A fim de desenvolver a competência da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM que é:

 

• Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.

 

Mais especificamente, avaliar as habilidades:

 

• Identificar relações algébricas que expressem relações entre grandezas (H19).
• Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos (H20).
• Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção deargumentação (H22).

 

São propostos como objetivos para essa aula que os alunos sejam capazes de:

 

• calcular o volume de um cilindro;
• construir um modelo matemático para o cálculo do volume do cilindro em função de sua altura;
• construir modelo matemático para o cálculo da massa do queijo provolone em função de seu comprimento;

1 a 2 horas/aula de 50 minutos.

• Volume do cilindro.
• Funções.

Essa aula traz uma situação problema envolvendo a venda de queijos, sobretudo em feiras e outros locais nos quais essa venda é feita sem a utilização de uma balança. Para isso, utiliza-se um queijo de formato cilíndrico, como por exemplo, o queijo provolone. Para dar seguimento à aula, usar-se-á a situação problema e a imagem do queijo provolone.

 

Professor(a), inicie a aula contextualizando.

 

Um feirante, vendedor de queijos, para chamar a atenção das pessoas, gritava:

 

“Atenção freguês! Atenção! Aproveite: Queijo provolone em promoção! Peça inteira, metade, ¼ !!!”

 

Ressalta-se que o queijo é produzido em forma cilíndrica e o vendedor expôs a possibilidade de vender metade, no entanto, não possuía balança, tampouco uma régua para dividir o queijo.

 

Diante do exposto, verifica-se que não há instrumento que possa contribuir com uma venda justa, tanto para o vendedor, quanto para o comprador.

 

 

A partir daí, questione os(as) alunos(as):

 

- Se comprarmos um pedaço de queijo, a cada centímetro que o vendedor cortar distante da metade, quantos gramas a menos ou a mais levarei na compra?

 

Estabeleça um breve intervalo para que possam refletir sobre o problema e expor argumentos.

 

Uma resposta esperada é que basta dividir a massa do queijo pelo seu comprimento em centímetros para obter a massa para cada cilindro de comprimento de um centímetro.

 

A resposta está correta, mas continue, se possível aproveitando os comentários, lembrando-os do formato do queijo, que assemelha-se a um cilindro e, portanto, pode ser aproximado para este sólido, levando à compreenção de um modelo matemático que mostre a afirmação.

 

 

Figura 1: Queijo provolone

Fonte: http://www.defumadosganchinho.com.br/wp-content/uploads/2012/12/720_QUEIJO-PROVO_02.jpg (acesso 10 nov. 2014).

 

 

COMENTÁRIO: Essa aula é indicada para turmas que busquem afinidade com a modelagem matemática, uma vez que a resposta ao questionamento não necessita de tudo o que virá adiante. Apesar disso, entendemos que essa é uma boa oportunidade para trabalhar alguns modelos matemáticos.

 

Considerando o queijo com o formato cilíndrico, pergunte sobre o cálculo de seu volume.

 

- Como calcular o volume do queijo, considerando sua forma como sendo a de um cilindro?

 

Resposta esperada: Área da base multiplicada pela altura. Nesse caso, considerando o raio da base (círculo) como “r” e a altura (que no caso pode ser entendida também como comprimento do queijo) como “h”, tem-se o volume “V” da seguinte forma:

 

V = π.r².h

 

Saliente que a quantidade de queijo é relativa não somente ao seu comprimento, mas também ao raio que forma a sua circunferência. No entanto, não se irá observar a mudança da circunferência do queijo, mas sim o fato de cortá-lo em um local diferente. Portanto, o raio será considerado uma constante. Em consequência, pode-se escrever o volume como uma função:

 

V(h) = π.r².h

 

Considere que “h” é o comprimento total do queijo, portanto, para evidenciar a metade, temos:

 

 

Ou seja, para considerar metade do volume do queijo cilíndrico, considera-se metade de seu comprimento. Chega-se então a um argumento que certamente já deve ter sido exposto pelos(as) alunos(as): para metade do queijo, basta cortá-lo na metade de seu comprimento.

 

Pode-se voltar ao questionamento inicial e considerar um centímetro a menos do que a metade do comprimento. Nesse caso, a função assume a seguinte forma:

 

 

Apesar de essa ser uma função que entrega o volume de queijo ao se descontar um centímetro a partir da metade de seu comprimento, ainda não responde ao questionamento inicial. É preciso considerar outra relação, a densidade (d) que é calculada por meio da razão entre a massa (m) e o volume (v).

 

d = m/v

 

Disso, temos que,

 

m = d.v

 

Pode-se considerar a densidade do queijo uma constante por todo ele. Logo, é possível observar uma relação que expressa a massa em função do volume:

 

m(v) = d.v

 

COMENTÁRIO: Professor(a) vá construindo essas relações pausadamente com os(as) estudantes, uma vez que elas podem trazer algumas complicações por serem generalizações.

 

Contudo, temos duas configurações para o volume do queijo. Uma ao cortá-lo pela metade. Outra ao retirar um centímetro a partir da metade. Observe:

 

• Considerando a metade do comprimento:

 

 

Mas, se o volume está variando em função da metade do comprimento “h”, é possível reescrever:

 

 

• Considerando um centímetro a menos que a metade do comprimento (aproveitando o raciocínio anterior):

 

 

É possível desenvolver um pouco mais o modelo, observe:

 

 

Disso surge uma importante observação:

 

 

Como utilizamos o modelo matemático para o cilindro e a densidade do queijo, podemos garantir que ao retirar um centímetro a partir da metade do comprimento total do queijo é como se retirasse a massa equivalente a um “cilindro de queijo” de comprimento 1 cm. Portanto, é possível garantir que ao se dividir a massa total do queijo pelo seu comprimento determina-se fatias de um centímetro de comprimento sobre o queijo.

 

Como atividade complementar e avaliativa, sugere-se que se solicite aos estudantes a melhoria do modelo, a fim de mostrar que é valido não somente para fatias de 1 cm de comprimento, mas para fatias de qualquer comprimento “c” menor que a metade do comprimento “h” total.

 

Resposta esperada:

 

 

Consequentemente,

 

Portanto,

 

 

Espera-se que essa aula auxilie como ferramenta para potencializar a capacidade de modelagem matemática dos(as) alunos(as).

Volume do cilindro

Disponível em: http://www.youtube.com/watch?v=FGab9htZ6LU (acesso 10 nov. 2014).

 

Densidade

Disponível em: http://www.brasilescola.com/quimica/densidade.htm (acesso 10 nov. 2014).

O processo de avaliação poderá ocorrer em todas as etapas, mediante a participação e o envolvimento dos alunos. Sugere-se ainda a avaliação individualizada com base na atividade complementar proposta ao final da aula.