• Interpretar situações que envolvam o uso das relações métricas no triângulo retângulo.
• Calcular medidas desconhecidas utilizando as relações.
• Resolver situações problemas envolvendo as relações métricas no triângulo retângulo.

• Proporções
• Resolução de equação do 1º grau
• Classificação de triângulos

Na sala de aula (1 aula)

               Olá Professor, vamos descrever como podemos trabalhar com os nossos alunos com o assunto “Relações métricas no triângulo retângulo”. Para iniciar a aula, apresente um problema para que eles possam fazer um debate inicial. Por exemplo:

               “O tangram abaixo foi desenhado em uma malha quadriculada, na qual cada quadradinho possui 1 cm de lado. Quais as medidas dos lados de cada uma das peças desse tangram?”

               Professor, dê um tempo para eles tentem resolver o problema. Após, peça a eles que iniciem o debate comentando sobre as possíveis soluções, registrando as mesmas.

No laboratório de informática

Atividade 1 (1 aula)

               Professor, leve seus alunos ao laboratório de informática e acomode-os em duplas em cada computador. Em seguida, peça a eles que acessem o sítio http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/rived/modulo_relmetricas/teo_relmet1.htm,

trata-se de um aplicativo que contem a parte teoria e no final, alguns exercícios sobre o assunto. Peça aos alunos que leiam a parte teórica e resolvam os exercícios propostos pelo aplicativo. Professor, após a atividade, tire a dúvidas que por um acaso ainda existirem. Caso seja necessário, outros sítios também têm a parte teórica, como por exemplo:
          • http://www.slideshare.net/e.lribeiro/relaes-mtricas-no-tringulo-retngulo-1176268  

Atividade 2 (2 aulas)

               Professor, para consolidar os conhecimentos teóricos visto na atividade 1, vamos realizar uma segunda atividade no laboratório de informática utilizando um software de geometria dinâmica, http://www.geometriadinamica.com/, o GeoGebra. Ele é para se utilizar em ambiente de sala de aula. Ele reúne GEOmetria, álGEBRA e cálculo. Esta disponível em http://www.geogebra.org/ em versão para download gratuito ou para ser executado via web (WebStart).

               No caso desta atividade, tenha instalado previamente o GeoGebra em todos os computadores do laboratório de informática. Como documentação do software, temos:
                    • O manual disponível em http://www.geogebra.org/help/docupt_BR.pdf e outro http ://www.geogebra.org/he lp/docupt_PT.pdf , este em português de Portugal, mas um pouco mais completo;           

                    • Uma apostila sobre a utilização esta disponível em http://www.tinaedu cacao.com.br/wp-conten t/uploads/2008/11/ap ostilageogebra_2007. pdf, nesta apostila temos várias atividades utilizando o software, e 
                    • Um guia rápido de comandos, disponível em http://cattai.mat.br/site/files/geogebra/guia_rapido_geogebra.pdf.

               Professor, vamos mostrar aos alunos que as relações métricas no triângulo retângulo são válidas. Para isto, siga os seguintes passos:

Passo 1: Inicie o aplicativo GeoGebra, aparecerá a seguinte tela:

Passo 2: No menu “Exibir”, desmarque a opção “Eixos”;

              Professor, comente com seus alunos que na barra de botões,

,

temos diversas ferramentas que podem ser utilizadas. Em todos os botões aparece uma seta no canto inferior direito, que, ao ser clicada, permite visualizar as opções existentes.

Passo 3: No segundo botão da barra de botões, selecione a ferramenta “Novo ponto” e clique em dois pontos na área de trabalho e teremos os pontos A e B.

Passo 4: No terceiro botão da barra de botões, selecione a opção “Seguimento definido por dois pontos”, e em seguida, clique nos pontos A e B. Observe que no lado esquerdo da tela aparece uma lista de objetos dependentes. Neste caso, temos agora um segmento “a” e o valor de sua medida em centímetros. Peça aos alunos que selecione, no primeiro botão da barra de botões, a opção “Mover”; cliquem no ponto A e mova-o; e observe o valor da medida do seguimento “a”.

Passo 5: No quarto botão da barra de botões, selecione a opção “Reta perpendicular”, e em seguida, clique no segmento “a” e em depois no ponto A. Será criada uma reta “b” que é perpendicular ao seguimento “a” e passa pelo ponto A.

Passo 6: No segundo botão da barra de botões, selecione a ferramenta “Novo ponto” e clique em um ponto sobre a reta “b”. Será criado um ponto C sobre a reta “b”.

Passo 7: No terceiro botão da barra de botões, selecione a opção “Seguimento definido por dois pontos”, e em seguida, clique nos pontos A e C, e depois nos pontos B e C.

