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Translação de Figuras Planas: Interagindo e Construindo Conceitos

 

09/12/2010

Autor y Coautor(es)
Raquel Cupolillo Simões de Sousa
imagem do usuário

RIO DE JANEIRO - RJ Universidade Federal do Rio de Janeiro

Armando Tramontano, Fernando Celso Villar Marinho, Jackson Lopes da Cunha, Rita Maria Cardoso Meirelles, Victor Cesar Paixão Santos, Edite Resende Vieira

Estructura Curricular
Modalidad / Nivel de Enseñanza Disciplina Tema
Ensino Médio Matemática Geometria
Ensino Médio Matemática Tecnologia para a matemática
Ensino Médio Física Movimento, variações e conservações
Datos de la Clase
O que o aluno poderá aprender com esta aula

Transladar um ponto, uma figura plana e uma reta segundo um vetor diretor

Transladar uma figura plana utilizando combinação linear

Duração das atividades
3 aulas de 50 minutos cada
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Conceitos de ponto, reta e plano

Plano Cartesiano

Coordenadas de um ponto e de um vetor

Geometria: Figuras planas

Resolução de equações e sistemas do 1º grau

Estratégias e recursos da aula

Professor, para que a turma se envolva com o conteúdo a ser trabalhado, fale sobre os conceitos de translação, conforme o texto a abaixo.   

Translação é o movimento que um objeto realiza de um ponto a outro. É o deslocamento paralelo, em linha reta, de um objeto ou figura, em função de um vetor.

Na simetria de translação, a figura "desliza" sobre uma reta, mantendo-se inalterada. Podemos citar como exemplos de translação, elevadores, escadas rolantes e até mesmo escorregadores.

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Transla%C3%A7%C3%A3o    

Utilize o Data Show, ou projetor similar, e mostre as três imagens a seguir, fazendo um debate com a turma e tirando conclusões a respeito das translações promovidas pelos objetos expostos.

Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/54/240_Sparks_Elevators.jpg 

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Copenhagen_Metro_escalators.jpg 

Fonte:  http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Slide_in_Parque.jpg 

Conclua, junto com a turma, que:   

Em todas as translações pode-se observar que um mesmo elemento se desloca numa determinada direção e sempre paralelo a si próprio, isto é, sem nunca rodar.   

Projete então, a imagem abaixo, deixe que os alunos observem e relatem as suas observações e, ao final, enfatize que a figura é translada segundo um vetor.

Fonte: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/49/Traslazione.gif 

Para que o aluno veja o movimento de translação, convide a turma para visualizar a animação digital: Translação de Polígonos, que tem como objetivo levar o aluno a compreender a operação de transladar um polígono a partir de suas coordenadas em um plano cartesiano.   

Nota: Utilize o Data Show para projetar a animação.

Translação de polígonos 

Dentre as diversas aplicações, converse também com a turma sobre a translação da Terra.   

Nota: Como fonte de pesquisa sobre o assunto, acesse o link que se encontra em Recursos Complementares.   

Informe então aos alunos que o objetivo dessa aula é fornecer ferramentas para que estejam aptos na ação de transladar uma figura plana através de um vetor.   

Antes de iniciar as atividades propostas, encaminhe a turma ao laboratório de informática, pedindo que os alunos, caso não haja computador para todos, se agrupem em, no máximo, três alunos por computador.   

Obs: A atividade proposta a seguir, possibilita ao aluno manipular, fazer descobertas e tirar suas próprias conclusões sobre como transladar uma figura (triângulo) segundo um vetor.

Atividade 1:

Solicite que os alunos acessem o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/TranslacaoFigura.html e peça que iniciem a atividade.    

Nota: Procure limitar o tempo de realização da mesma, conforme o perfil da turma.   

   

Imagem da autora.

Obs: Finalizado o tempo previsto, realize um debate com a turma sobre as descobertas dos alunos e verifique as soluções encontradas.

a) A = (1, –2), B = (3, –1), C = (4, –2) e v = (1, 2)

b) Os vértice do triângulo translado são obtidos a partir das igualdades: A’ = A + v, B’ = B + v e C’ = C + v

c) Coordenadas obtidas: A’ = (2, 0), B’ = (4, 1) e C’ = (5, 0)

Nota: Professor, a próxima atividade, também interativa, envolve a translação de uma reta segundo um vetor.   

Lembre-os de que, por definição, a reta é formada por infinitos pontos colineares e fica definida por dois desses pontos.   

Obs: Limite o tempo da atividade para cerca de 15 minutos.   

Atividade 2:   

Dando continuidade às descobertas, peça agora para os alunos acessarem o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/TranslacaoReta.html   e iniciarem a atividade.   

