• Definir poliedro;
• Identificar os elementos de um poliedro;
• Classificar poliedros;
• Distinguir poliedros através de características;
• Reconhecer um poliedro de Platão.

15 horas-aula.

Conhecimentos básicos de Geometria Plana: lado, base, altura, diagonal, vértice e polígono convexo ou côncavo.

ATIVIDADE 1: O QUE É UM POLIEDRO?

1.1 Instruções iniciais

Esta atividade será desenvolvida na sala de aula e serão utilizados os seguintes recursos: folhas de papel A4, quadro branco e pincel.

Para o estudo de poliedros, é importante que os alunos conheçam as principais diferenças entre a Geometria Plana e Espacial, assim, esta atividade foi dividida em duas etapas que serão descritas a seguir:

1.2  Identificando a terceira dimensão

Inicialmente, o professor deve apresentar uma folha de papel e perguntar aos alunos: “Que figura plana nos lembra esta folha de papel?”, “Quantas dimensões têm?”. Espera-se que os alunos percebam que a folha sozinha tem o formato de um retângulo e possui duas dimensões. Em seguida, o professor deve empilhar várias folhas de papel e novamente questionar os alunos: “E agora, que objeto nos lembra este conjunto de folhas?”, “Quantas dimensões têm?”. Com o intuito de possibilitar aos alunos o reconhecimento da quantidade e diversidade de objetos tridimensionais a nossa volta, o professor solicitará aos alunos que citem exemplos de objetos tridimensionais existentes na sala de aula com os nomes que eles conhecem (estes nomes devem ser anotados no quadro, pois serão retomados no item 1.2 dessa atividade).

1.3 Plano x Espaço

Após diferenciar as figuras bidimensionais das tridimensionais, o professor deverá relembrar algumas definiçõesda Geometria Plana e ampliar estas noções para o campo da Geometria Espacial, solicitando aos alunos palavras que melhor se adequam no preenchimento das lacunas abaixo:

• Assim como um plano é definido como um conjunto de retas, o espaço pode ser definido como um conjunto de _________ (resposta: planos).
• Um plano é estendido ilimitadamente em todas as direções, o espaço _______ (também) é estendido ilimitadamente.

Nesse momento, o professor deverá introduzir a noção de poliedros da seguinte maneira:

Na Geometria Plana, as figuras geométricas eram chamadas de polígonos. Na Geometria Espacial, as figuras geométricas são chamadas de poliedros (poli: várias e edros: faces) e corpos redondos.

Observação: embora as atividades propostas tenham foco nos poliedros, o professor poderá dar alguns exemplos de corpos redondos, como o cone (casquinha de sorvete), cilindro (cano), e informar aos alunos que nesse momento serão desenvolvidas atividades referentes aos poliedros.

Em seguida, o professor deverá apresentar uma definição de poliedros. Segue uma sugestão de definição:

Um poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos, onde cada lado de um destes polígonos é também lado de um, e apenas um outro polígono. [Lima et alli, 2006]

Com o objetivo de facilitar a compreensão desta definição, o docente deverá estimular os alunos a identificá-la nos objetos citados no item 1.2.

ATIVIDADE 2: QUAIS SÃO OS ELEMENTOS DE UM POLIEDRO?

Em sala de aula e utilizando novamente o conjunto de folhas empilhadas, o professor deverá propor o seguinte questionamento: “Quantos lados há nesse poliedro?”. A pergunta pode gerar respostas diferentes por parte dos alunos, já que alguns poderão associar a palavra “lado” às arestas do poliedro, enquanto outros poderão associar o termo às faces. Desse modo, o professor deverá esclarecer que o termo “lado” não é utilizado para poliedros, ao invés deste utilizam-se os conceitos de arestas e faces e acrescenta-se, a estes dois elementos, os vértices. Segue uma sugestão de imagem que poderá auxiliar na apresentação desses conceitos:

Figura 1: Elementos básicos de um poliedro

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/poliedros.htm

Recomenda-se que os alunos construam uma analogia para cada um dos elementos do poliedro, como por exemplo, linha associa-se a aresta.

Com o objetivo de identificar esses conceitos matemáticos em objetos do cotidiano dos alunos, o professor deverá solicitar a eles uma lista (número mínimo e máximo de itens a ser definido pelo professor) de objetosque representem poliedros encontrados em suas casas e a identificação dos seus elementos.

ATIVIDADE 3 - IDENTIFICANDO POLIEDROS CONVEXOS E CÔNCAVOS

3.1 Instruções iniciais

Esta atividade será desenvolvida, inicialmente, na Sala de Aula e, em seguida, no Laboratório de Informática Educativa, para o desenvolvimento de um blog com o intuito de estimular a pesquisa on-line, a análise de suas respostas, bem como as dos colegas, em assuntos relacionados à área de Matemática. Ressalta-se que este recurso poderá ser utilizado em outras aulas da maneira proposta aqui, como também de outras formas a serem previamente analisadas pelo professor.