Passo 8: N o quarto botão da barra de botões, selecione a opção “Reta perpendicular”, e em seguida, clique no segmento “d” e em depois no ponto A. Será criada uma reta “e” que é perpendicular ao seguimento “d” e passa pelo ponto A. Com isto temos um triângulo retângulo.

               Professor, com estes descritos até o momento, temos um triângulo ABC, retângulo em A.

Passo 9: No segundo botão da barra de botões, selecione a ferramenta “Interseção de Dois Objetos” e clique sobre a reta “e” e o seguimento “d”. Será criado um ponto “D”.

Passo 10: No último botão da barra de botões, selecione a ferramenta “Exibir/Esconder objetos” clique nas retas “b” e “e”. Teremos uma figura com menos poluição visual.

Passo 11: No terceiro botão da barra de botões, selecione a opção “Seguimento definido por dois pontos”, e em seguida, clique nos pontos A e D. Será criado o segmento “f”, correspondente à altura referente ao lado BC do triângulo.

               Professor, peça aos alunos que selecione, no primeiro botão da barra de botões, a opção “Mover”; cliquem no ponto A e mova-o; e observe o valor da medida do seguimento “a”. Faça o mesmo com os pontos B e C.

Passo 12: No terceiro botão da barra de botões, selecione a opção “Seguimento definido por dois pontos”, e em seguida, clique nos pontos B e D; e nos pontos C e D. Serão criados, respectivamente, os seguimentos “g” e “h”.

                Até o presente momento, construímos um triângulo ABC, retângulo em C. Peça aos alunos que façam a correspondência com as letras e identifiquem, neste triângulo:
                    • Os catetos;
                    • A hipotenusa;
                    • A altura relativa à base e
                    • As projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

               Professor, peça aos alunos que observem os objetos criados no lado esquerdo da tela, em objetos dependentes. Mostre a eles a validade das relações métricas estudadas na atividade 1. Para isto, considere uma das relações estudadas, por exemplo:

(medida do cateto)² = (medida da sua projeção) X (medida da hipotenusa)

               Vamos criar uma variável “i” que terá como conteúdo o valor (medida do cateto)², e outra variável “j” que terá como conteúdo o valor do produto (medida da sua projeção) X (medida da hipotenu sa). Proceda da seguinte forma:

Passo 13: Na parte de baixo do aplicativo, e xiste uma caixa de texto des tinada a entrada de dados e de fórmulas,

Digite:
     • i = a ^ 2
     • j = g * d

               Professor, peça aos alunos que obser vem os valores de “i” e de “j” em “Objetos d ependentes”. São iguais? O que significa isto? Peça a eles que selecione, no primeiro botão da barra de botões, a opção “Mover”; cliquem no ponto A e mova-o; e observem os valores das medidas dos “Objetos dependentes.” Peça a eles que façam o mesmo procedimento com as outras relações métricas. Ao final das verificações, peça a eles que gravem o trabalho realizado.
               Retome o problema colocado na situação inicial para ele eles resolvam em uma folha de papel e depois no software. Elabore também uma lista de atividades que eles possam exercitar um pouco, da mesma forma, primeiro em uma folha de papel e depois verificar a resposta no software. Por exemplo, existem algumas disponíveis em:
      • http://www.portalimpacto.com.br/docs/01JerleyF32ANOAula02RelacoesMetricasnoTrianguloRetangulo2.pdf  ;
      • http://www.educacional.com.br/upload/blogSite/4277/4277302/4369/Relacoes.doc.doc .

Plano de aula
http://mathemanil.blogspot.com/2008/12/plano-de-aula-geogebra.html  

Seminários
http://www.mat.ufrgs.br/~dmpa/disciplinas/planos/planos2009/091MAT01341.pdf  

A avaliação (1 aula) poderá ser da seguinte forma:
     * Atividades em sala.
     * Listas de exercícios envolvendo aplicações das relações métricas no triângulo retângulo no cotidiano.
     * Durante as aulas observando o interesse e a participação do aluno.
     * Estimular os alunos a criarem e participarem de Blogs sobre o assunto. Caso queira utilizar algum Blog já existente, sugerimos os seguintes:
          . http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/03/relacoes-metricas-no-triangulo.html
          . http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20071220155103AABeYWZ  
     * Seminários: “A importância das relações métricas e suas aplicações no dia-a-dia”. O seminário será organizado em grupos de quatro alunos. Os alunos irão abordar as aplicações das relações métricas através de exercícios, cartazes, desenhos geométricos, situações problema. Outros temas também podem ser propostos para os seminários, como por exemplo:
          . Procurar descobrir mais sobre os “esticadores de corda” no Antigo Egito e o ângulo reto que formavam com a corda de 12 nós.
          . Construir uma espiral pitagórica ou mesmo a localização de irracionais de forma √n, com n natural, na reta numerada.