§  Reconhecer diferentes elementos geométricos em uma representação em perspectiva.

§  Identificar o espaço tridimensional a partir da representação bidimensional.

Conhecimentos prévio de leitura/recepção/apreciação de obras de arte.

Professor, apresente aos alunos a animação: Los sólidos platónicos, disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/5517, acesso em 10 de setembro de 2010. Essa animação apresenta os poliedros platônicos em uma rotação, com faces transparentes, para que o aluno tenha perspectiva a partir do interior do poliedro, ao mesmo tempo que possibilita mudar o ângulo de observação do sólido.

A ênfase deve ser no olhar os sólidos em diferentes posições, durante a rotação.

Los sólidos platónicos 

Atividade 1

Professor, após a observação da animação, separe diversos objetos. Por exemplo: Apagador do quadro de giz, caixas de diversos formatos e tamanhos, pirâmides, livros e outros objetos possíveis.

Organize os alunos em grupos (3 a 4 alunos). Em cada mesa coloque 2 a 3 objetos. Solicite que os alunos façam o desenho de cada um dos objetos no caderno, representando apenas no plano o que veem.   

Possivelmente os desenhos deverão ficar da seguinte forma:

Retângulos, quadrados, tudo espalhado, sem ordem...   

Explique aos alunos, que essa é a função da perspectiva. Representar objetos tridimensionais em um objeto bidimensional, ou seja, a folha de papel.   

Observe a mesma imagem anterior, sobre outra perspectiva:

Utilizamos regras geométricas de projeção, assim, a imagens possibilitam a percepção de uma realidade tridimensional.   

Apresentar a imagem aos alunos questionando:   

Será que os trilhos se encontram? O que acham?

Fonte: http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:xwTQwqcBXb_seM:http://1.bp.blogspot.com/_COnznlVzzvM/TB72O83tC-I/AAAAAAAABAQ/YLcG7SJDK30/s1600/trilho.jpg&t=1 

Aula Expositiva

Na sequência, orientar que na verdade não. Os trilhos são paralelos e não se encontram nunca. As linhas do desenho convergem para um ponto central para dar a sensação de distância, de profundidade. Esta é uma técnica chamada de perspectiva.   

A palavra perspectiva vem do latim - Perspicere (ver através de).  

Se você se colocar atrás de uma janela envidraçada e, sem se mover do lugar, riscar no vidro o que está "vendo através da janela", terá feito uma perspectiva; a perspectiva é a representação gráfica que mostra os objetos como eles aparecem a nossa vista, com três dimensões. Existem diferentes métodos para desenhar em perspectiva, os quais produzem diferentes resultados.

Assim, podemos definir perspectiva como a arte de representar em um papel de duas dimensões (bidimensional), um objeto de três dimensões (tridimensional). Essa técnica de representação pictórica se desenvolveu a partir do século XV, por artistas italianos. Nela, quanto mais distante o objeto estiver do observador, menor será a representação da sua figura e mais distante da base inferior da tela, que corresponde ao primeiro plano de representação. A linha do horizonte corresponde à altura dos olhos do observador. Chamamos horizonte, o lugar em que os objetos se “perdem” ao se afastar progressivamente do observador.

Fonte: http://3.bp.blogspot.com/_UWp0Kh11VyA/Sc4WWh1kAnI/AAAAAAAAAOc/0iP7EP7reuI/s1600/linha%2Bdo%2Bhorizonte.jpg 

No contexto da observação, destacamos as perspectivas isométrica, cavaleira e a cônica.

A perspectiva isométrica é a que dá a ideia menos deformada do objeto. Essa perspectiva mantém as proporções do comprimento, da largura e da altura do objeto representado. Possui as três faces oblíquas ao plano de trabalho inclinadas a 30o da horizontal.

Fonte: http://www.nilsonmachado.net/sema20090602.pdf  

O exemplo seguinte apresenta uma perspectiva cavaleira. A face do sólido que observamos frontalmente aparece sem deformações; a face superior, possivelmente um retângulo, torna-se um paralelogramo, o que mostra a preservação do paralelismo; também se preservam pontos médios de segmentos. Tem-se a impressão de que o objeto retratado é visto de longe.

Fonte: http://www.nilsonmachado.net/sema20090602.pdf      

A perspectiva cônica foi desenvolvida pelos artistas da Renascença, sendo depois matematizada, dando origem à Geometria Projetiva.

Fonte: http://www.nilsonmachado.net/sema20090602.pdf     

Professor, é importante que os alunos percebam que a ênfase está na visualização, ou seja, do ponto que se faz a observação.

Atividade 1

Com os alunos reunidos no laboratório de informática, propor a resolução das atividades previstas nos experimentos disponíveis em: http://www.uff.br/cdme/v3d/v3d-html/v3d-br.html, acesso em 10 de setembro de 2010.  

Observação: Professor, veja que são 7 experimentos que oferecem um conjunto de aplicativos orientados para o estudo das propriedades matemáticas das projeções em perspectiva e o uso destas projeções em obras de artes e fotografias. Se o seu colégio não possui laboratório de informática, você pode fazer download dos objetos e trabalhar com eles off-line (observe o menu “download para uso off-line”) ou em sala de aula com um projetor multimídia.

Experimento 1, 2 3 e 4 - Descubra se as figuras são estáticas.

