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Equações do 2º grau no CAp UFRJ: Resolvendo via fatoração

 

04/12/2009

Autor y Coautor(es)
RITA MARIA CARDOSO MEIRELLES
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RIO DE JANEIRO - RJ COL DE APLIC DA UNIV FED DO RIO DE JANEIRO

Fernando Celso Villar Marinho, Priscila Marques Dias Corrêa

Estructura Curricular
Modalidad / Nivel de Enseñanza Disciplina Tema
Ensino Fundamental Final Matemática Álgebra
Ensino Fundamental Final Matemática Equações
Datos de la Clase
O que o aluno poderá aprender com esta aula

Resolver equações do segundo grau usando a forma fatorada de uma expressão algébrica.
Escrever a equação do segundo grau, conhecendo as suas raízes.
Resolver problemas que relacionam soma e produto das raízes de uma equação do segundo grau.

Duração das atividades
4 aulas de 50 minutos cada.
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Fatoração
Valor absoluto de um número racional.
Operações com números racionais
Equações do 1º grau

Estratégias e recursos da aula

O enfoque dessa aula é utilizar a fatoração de expressões algébricas, já estudada pelos alunos, na resolução de equações, sem a necessidade de memorização da tradicional fórmula de resolução.

É importante que os alunos saibam fatorar expressões algébricas. Para fazer uma revisão sobre o assunto, sugerimos que o professor convide os alunos a assistirem a vídeo-aula:

Fatoração – Parte 1–2, com duração aproximada de 7 minutos, acessando o link: http://epcpalmas.wordpress.com/2008/07/31/matematica-fatoracao-video-aula/

Além disso, é claro, devem saber resolver equações do 1º grau. Para uma revisão, sugerimos a atividade do recurso:

Equações do primeiro grau

 Link do recurso: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=11838

Elabore alguns exemplos, tais como:

1. O quíntuplo da área de um quadrado subtraído de 10 vezes a medida do lado desse quadrado é igual a 0. Qual a medida de seu lado?
Sendo x a medida do lado do quadrado, temos:
5x2 – 10x = 0

Questione o que pode ser feito para resolver a equação e, concluindo que deve-se colocar o fator comum (5x) em evidência, faça:
5x(x – 2) = 0

Nota: Relembre que o produto de dois ou mais números é igual a zero se pelo menos um deles é zero.
Portanto, x = 0 ou x – 2 = 0.
Ou seja, x = 0 ou x = 2.
A solução da equação é: S = {0, 2}

No problema em questão, como não é possível que o lado do quadrado seja 0, a solução pertinente é 2.

2. Pensei em um número negativo tal que a diferença entre o quadrado desse número e 121 é 0. Em que número pensei?
nº pensado: x
equação: x2 – 121 = 0

Questione o que pode ser feito para resolver a equação e, concluindo que deve-se fatorar a diferença de dois quadrados, faça:

(x + 11)(x – 11) = 0
Logo, x + 11 = 0 ou x – 11 = 0
A solução da equação é: S = {–11, 11}
No problema em questão, como o número pensado é negativo, a resposta é – 11.

3. Resolva a equação 4x2 + 20x = – 25.
Usando o princípio de equivalência: 4x2 + 20x + 25 = 0
Questione que tipo de fatoração pode ser feita no 1o membro da equação. Os alunos devem concluir que a expressão é um trinômio quadrado perfeito, então, pode-se escrever:
(2x + 5)2 = 0 e, portanto: 2x + 5 = 0
Logo, x = –5/2.
S = {–5/2}

Obs: Peça agora para que resolvam a equação 4x2 – 20x = – 25 e conclua, junto com a turma, que S = {5/2}

Criando Equações do 2º Grau

O objetivo aqui é mostrar aos alunos como criar equações do 2º grau que tenham como solução números previamente escolhidos. Este encaminhamento inverte a forma de raciocínio usual, porque os alunos saberão a priori a solução e terão que descobrir a equação.

Apresente o seguinte problema:

Determine a equação que tenha raízes iguais a 3 e 5.
Para resolver este problema, devemos observar que:
Se x = 3 é solução da equação, então x – 3 = 0.
Analogamente, se x = 5, então x – 5 = 0.
Como juntar essas duas informações? Ora, se o produto de dois números é zero então pelo menos um é igual a zero.
Logo, (x – 3)(x – 5) = 0.

