Esta aula tem como objetivo desenvolver a competência de área 2 da Matriz de Referência do ENEM, em que o aluno utiliza o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela. Mais especificamente, contempla as habilidades 7 e 8 visto que os alunos terão a oportunidade de, numa situação real, identificarem características da circunferência ao representá-la no trabalho com uma situação-problema. Dessa forma, os alunos terão condições de conhecer, na segunda parte desta aula, o pi e suas relações com a circunferência.

• Equações.
• Uso de régua e compasso.
• Reconhecer figuras geométricas planas.

Esta aula é a primeira parte de duas e busca evidenciar características e relações matemáticas presentes em uma circunferência. Desta forma, na parte II, os alunos terão a oportunidade de conhecer as características do número irracional pi e do conjunto dos números irracionais.

Esta é uma aula de campo composta por uma situação-problema proposta aos alunos que, em grupo, terão que mobilizar conhecimentos já adquiridos e estratégias para cumprir alguns desafios relacionados à circunferência.

Atividade de campo

Essa atividade está dividida em duas etapas: A) e B).

A) Preparação:

Professor escolha um local com pelo menos 4 árvores cujas medidas das circunferências dos troncos principais sejam aproximadas. Enumere as árvores seguindo um critério que lhe permita identificá-las futuramente e determine o comprimento da circunferência de cada uma delas (as medidas dos troncos podem ser feitas utilizando uma fita métrica ou uma trena).

Em sala de aula, prepare os alunos para o trabalho. Informe-os que farão uma aula de campo, e que terão como desafio, encontrar entre algumas árvores, uma cujo comprimento da circunferência você definir. Avise-os que você levará alguns materiais que poderão ser utilizados para a realização da atividade e que é de responsabilidades deles levarem lápis, borracha e régua. Adote um critério e separe-os em grupos de 3 ou 4 integrantes.

Agora, é só marcar a aula de campo (de preferência com 2 aulas geminadas) para que os alunos desenvolvam a atividade seguinte. Antes, porém, levantemos os materiais necessários para a atividade.

Materiais:

- Cordão, mangueira ou qualquer outro material flexível que permita contornar um tronco;

- régua ou o “metro de pedreiro”;

Observação: Propositadamente, a trena e a fita métrica, utilizada para costura, não foram citadas. A intenção é que os alunos percebam possibilidades a partir de instrumentos não formais ou aparentemente inadequados para certas medições, como nesse caso do comprimento da circunferência.

- folhas de tamanho A4 ou ofício (se puder, aproveite folhas que serão descartadas);

- cartolina ou papel pardo.

B) No campo (espaço físico onde se encontram as árvores)

No local onde as árvores estão, reforce o objetivo da atividade: encontrar a árvore que você escolheu e que tem um determinado comprimento da circunferência. Para isso, entregue a cada grupo uma folha rascunho para anotações e um pedaço de cordão (com tamanho superior ao da árvore de maior circunferência). De posse desses materiais, além de lápis, borracha e régua, solicite aos grupos que meçam e anotem a circunferência de todas as árvores indicadas e que identifiquem aquela que possui a medida apresentada.

Comentário: Os alunos podem apresentar dificuldades para usar os instrumentos que têm em mãos. Incentive-os a focarem no objetivo da atividade e a pensarem em encontrar funções para cada instrumento (régua, cordão, lápis, folha). Espera-se que os grupos usem o cordão para determinar o comprimento da circunferência, a régua para medir o comprimento do cordão e, consequentemente da circunferência.

Após determinarem e anotarem as medidas das circunferências de todas as árvores e encontrar a árvore desejada, peça aos grupos que “utilizando o papel pardo ou cartolina represente na forma de desenho, em tamanho real, a circunferência desta árvore”.

Comentário: Este passo se constitui num desafio aos alunos na medida em que terão que traçar planos, pensar estratégias e testá-las no intuito de fazer uma circunferência com uma medida determinada utilizando apenas os materiais disponíveis.