3.2 Relembrando e comparando...

Para abordar poliedros convexos e côncavos, o professor deverá resgatar esses conceitos da Geometria Plana utilizando uma analogia com os polígonos: “Quando um polígono é dito côncavo ou convexo?”. A resposta esperada deve ser semelhante a esta:

Um polígono é dito convexo quando se traça uma reta passando por um dos lados do polígono de modo que todos os outros lados ficam num mesmo semi-plano. Quando isso não acontece, dizemos que o polígono é côncavo. (COC EDUCAÇÃO, 2010 - http://interna.coceducacao.com.br/ebook/pages/1371.htm)

Em seguida, o professor deverá explicar que as definições de poliedro convexo e côncavo são análogas à definição envolvendo polígonos, como segue abaixo:

Um poliedro é dito convexo quando se traça um plano passando por uma das faces do poliedro de modo que todas as outras faces ficam num mesmo semi-espaço. Quando isso não acontece, dizemos que o poliedro é côncavo. (UOL EDUCAÇÃO, 2012 - http://educacao.uol.com.br/matematica/poliedro.jhtm)

Com o objetivo de facilitar a compreensão dos alunos acerca dessa primeira classificação (convexo e côncavo) bem como introduzir uma segunda classificação, esta em prismas e pirâmides, sugere-se que o professor discuta as características relacionadas a essas classificações utilizando objetos do cotidiano, como por exemplo, um dado que representa um cubo e é classificado como poliedro convexo e também como prisma.

Observação: sobre uma das faces, recomenda-se colocar uma folha de papel que funcione como um plano para auxiliar os alunos na classificação proposta.

Com o intuito de possibilitar aos alunos conhecerem outros tipos de poliedros, bem como estabelecerem sua classificação em convexo e côncavo, propriedade importante na discussão sobre poliedros de Platão (atividade 5) bem como em prismas e pirâmides, será criado um blog para que eles socializem informações e opiniões sobre esse assunto.

3.3 Criando um Blog

Professor e alunos deverão criar um blog para a turma. Através deste recurso, os alunos deverão fazer comentários e publicações sobre os temas que serão propostos.

Para a criação do blog é importante seguir as instruções abaixo:

1.    Para que possam fazer comentários e postagens, professor e alunos deverão criar (se ainda não tiverem) uma conta de email no Google (Gmail), através do link:

https://accounts.google.com/SignUp?service=mail&continue=https%3A%2F%2Fmail.google.com%2Fmail%2F&ltmpl=default

A Figura 2 mostra a página que será exibida ao acessar o link acima:

Figura 2: Criando conta do Gmail

Fonte:https://accounts.google.com/SignUp?service=mail&continue=https%3A%2F%2Fmail.google.com%2Fmail%2F&ltmpl=default

2.    Em seguida, o professor deverá criar o blog através do site www.blogger.com. A Figura 3 mostra a tela que será exibida ao acessar o link acima:

Figura 3: Criando um blog

Fonte: www.blogger.com

3.    Ao clicar em Iniciar, deve-se preencher um cadastro, este passo é necessário para ter acesso ao blog. Após preencher o cadastro, professor e alunos deverão personalizar o blog.

Mais informações sobre criação de blogs podem ser encontradas através dos seguintes links: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/conteudoJornal.html?idConteudo=24 e http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/materiais/0000013567.pdf.

Observação: o professor, como administrador do blog, deve atribuir permissões de postagem aos alunos da turma. Caso contrário, eles só poderão comentar as publicações feitas pelo professor.

3.4 Aceite o desafio: classifique poliedros!!!

Nesse momento, o professor deverá solicitar a cada aluno a postagem no blog de uma figura que represente um poliedro. Os demais alunos deverão postar um comentário classificando em convexo ou côncavo, como também em prisma ou pirâmide, os poliedros apresentados pelos colegas (fica a critério do professor a definição do número mínimo de comentários por aluno e o número de dias em que deverão ocorrer estas postagens). Os alunos podem comentar as classificações dos colegas quando julgar necessário fazer complementações, porém, recomenda-se abordar as chamadas “netiquetas” (há um texto do Portal do Professor sobre este assunto nos recursos complementares). Segue uma sugestão para o título e descrição do post a ser publicado pelo professor:

Título: Aceite o desafio: classifique poliedros!!!

Descrição: Cada aluno deverá publicar uma imagem de um poliedro. Os demais alunos devem classificá-lo em côncavo ou convexo e em prisma ou pirâmide através de comentários. É permitido fazer complementações às respostas dos colegas quando estas forem necessárias.