Aplicando a propriedade distributiva e agrupando convenientemente, teremos:
x2 – 5x – 3x + 15 = 0.
Logo, a equação é x2 – 8x + 15 = 0

Proponha agora que os alunos determinem as equações cujas raízes são:
a) 4 e 7
(x – 4)(x – 7) = 0
x2 – 4x – 7x + 28 = 0
x2 – 11x + 28 = 0

b) –7 e –4
(x + 7)(x + 4) = 0
x2 + 7x + 4x + 28 = 0
x2 + 11x + 28 = 0

c) –7 e 4
(x + 7)(x – 4) = 0
x2 – 4x + 7x – 28 = 0
x2 + 3x – 28 = 0

d) –4 e 7
(x + 4)(x – 7) = 0
x2 – 7x + 4x – 28 = 0
x2 – 3x – 28 = 0

Generalizando:Para raízes iguais a a e b, temos:
(x – a)(x – b) = x2 – bx – ax + ab = x2 – (a + b) x + ab
Concluindo: (x – a)(x – b) = x2 – (a + b)x + abOu, x 2 – Sx + P = (x – a)(x – b), onde S = a + b e P = ab

Importante: Para uma boa compreensão das relações entre coeficientes e raízes de uma equação do 2º grau, faça a observação em cada exemplo de que: a soma das raízes da equação é igual ao oposto do coeficiente em x.

A proposta agora é encontrar as raízes de uma equação dada:
1) x2 – 5x + 4 = 0
Tem-se: S = 5 e P = 4
Importante: Se o produto é positivo e a soma positiva, então os dois números são positivos. Portanto, os números são: 1 e 4
x2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4)
Resolvendo a equação x2 – 5x + 4 = 0, encontramos para solução S = {1, 4}

2) x2 + 5x + 4 = 0
Tem-se: S = –5 e P = 4.
Importante: Se o produto é positivo e a soma negativa, então os dois números são negativos. Portanto, os números são: –1 e –4
x2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)
Resolvendo a equação x2 + 5x + 4 = 0, encontramos para solução S = {–4, –1}

3) x2 + x – 4 = 0
Tem-se: S = –1 e P = –4
Importante: Se o produto é negativo e a soma negativa, então os dois números têm sinais contrários e o de maior valor absoluto é negativo. Portanto, os números são: –4 e 1
Logo, x2 + x – 4 = (x + 4)(x – 1)
Resolvendo a equação x2 + x – 4 = 0, encontramos para solução S = {–4, 1}

4) x2 – x – 4 = 0
Tem-se: S = 1 e P = –4
Importante: Se o produto é negativo e a soma positiva, então os dois números têm sinais contrários e o de maior valor absoluto é positivo. Portanto, os números são: 4 e –1
Logo, x2 – x – 4 = (x – 4)(x + 1)
Resolvendo a equação x2 – x – 4 = 0, encontramos para solução S = {4, –1}

Visto que os alunos já sabem que:
x2 – Sx + P = (x – a)(x – b), em que S = a + b e P = ab, proponha alguns problemas que envolvam a manipulação algébrica dessas relações:

Problema 1.

Determine o valor de m na equação x2 + (3m + 8)x + 15 = 0, para que a soma de suas raízes seja 12.

Como S = 12 e sabendo que (3m + 8) corresponde ao oposto de S, temos que: 3m + 8 = –12
Resolvendo a equação em m, concluímos que:

Problema 2.

Determine o valor de p na equação 5x2 – 6x + 4p = 0, para que o produto de suas raízes seja – 4.

Obs: Faça os alunos observarem que, nesse caso, o coeficiente de x2 é diferente de 1. Portanto, é necessário utilizar o princípio da equivalência, no caso, dividir os dois membros da equação por 5, para que se possa usar o conceito aprendido.

Dividindo por 5, tem-se:

Resolvendo a equação em p, concluímos que: p = –5.

Problema 3.

Determine o valor de k na equação x2 + 6kx – 3 = 0, para que a soma dos inversos de suas raízes seja 5.

Considerando a e b como as raízes da equação, temos que, a soma dos inversos de a e b igual a 5, é representada algebricamente como:

Efetuando a adição, vem que:

Ora, b + a = S e ab = P, sendo S = –6k e P = –3, concluímos então que:

Resolvendo a equação:

Problema 4.

Determine os valores de q para os quais a equação x2 + (3q – 1)x + 4q = 0, admita:
a) raízes opostas (simétricas)
b) raízes inversas.

a) Se as raízes são opostas, então podemos dizer que se a é raiz, a outra raiz é –a. Ou ainda que,
a + (–a) = 0. Assim, podemos afirmar que S = 0, e portanto: – (3q – 1) = 0.
Resolvendo a equação, concluímos que:

 b) Se as raízes são inversas, então podemos dizer que se a é raiz, a outra raiz é 1/a.

Ou ainda que,

Assim, podemos afirmar que P = 1, e portanto: 4q = 1.

Resolvendo a equação, concluímos que:

Lista de exercícios complementares:

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/equacoes/ExercFatEquacoes.pdf

Recursos Educacionais
Nome Tipo
Equações do primeiro grau Animação/simulação
Recursos Complementares
Avaliação

A avaliação do aluno pode ser feita levando em consideração:
– participação em aula
– resolução de listas de exercícios
– trabalhos em grupo ou individuais
– resolução, em sala de aula, de questões desafio

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