Dependendo do número de tentativas feitas pelos alunos, e se estas tentativas não os ajudaram a resolver a questão, o grupo pode querer desanimar da atividade. Nesse caso, o professor pode intervir ensinando-os a fazerem um compasso improvisado amarrando o cordão em uma caneta e um lápis, como o apresentado nas figuras 1 e 2. O lápis é mais adequado ao aluno por permitir apagar e refazer o desenho caso necessário. Optamos pelo pincel apenas para favorecer a ilustração.

Figuras 1 e 2: construção da circunferência com o compasso improvisado.

Fonte: autor.

Observação: A “ponta seca” (parte fixa do compasso que fica no centro da circunferência) pode ser os dedos, um graveto ou lápis, por exemplo, que permite, dependendo do raio escolhido, desenhar circunferências. Contudo, é preciso observar que na medida em que vai se formando a circunferência, o cordão tende a enrolar no objeto utilizado como ponta seca e encurtar o raio. Isso implica a necessidade de girar o objeto fixo acompanhando a caneta que se movimenta ao fazer a circunferência.

Depois de feita uma circunferência, o professor pode iniciar uma série de perguntas aos alunos: Como saber se o tamanho da circunferência desenhada corresponde ao tamanho da circunferência da árvore escolhida?

Espera-se que os alunos utilizem o cordão para contornar o desenho da circunferência e a régua para medi-lo, conforme as figuras 3 e 4.

Figuras 3 e 4: determinando o comprimento da circunferência desenhada com o compasso improvisado utilizando cordão e régua.

Fonte: autor.

Observação: Apesar de não utilizarmos a régua de 30 cm para ilustrar a atividade observamos que o uso da régua de 20 cm ou de 30 cm pelos alunos possibilitará aplicar e aperfeiçoar, se for o caso, do conhecimento adquirido com a adição de números racionais na forma decimal.

Outra pergunta a ser feita é: O que significa para a circunferência este ponto fixo, localizado pela “ponta seca” do compasso improvisado?

Espera-se que os alunos o identifiquem como sendo o centro da circunferência. Caso algum grupo não tenha feito isso antes, solicite aos alunos que marquem o centro da circunferência, nomeando-o com uma letra maiúscula do alfabeto da língua portuguesa.

Peça aos grupos que marquem alguns pontos na circunferência. Questione então, O que se pode observar da distância do centro até os pontos destacados na circunferência?

Espera-se que os alunos percebam que a distância do centro até os pontos destacados sejam iguais. A partir dessa observação questione: Isso acontece com qualquer ponto da circunferência? Por quê?

Espera-se que os alunos percebam que o tamanho do cordão utilizado, do lápis até o centro, é que determina o comprimento da circunferência, logo a distância do centro até qualquer ponto da circunferência é a mesma.

Comentário: Esse momento é oportuno para trazer o conceito de raio e diâmetro e a relação diretamente proporcional que o tamanho de ambos estabelece com o tamanho da circunferência, ou seja, aumentando-se um, aumenta-se os outros dois. O contrário também é verdadeiro.

Pode ser que algum aluno já reconheça o segmento, representado pelo cordão, como raio. Caso isso não aconteça o professor pode perguntar: Qual o nome que se dá a este segmento (parte) de cordão que determina a distância do centro à circunferência? O que acontecerá se aumentarmos ou diminuirmos esse segmento de cordão, ou seja, o raio da circunferência? E se considerarmos outro segmento composto por dois raios na circunferência, que formam entre si um ângulo raso (180º), como podemos chamar esse segmento? O que acontecerá com o raio e com a circunferência se aumentarmos ou diminuirmos o diâmetro? Qual é a medida do raio da circunferência que vocês fizeram? E do diâmetro?

Comentário: Os alunos podem determinar as medidas utilizando o cordão, conforme ilustra as figuras 5 e 6, e a régua.

Figuras 5 e 6: determinando o comprimento do raio e do diâmetro da circunferência.