Disponível em:

Experimento 1 - http://www.uff.br/cdme/v3d/v3d-html/v3d-segment-01-br.html, acesso em 10 de setembro de 2010.

Experimento 2 - http://www.uff.br/cdme/v3d/v3d-html/v3d-circle-01-br.html, acesso em 10 de setembro de 2010.

Experimento 3 - http://www.uff.br/cdme/v3d/v3d-html/v3d-polygons-01-br.html, acesso em 10 de setembro de 2010.

Experimento 4 - http://www.uff.br/cdme/v3d/v3d-html/v3d-cubes-01-br.html, acesso em 10 de setembro de 2010. 

Interlúdio 1 - Apresenta dados em um plano de projeção e um ponto O (que determina a posição do observador), a projeção em perspectiva de um ponto P neste plano com relação a O é definido como o ponto de interseção P' do plano com a reta que passa por O e por P. Para mover o ponto O, coloque o apontador do mouse sobre este ponto, mantenha a tecla “p” pressionada e, então, clique e arraste o mouse.

Disponível em: http://www.uff.br/cdme/v3d/v3d-html/v3d-perspective-01-br.html, acesso em 10 de setembro de 2010.

Experimento 5 - Ponto de fuga - Identificar nas figuras,  um conjunto de retas paralelas entre si, mas que não são paralelas ao plano da figura. Dsiponível em: http://www.uff.br/cdme/v3d/v3d-html/v3d-vanish-points-br.html, acesso em 10 de setembro de 2010.

Experimento 6 - Falsa Perspectiva. Identificar as inconsistências na gravura indicada. Disponível em: http://www.uff.br/cdme/v3d/v3d-html/v3d-hogarth-br.html, acesso em 10 de setembro de 2010. 

Experimento 7 - Imagem do cubo impossível de Escher. Disponível em: http://www.uff.br/cdme/v3d/v3d-html/v3d-escher-01-br.html, acesso em 10 de setembro de 2010. 

Atividade 2

Assistir o vídeo Forma dentro da forma [Arte e matemática], disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10463, acesso em 10 de setembro de 2010. 

Que apresenta a origem da geometria e da perspectiva, abordando a utilização destes dois conceitos pelo ser humano no campo da pintura.

Forma dentro da forma [Arte e matemática] 

Após a apresentação do vídeo, o professor deve projetar aos alunos obras de arte, para que visualizem as diferentes perspectivas. Uma sugestão é analisar a partir das obras de Escher, como por exemplo:

Mão com esfera refletida - Litografia - Fonte: http://www.mcescher.com/Gallery/ital-bmp/LW268.jpg
   

Outro Mundo - Mezzotint - Fonte: http://www.mcescher.com/Gallery/back-bmp/LW346.jpg    

Balcão - Perspectiva e distorção - Fonte: http://www.mcescher.com/Gallery/back-bmp/LW334.jpg     

Outras imagens também podem ser apresentadas.

Para fechar essa aula, propor aos alunos o vídeo Perspectiva, disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br/condigital/modules/debaser/singlefile.php?id=17, acesso em 30 de agosto de 2010. Que apresenta um interessante episódio sobre o uso da perspectiva em uma exposição de arte. Ao final do vídeo, solicitar aos alunos que em grupo, produzam um texto sobre as aprendizagens apreendidas nesta aula.

O uso da perspectiva matemática e o domínio do espaço real e imaginário. Disponível em: http://www.limc.ufrj.br/htem4/papers/43.pdf, acesso em 30 de agosto de 2010.    

Desenho em perspectiva no ensino fundamental – considerações sobre uma experiência. Disponível em: http://www.nilsonmachado.net/sema20090602.pdf, acesso em 30 de agosto de 2010. 

Deuses Nerd - O Reflexo de Escher. Disponível em: http://www.nerdicepontocom.com/2010/06/deuses-nerds-o-reflexo-de-escher.html, acesso em 30 de agosto de 2010. 

Baseada no vídeo Perspectiva, disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br/condigital/modules/debaser/singlefile.php?id=17, acesso em 30 de agosto de 2010.

Arte e matemática. Disponível em: http://cmup.fc.up.pt/cmup/arte/arquitectura/perspectiva1/index.html, acesso em 30 de agosto de 2010. 

Perspectivas. Disponível em: http://www.mat.uel.br/geometrica/php/pdf/gd_perspectivas.pdf, acesso em 30 de agosto de 2010. 

Perspectivas. Disponível em: http://www.ufmt.br/cuiabano/3_Disciplinas/Desenho_Tecnico/Perspectivas/Perspectivas.pdf, acesso em 30 de agosto de 2010. 

Perspectiva Cavaleira. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=7696, acesso em 30 de agosto de 2010.

Animaciones geométricas en 3D. Disponível em: http://www.aulaclic.es/flash8/t_24_5.htm, acesso em 30 de agosto de 2010. 

A avaliação deverá ser diagnóstica, processual e continua, ou seja, realizada ao longo de todas as aulas.

Critérios a serem observados:

- Participação na atividade inicial. Realizou a atividade? Colaborou com os colegas? Contribuiu na produção?

- Desenvolvimento e realização das atividades? Demonstrou conhecimento do conteúdo? Participou? Raciocínio adequado? O aluno foi argumentativo?

- Na atividade final? Foi participativo? Demonstrou entendimento? Colaborou com os colegas?