ATIVIDADE 4: DISTINGUINDO POLIEDROS

4.1 Preparação do ambiente

Essa atividade ocorrerá no Laboratório de Informática Educativa, com a turma organizada em duplas, e serão utilizados os seguintes recursos: folhas de papel A4, caneta e computadores, como também o objeto educacional Cara a Cara Geométrico, disponível para download no Banco Internacional de Objetos Educacionais.

Cara a cara geométrico 

 

 

 

4.2 Orientações quanto ao uso do software:

O software Cara a Cara Geométrico é um jogo em que o aluno recebe uma carta com a figura de um poliedro e deve descobrir o poliedro escolhido pelo oponente (no caso, o computador). Para isso, devem-se selecionar perguntas que possam ajudar a descrever as características do poliedro do oponente. Cada jogador só poderá fazer uma pergunta de cada vez. De acordo com as informações do adversário, pode-se eliminar (apagar) as cartas que não contém a propriedade informada. Se não acertar o poliedro do adversário, deve-se clicar no botão “Passa a vez” para responder a uma pergunta do oponente. O aluno que conseguir descobrir primeiro a carta do oponente, vence o jogo.

Instalação:

O download do software está disponível no link http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/18946. Para o seu funcionamento, é necessário que todos os computadores estejam com o plugin Adobe Flash Player atualizado e um software descompactador de arquivos (7-Zip, WinZip, WinRar, etc.).

O objeto será denominado como Cara.rar e está no formato compactado. Para descompactá-lo, clique com o botão direito sobre o arquivo e escolha o software descompactador do seu computador. Em seguida, escolha a opção Extrair aqui. (Veja a Figura 4):

Figura 4: Extraindo arquivo

Fonte: Imagem do autor

Serão gerados dois arquivos: cara.htm e caracara.swf. Execute o cara.htm. A Figura 5 mostra a página que será visualizada:

Figura 5: Tela inicial

Fonte:http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/18946

Clique no botão Iniciar para começar a manipular o software, que apresentará a seguinte tela (Veja a Figura 6):

Figura 6: Cara a Cara Geométrico

Fonte:http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/18946

4.3 Desenvolvendo a atividade

Descrição da atividade:

O professor irá propor aos alunos a descoberta dos poliedros lançados pelo jogo através da observação das figuras contidas no software e suas propriedades (que aparecem no canto inferior direito da tela) bem como das respostas emitidas na mesma. A dupla deve debater sobre as características observadas e anotar suas conclusões na folha de papel A4.

Momento do aluno:

Neste momento, os alunos buscarão desenvolver a atividade proposta.

Discussão:

Os alunos deverão apresentar, para o restante da turma, os poliedros que conseguiram identificar durante a realização da atividade. Em seguida, o professor deverá iniciar uma discussão acerca dos poliedros de Platão, que serão abordados na próxima atividade, a partir dos seguintes questionamentos: “Os poliedros vermelhos possuem outras semelhanças, além da cor?” e “Quais seriam?”. Caso os alunos não observem nenhuma, o professor poderá dar uma dica, solicitando-os uma análise mais detalhada dos elementos básicos desses poliedros.

Sistematização:

Neste momento, professor e alunos deverão listar as principais características dos poliedros identificados durante o jogo proposto e verificar em cada um deles a existência das características encontradas no momento da discussão. Para isso, deve-se constantemente propor o questionamento: “Esta característica é observada nos poliedros vermelhos?”.

Para complementar a atividade, o professor pode sugerir aos alunos que façam na folha de papel A4 uma lista de características comuns para os demais sólidos que contém a mesma cor (sólido alongado, prisma, pirâmide e antiprisma).

ATIVIDADE 5: CONSTRUINDO POLIEDROS E CONHECENDO A RELAÇÃO DE EULER.

5.1 Instruções iniciais

Esta atividade terá duas etapas a serem desenvolvidas no Laboratório de Informática Educativa e na Sala de Aula com a turma organizada em cinco grupos.

5.2 Como se constroem poliedros?

Nesta atividade, os grupos deverão construir dois poliedros convexos. Para orientá-los nessa construção, sugere-se que o professor publique, no blog, vídeos que auxiliem na construção desses poliedros. Segue uma sugestão:

• http://www.youtube.com/watch?v=AR-aF0JB6ik: Poliedros com varetas;
• http://www.youtube.com/watch?v=FXcrq3QSAZI: Construindo poliedros com canudos (construção do tetraedro).
• http://www.youtube.com/watch?v=rUQnriee4qA: Icosaedro, tetraedro e octaedro.
• http://www.youtube.com/watch?v=rrnCIoWyBtU&feature=related: Dodecaedro - em Origami.