Fonte: autor.

Professor, até agora, na busca de construir a circunferência desejada, com o compasso improvisado, os alunos tiveram que usar da tentativa e erro relacionando o tamanho do raio com o comprimento da circunferência obtida. Contudo, um caminho interessante para se obter o desenho da circunferência da árvore é utilizar o cordão com a medida igual ao do comprimento da circunferência da árvore e com ele fazer uma circunferência. Para isso, os alunos podem, novamente, medir a circunferência da árvore com o cordão, desprezando a parte excedente e utilizar uma circunferência feita anteriormente para ajudar a dar forma ao cordão, como ilustra a figura 7.

Figura 7: modelando a circunferência da árvore com o cordão.

Fonte: autor.

Comentário: Além da aparência ou aspecto visual de circunferência, é importante verificar por várias posições se o raio é o mesmo, conforme ilustra as figuras 8, 9, 10 e 11. Dessa forma, além do comprimento da circunferência é possível que os alunos determinem tanto a medida do raio quanto a do seu diâmetro.

Figuras 8, 9, 10 e 11: conferindo e dando forma a circunferência desejada pelo raio.

Fonte: autor.

Dessa forma os alunos podem novamente utilizar o compasso improvisado para desenhar no papel a circunferência correspondente a da árvore.

Caso já tenham estudado, os alunos podem utilizar o conteúdo de proporção como um recurso matemático estratégico.  Como os grupos, utilizando o compasso improvisado, já fizeram o desenho de uma circunferência e, com o cordão, determinaram a medida do seu comprimento e do seu raio, então, é possível, já sabendo a medida do comprimento da árvore desejada, escrever uma proporção que permite encontrar o raio da circunferência da árvore.

Figura 12: Esquema da proporção que permite encontrar o raio da árvore, necessário para fazer o desenho da circunferência.

Fonte: autor.

Assim, utilizando o compasso improvisado é possível fazer, em uma só tentativa, o desenho da circunferência do tamanho desejado.

Com esta aula foi possível modelar a circunferência de uma árvore e estabelecer relações entre o raio e o comprimento da circunferência e do raio com o diâmetro.

Finalizando a aula, lance a questão :

Existe uma relação entre o diâmetro e o comprimento da circunferência? 

As respostas á essa questão serão o ponto de partida da aula parte II que acontecerá na sala de aula, quando o professor poderá “brincar de mágica” com os alunos.

Observação: Para viabilizar o tempo da atividade, o professor pode, à medida que um grupo realizar uma etapa da atividade, solicitar que este auxilie outro grupo. Lembre-se que muitos alunos, turmas, não estão preparados para trabalhar em grupo, em especial quando o ambiente não é a sala de aula, local de costume. No entanto, se a escola é um espaço para preparar os alunos para a vida e o trabalho coletivo, esta atividade também é um bom exercício para que isso aconteça.

Como recurso complementar professor e alunos podem assistir ao vídeo

<https://youtube.googleapis.com/v/r16Aw0wWGxU%26source=uds%26autoplay=1>, no sentido de formalizar os conhecimentos adquiridos sobre circunferência e também apresentar a constante pi, o que nos interessa para a aula parte II.  Além disso, traz o conceito de círculo e área do círculo que ajudará no estudo deste conteúdo posteriormente.

A avaliação nesta atividade acontece em sentido amplo. O professor pode avaliar as estratégias, utilizadas pelos alunos para resolver o problema de medir o comprimento da circunferência das árvores, conjugando instrumentos formais (régua, metro de pedreiro) e não formais (cordão e compasso improvisado) de medida e representá-lo em forma de desenho no papel.

Outro aspecto a avaliar é o trabalho em grupo, para isso ressalta-se a necessidade de se observar entre outros: a coletividade, o respeito, a capacidade de ouvir, de aceitar e avaliar a ideia do outro e de aceitar possíveis críticas a respeito do próprio trabalho ou no caso, de suas estratégias.