Conhecimentos básicos de potenciação, equações e equação exponencial.

Para iniciar esta aula professor, divida os alunos em grupos (3 a 4 alunos). Distribua dicionários sobre as mesas e solicite que discutam entre eles e anotem no caderno suas observações e entendimento sobre a definição da palavra:

 "Logaritmo"

Dê aos grupos uns 8 a 10 minutos e então proponha uma rodada de apresentação das respostas. Permita que os alunos se expressem sem fazer intervenções.

Após as apresentações, proponha aos alunos o áudio "O que é logaritmo I?" disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17146.

O que é logarítmo? - Parte I 

Após a audição, converse com os grupos sobre suas definições, permita que os alunos refaçam suas definições e só então formalize:

Definição:

Dados dois números reais positivos a e b, onde a > 0 e a é diferente de 1 e b > 0, existe somente um número real x, tal que a^x = b ou ainda log _ab = x

Onde:

a = base do logaritmo

b = logaritmando

c = logaritmo

O logaritmo de um número, pode ser entendido de forma simplificada como sendo o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência.

Por exemplo:

log ₂ 8 = 3, pois 2³ = 8

log ₃ 9 = 2, pois 3² = 9

log ₅ 125 = 3, pois 5³ = 125

Propriedades:

A base do logaritmo sempre dever ser um número positivo e diferente de 1.

O logaritmando sempre deve ser positivo.

Assim:

1a. propriedade: O logaritmo de 1 em qualquer base é zero.

log_a 1 = 0

2a. propriedade: O logaritmo da base, qualquer que seja a base é 1.

log _a a= 1

3a. propriedade: O logaritmo de uma potência a é igual ao expoente m.

log _aa^m = m

4a. propriedade: Se dois logaritmos em uma mesma base são iguais, então os logaritmandos também serão iguais.

log _ab = log _a c  => b = c

5a. propriedade: A potência de base a e expoente log _ab é igual a b.

a ^log _ab = b

Atividade 1

Para reforçar a definição, proponha aos grupos o recurso Logaritmo. Animação que aborda esse tema usando o cálculo de um logaritmo por meio da equivalência com uma potência. Num primeiro momento é formalizado o conceito e logo após, surgem fatos históricos relacionando a invenção dos logaritmos às grandes navegações dos séculos XV e XVI, e segue apresentando uma tábua de logaritmos. Para finalizar, apresenta a construção de gráficos e com a proposta de alguns exercícios nos quais os alunos podem aplicar os conhecimentos assimilados durante a explicação. Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10438.

Logaritmos 

Após a animação, continue orientando que vale lembrar, que pela definição a função logarítmica  é  a operação inversa da função exponencial. 

Apresente o gráfico a seguir, onde é possível visualizar essa afirmação, pois ambas as funções são simétricas em relação a reta y=x.

Atividade 2

Após a explicação, proponha aos grupos de alunos os seguintes problemas: 

Quantos por cento é 1161 de 30000? 

Some 0,04% com 99,96%.

Esboce o gráfico da parábola y = 1/x no primeiro quadrante e marque a área entre 1 e um ponto x qualquer.

 

Obs. Para a realização desta atividade é necessário dispor de uma tábua de logaritmos.

 

Permita que os grupos discutam e encontrem os resultados (em torno de 8 a 10 minutos). Se conseguem imaginar como os cálculos eram feitos antigamente. Então apresente o áudio A Criação dos Logaritmos - Parte 1, que apresenta a história do surgimento dos logaritmos a partir de questões como estas propostas na atividade e também da sua importância no auxílio de resolução para cálculos. Disponível em:  http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/19103 .

 

A Criação dos Logaritmos - Parte I 

 

 

Após a audição, formalize a resposta com os alunos.

 

Resp. 1 - Hoje, com uma simples regra de 3 podemos obter a solução da primeira parte do problema. Do enunciado temos que 30000 representa 100% e queremos saber quantos por cento representa 1161, assim:

 

30000   -   100%

1161   -      x

 

Temos então que a resposta é x = 3,87 ou aproximadamente 4%.

 

Resp. 2 - Antigamente, para calcular 1161/300, era feito:

 

                1161

log ₁₀  (---------) =  log ₁₀ 1161 - log ₁₀ 300

                  300

 

Por meio da tábua de logaritmos, temos que log  ₁₀ 1161 = 3,0648  e log  ₁₀ 300 = 2, 47771.

 

Portanto:

 

                1161

log  ₁₀  (---------) =  0,5877

                  300

 

Por meio da tabela dos antilogaritmos, temos que a função inversa, 10 ^0,5877 será 3,87 ou, aproximadamente os 4 que encontramos no cálculo anterior.

 

Resp. 3 - Gráfico

 

Por meio de uma tabela (x,y) a partir de x=1/2, temos:

 

O valor área sob a curva de x=1 até x=10 é igual ao valor do logaritmo natural de 10, isto é log (10) ou ln (10).

 

Retome com os alunos, que conforme eles puderam perceber no áudio, Lorde Napier foi quem inventou os logaritmos.  Logos significa razão ou relação e arithmos significa número. E por isso o termo logaritmo. 

Pergunte se os alunos conseguem imaginar como seria a conversa de Napier quando fez sua descoberta? Converse sobre a época que o fato ocorreu e como as invenções eram divulgadas, que não existia calculadora. 

