem. Se R é o raio do círculo exterior, e r é o raio do círculo tracejado, encontrar c em termos de r.

Orienta-se que na resolução desse e também de outros problemas Sangaku, que os alunos descrevam seus procedimentos, ou seja, que relatem de que maneira pensaram para chegar ao resultado.

Fonte: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/TeenSangaku.shtml#solution

Resolução  : r = 3b + 4c, R = 5b + 4c, R = b + 2a, a + b = 2b + 4c.

Resolvendo simultaneamente, encontramos b = 2c, a = 6c, e r = 10c.

Atividade 6

Costuma-se dizer que a prática de pendurar sangaku era tão comum que inclusive mulheres e crianças participaram dessa atividade. Embora exista uma dúvida razoável quanto à popularidade do sangaku, não há dúvida de que alguns foram pendurados por crianças muito jovens. O Sangaku que se encontra abaixo, foi proposto por Sato Naosue, 13 anos, em 1847 no templo Kannon Akahagi na cidade de Ichinoseki.

Dados: Dois círculos rosa de raio r e dois círculos brancos com um raio t estão inscritos em um quadrado, conforme mostra a figura. O quadrado é inscrito em um triângulo grande e, como ilustrado, dois círculos de raios R e r estão inscritas nos triângulos pequenos fora do quadrado. Mostrar que R = 2t

Fonte: 3-4-5 Triangle by a Kid disponível em http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/KidsSangaku.shtml  

Resolução:

Fonte: 3-4-5 Triangle by a Kid disponível em http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/KidsSangaku.shtml#Solution  

Obviamente, o lado do quadrado é de comprimento 4r. Uma aplicação do teorema de Pitágoras (no triângulo tracejado) mostra que r = 3t/ 2.   

Usando o teorema de Pitágoras novamente no pequeno triângulo superior, pode se observar que o triângulo torna-se o famoso 3-4-5 ou triângulo egípcio com o lado mais curto igual a 3r.

A partir da semelhança dos três triângulos, todos eles têm o 3-4-5 proporções que leva a 4r = 3R. E, finalmente, R = 4r/ 3 = 2horas.    

Atividade 7

Nesta atividade, o professor pode propor aos alunos, a criação de alguns Sangaku. Os alunos divididos em grupo (+ ou – 4 elementos) podem elaborar um problema matemático desafiando os colegas a encontrar a solução. Uma sugestão é que o professor pendure na sala de aula os diferentes “Sangakus” que surgirem, instigando aos alunos que busquem resultados aos problemas propostos pelos colegas.       

Resolução:

A resposta dessa atividade depende do encaminhamento do professor.

Arconcher, C. Sangaku: A Geometria Sagrada. Disponível em: http://www.rpm.org.br/conheca/49/1/sangaku.htm, acesso a 04 de maio de 2010. 

Fukagawa, A. Rothman. Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry, Princeton University Press, 2010.

Horiuchi, A. Geometria a serviço dos deuses no Japão. Scientific American, nº11.Portugal, 2005.

No Interactive Mathematics Activities, disponível em http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/index.shtml, encontram-se várias apllets de problemas de Sangaku. Com os alunos no laboratório de informática, o professor pode explorar essas animações, podendo visualizar suas evoluções e variações.  

No Wolfram MathWorld, disponível em http://mathworld.wolfram.com/topics/SangakuProblems.html, também encontram-se inúmeros Sangaku e suas resoluções. 

Sangaku diponível em: http://www.sangaku.info/, acesso em 15 de maio de 2010. 

Contemplacíon de Sangaku, disponível em http://www.xtec.cat/~rnolla/Sangaku/Sangakus3b.pdf,   acesso em 15 de maio de 2010.

Observação:  Como os sítios indicados acima estão em inglês convém o professor instalar em seu computador um complemento de tradutor para seu navegador. Sugerimos o Google Translate que pode ser facilmente encontrado na internet. Se você usa o navegador Mozilla Firefox, pode baixar seu complemento em https://addons.mozilla.org/pt-BR/firefox/addon/46308. Para aqueles que tem dificuldade com esse tipo de instalação, no link http://winlight.wordpress.com/2009/05/05/tutorial-instalando-complementos-no-mozilla-firefox/ tem um tutorial explicativo que pode ajudar. Para aqueles que usam o Internet Explorer, pode baixar o complemento do Bing disponível em http://busca.superdownloads.com.br/busca/bing-translator.html, da mesma forma link para tutorial http://www.microsoft.com/brasil/windowsxp/using/web/sp2_addonmanager.mspx.

A avaliação deverá ser diagnóstica e continua, ou seja, realizada ao longo de todo processo. No transcorrer da aula, a partir da participação dos alunos, observando a formulação de conceitos, analisando atividades, questionamentos e intervenções. Por meio do diálogo, o professor pode perceber se houve assimilação dos conteúdos propostos. Pela leitura das produções dos alunos na atividade 3, o professor avaliará, seus conhecimentos, sugerindo as mudanças e adequações se necessário e ainda, estimulando leituras a outros referênciais.