 

Além do vídeo, o professor também poderá publicar, no blog, o tutorial Geometria com Canudos, que pode ser encontrado no Banco Internacional de Objetos Educacionais através do link http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10314.

Após a análise dos vídeos e tutorial disponibilizados, cada um dos grupos escolherá o material que desejará utilizar (varetas, canudos ou outro material que possa ser sugerido pelos próprios alunos). 

Observação: o professor deverá indicar um poliedro de Platão para cada um dos grupos, sem mencionar ainda tal classificação.

5.3 Debate:

1ª parte: Sala de aula

Neste momento, as equipes deverão apresentar as principais características dos poliedros construídos aos demais colegas da turma. No final da apresentação das equipes, o professor deverá chamar a atenção da turma para os cinco poliedros de Platão, resgatando, assim, o momento da discussão da atividade anterior. Para isso, sugerem-se os seguintes questionamentos:

• Quantas arestas existem em cada face desses poliedros?
• E quantas arestas chegam a cada vértice?

 

Os alunos deverão perceber que:

1. O número de arestas em cada face destes poliedros é o mesmo;
2. Em cada vértice chega o mesmo número de arestas.

 

Em seguida, a partir da observação dos poliedros construídos, cada um dos grupos deverá preencher a tabela 1 no quadro branco:

Tabela 1: Analisando os poliedros

Poliedro	Faces (F)	Vértices (V)	Arestas (A)	F + V - A
Cubo
Tetraedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro

Fonte: criação do autor

Após todos os alunos preencherem a tabela, o professor deverá questionar: “Todos os poliedros tiveram o mesmo resultado na quinta coluna da tabela? Qual resultado?”. E, então, enunciar a Relação de Euler (F + V - A = 2).

Assim, para que um poliedro seja considerado um poliedro de Platão (como mostra a figura 7), deve satisfazer as seguintes condições:

• Em todas as faces deve haver o mesmo número de arestas;
• Em todos os vértices deve chegar o mesmo número de arestas;
• O sólido deve ser euleriano, ou seja, deve respeitar a Relação de Euler.

Figura 7: Poliedros de Platão

Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/os-solidos-platao.htm

2ª parte: Blog

Para concluir a atividade, o professor deverá estimular uma pesquisa e discussão sobre uma peculiaridade que envolve poliedros convexos e poliedros de Platão a partir dos seguintes questionamentos: “Todo poliedro convexo satisfaz a relação de Euler?” e “Todo poliedro que satisfaz a relação de Euler também é convexo?”;“Justifique suas respostas”. Os alunos terão dois dias para realizar esta atividade que deverá ser retomada em sala de aula para a sua conclusão juntamente com o professor.

Nome	Tipo
Cara a cara geométrico	Animação/simulação

Sugestões de links para os alunos:

• Dodecaedro em Origami: http://www.youtube.com/watch?v=rrnCIoWyBtU&feature=related  (Acesso em 10/07/2012).
• Geometria com Origami e a Construção do Cubo: http://www.youtube.com/watch?v=McgLr8nRNcY  (Acesso em 10/07/2012).

 

Sugestões de links para o professor:

• Sólidos de Platão: http://www.brasilescola.com/matematica/os-solidos-platao.htm  (Acesso em 04 de junho de 2012).
• Poliedros: http://www.brasilescola.com/matematica/poliedros.htm  (Acesso em 04 de junho de 2012).
• Relação de Euler: http://www.brasilescola.com/matematica/relacao-euler.htm  (Acesso em 04 de junho de 2012).
• Ensino da Geometria: http://educador.brasilescola.com/trabalho-docente/ensino-geometria.htm  (Acesso em 06 de junho de 2012).

 

Links do Portal que podem ser consultados pelo professor no planejamento de sua aula:

• Blogs de ciências e matemática ajudam no desempenho de alunos: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/conteudoJornal.html?idConteudo=1795  (Acesso em 04 de junho de 2012).
• Como escrever na WEB: http://www.conexaoprofessor.rj.gov.br/especial.asp?EditeCodigoDaPagina=4390  (Acesso em 18 de junho de 2012).

Nas atividades 1 e 2, o professor poderá averiguar se o conceito de poliedro foi compreendido pela turma, bem como os seus elementos básicos a partir da identificação da definição e elementos em poliedros observados no cotidiano. Na atividade 3, sugere-se avaliar se a turma compreendeu as classificações de um poliedro abordadas a partir das respostas e comentários postados no blog. Nas atividades4 e 5, deve-se verificar se os alunos conseguiram reconhecer os poliedros de Platão a partir das características relacionadas ao número de arestas e na verificação da relação de Euler observadas no jogo Cara a Cara Geométrico e nos poliedros construídos durante a atividade.