Só então, proponha o áudio  A Criação dos Logaritmos - Parte 2, que  mostra como teria sido a conversa entre o John Napier e Henry Briggs, a respeito da criação dos logaritmos. Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/19104.

 

A Criação dos Logaritmos - Parte II 

 

 

Após a audição, deixe alguns minutos para que os grupos apresentem suas conclusões. O que entenderam sobre o diálogo entre Napier e Briggs? As ideias dos pensadores eram similares ou antagônicas?

 

Atividade 3

Conforme os alunos puderam perceber no áudio, John Napier interessava-se por resolver problemas de sua época. Muitos matemáticos já haviam tentado achar um processo que permitisse reduzir operações de multiplicação e divisão ou de potenciação e radiciação em operações mais simples como a adição e a subtração. 

Para efetuar a multiplicações: 8 x 128, Napier construiu um quadro de potências de base 2, conforme o que se encontra abaixo.

 

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2 n	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048

 

Pela tabela Napier pode perceber que 10 é o expoente que devemos elevar a base 2 para obter 1024.

Segundo as ideias de Napier, para multiplicar dois termos da segunda sequência, basta somar os seus correspondentes na primeira sequência e ver qual termo da segunda sequência corresponde a essa soma.  Que para realizar o produto de 8 x 128, basta somar 3 + 7 = 10 e encontrar o termo da segunda sequência que corresponde ao 10, nesse caso o 1024.

Assim, o número 10 é o logaritmo de 1024 na base 2, ou seja, log ₂ 1024 = 10.

 

Após a explanação, solicite que os grupos:

 

a) Construam a tabela de potências naturais do número 3, definindo qual será o logaritmo desta base para encontrarmos 19683.

Resp.

 

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3 n	3	9	27	81	243	729	2187	6561	19683	59049	177147

 

O número 9 é o logaritmo de 19683 na base 3, ou seja, log  ₃ 19683 = 9.

 

b) Segundo as ideias de Napier efetue o produto de 27 por 2187. Qual o logaritmo do número obtido? Justifiquem a resposta.

 

Resp.

Seguindo as ideias de Napier, para efetuar 27 x 2187 basta somar 3 + 7=10. Assim, o número 10 é o logaritmo de 59049 na base 3, ou seja, log 3 59049 = 10.

 

c) Com base no método de Napier, efetue a divisão de 19683 por 2187. Determinem o logaritmo do número obtido. Justifiquem sua resposta.

 

Resp.

Se para efetuar a multiplicação fizemos a soma dos elementos, na divisão vamos efetuar a subtração. Portanto 19683/2187 é 9 - 7 = 2. Assim, o número 2 é o logaritmo de 9 na base 3, ou seja, log  ₃ 9 = 2.

 

Atividade 4

No laboratório de informática, proponha aos grupos de alunos pesquisarem uma situação prática de utilização dos logaritmos em seu cotidiano. Solicite que expliquem sua aplicação e apresentem um problema que deverá ser resolvido pelos demais grupos. Para a pesquisa, deixe uns 20 a 25 minutos para que os grupos concluam suas buscas.

 

Após a conclusão da atividade, antes da rodada de apresentações, proponha o áudio "O que é logaritmo II?" disponível em  http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17147.

 

O que é logarítmo? - Parte II 

 

Após a audição, explique aos alunos que a Geologia é uma das aplicações mais simples de logaritmos. A  Escala de Richter é usada para a medição da intensidade de terremotos, determinando sua intensidade.  

 

Para calcular a energia liberada por um terremoto, usamos a seguinte fórmula: 

 

I = (2/3) log10(E/E0), onde I: varia de 0 a 9, E: energia liberada em kW/h e E₀: 7 x 10^-3 kW/h. 

 

Por exemplo a energia liberada por um terremoto de intensidade 6 na escala Richter, será: 

 

6 = (2/3) log 10 (E / 7 x 10 ^-3) 

9 = log 10  (E / 7 x 10 ^-3) 

10 ⁹ = E / 7 x 10 ^-3

E = 7 x 10 ^-3 x 10 ⁹

E = 7 x 10 ⁶ kW / h 

 

Na sequência apresentar o vídeo Terremoto brasileiro, disponível em:  http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17174.

Terremoto brasileiro 

 

 

No vídeo, um documentarista solicita informações a respeito de abalos sísmicos a um geólogo. No desenrolar da conversa, o rapaz acaba aprendendo como se mede a magnitude dos tremores, e qual é a escala usual adotada para tal medição, apresentando a escala logarítmica apropriada para medir intensidades relativas de terremotos.

 

Após a explanação e o vídeo, proponha a rodada de apresentação, que os grupos tragam suas pesquisas indicando onde mais os logaritmos podem ser usados, bem como, sua aplicação prática de utilização.

 

Observação: Durante o desenvolvimento de todas as atividades desta aula, é importante que o professor acompanhe os grupos durante a resolução das atividades, que estratégias utilizaram no desenvolvimento, levando os grupos a relacionarem seus conhecimentos anteriores com a definição de logaritmo.

 

Cabe destacar que contemplar a história do surgimento dos logaritmos de uma maneira natural, aproveitando e explorando atividades relacionadas com as ideias que deram origem aos logaritmos, permite que os alunos possam entender a necessidade da simplificação de cálculos numéricos, em uma época que não existia calculadora.

 

O que é exponencial? parte I e II. Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/20456, e http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/20457, acesso em 10 de set. 2012.