     

Imagem da autora.

Nota: Peça que os alunos relatem as suas descobertas e confira com eles a solução encontrada.

Coordenadas: P = (1, 1), Q = (–1, –1) e v = (–1, 2)

Para obter a translação dos pontos, e consequentemente, da reta, deve-se somar o vetor v, a cada ponto da reta:   

P’ = P + v e Q’ = Q + v   

Tem-se então que: P’ = (0, 3) e Q’ = (–2, 1)

A atividade a seguir pode ser utilizada também como uma avaliação, visto que a “ferramenta” foi elaborada para que o aluno responda aos questionamentos durante a manipulação da mesma, digitando, em alguns itens, a resposta correspondente.   

Caso a utilize como avaliação individual, ou em grupo, esquematize previamente a melhor forma para a sua realização, visto que há necessidade do seu acompanhamento aos procedimentos realizados pelo aluno (ou grupo).

Atividade 3:   

Para iniciar a atividade, solicite que os alunos acessem o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/TranslacaoTriangulo.html.

Imagem da autora.

Nota: Verifique acertos e erros cometidos pelo aluno e, caso haja necessidade, faça uma breve revisão sobre o assunto.

a) O vetor v provoca a translação do triângulo ABC.   

b) Sim, representam o vetor v aplicados nos vértices do triângulo.   

c e d) Não há questionamento a ser respondido; são apenas ações.   

e) (1, 3)  

f) Não.   

g) (1, 4)   

h) (1, 3)  

i) Respostas variadas e corretas sempre que a diferença entre as coordenadas da  extremidade e da origem seja (1, 3)  

 j) Sim   

k) Coordenadas de A’, B’ e C’ são iguais as coordenadas de A, B e C, respectivamente, adicionadas (1, 3).

Ou seja:

xA’ = xA + 1 e yA’ = yA + 3

xB’ = xB + 1 e yB’ = yB + 3

xC’ = xC + 1 e yC’ = yC + 3

A atividade abaixo envolve o conceito de combinação linear e, para tanto, dê a definição para os alunos:   

Sejam v e w dois vetores e c e d dois números reais. A adição c.v + d.w é dita uma combinação linear dos vetores v e w.   

Como essa atividade tem um nível de dificuldade maior que as anteriores, estipule um tempo mais extenso para que os alunos a realizem.

Atividade 4:

Peça que os alunos acessem o link: http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/atividades/portaldoprofessor/TranslacaoCombLinear.html e iniciem a atividade. 

Imagem da autora.

a) u = (2, –1)   

b) w = (1, 1)   

c) O triângulo ABC é transladado segundo o vetor v   

d) Resolvendo a equação: v = –1(2, –1) + 2(1, 1), tem-se v = (0, 3)   

e) v = (–3, 3)   

f) Sem resposta, pois são alterações feitas para os valores de a e b   

g) a = –2 e b = 1   

h) Resolvendo a equação com duas variáveis (sistema):  

(–3, 3) = a(2, –1) + b(1, 1), tem-se: a = –2 e b = 1   

Ao final das atividades espera-se que o aluno seja capaz de realizar translações segundo um vetor e esteja apto para reconhecê-las e aplicá-las nas diversas áreas de estudo e no cotidiano.

Recursos Educacionais
Nome Tipo
Translação de polígonos Animação/simulação
Recursos Complementares

O grupo de pesquisa “Tecnologias no Ensino da Matemática”, vinculado ao Projeto Fundão, confeccionou diversas atividades utilizando o software Nippe Descartes, um aplicativo desenvolvido em Java que permite uma manipulação ágil e simples de janelas gráficas aplicáveis a qualquer página web.

Este grupo reúne-se semanalmente e se propõe a desenvolver aplicações específicas para apresentação de conteúdos do Ensino Médio. Para visualizar as atividades o professor deve:

1.   Baixar o software Java disponível em:  http://www.java.com/pt_BR/download/       

2. Baixar o arquivo contendo as atividades.

Fonte de pesquisa: Translação da Terra: http://pt.wikipedia.org/wiki/Transla%C3%A7%C3%A3o_da_Terra 

Avaliação

Avaliar a participação dos alunos durante as atividades desenvolvidas.  

Solicite que a turma se divida em grupos, cuja quantidade de alunos por grupo deve ser estabelecida pelo professor, e façam uma pesquisa das aplicações de translação de vetores nas diversas áreas de estudo. O resultado da pesquisa deverá ser apresentado em sala de aula pelos grupos, por meio de painel, artigo etc. Essas pesquisas podem ser afixadas em local apropriado da escola, permitindo que toda a comunidade escolar tenha acesso e possa compartilhar as descobertas feitas pela turma.

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