12/01/2015
Guilherme dos Santos Martins Dias, Angela Cristina dos Santos, Antomar Araújo Ferreira
Modalidade / Nível de Ensino | Componente Curricular | Tema |
---|---|---|
Ensino Médio | Matemática | Álgebra |
A fim de desenvolver as competências da área 6 da Matriz de Referência Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é:
É proposto como objetivo para esta aula que o aluno seja capaz de somar e subtrair duas matrizes de mesma ordem e ainda multiplicar uma matriz por um escalar.
Conceito e ordem dematriz.
Esta aula é continuação das aulas:
Um estudo de matrizes por meio de situações cotidianas – Parte 1: compreendendo e conceituando matriz. Disponível no portal do professor, no endereço <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58306> (acesso em 17 nov. 2014).
Um estudo de matrizes por meio de situações cotidianas – Parte 2: classificando matrizes. Disponível no portal do professor, no endereço <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58317> (acesso em 17 nov. 2014).
Professor(a), inicie a aula recordando com os alunos o conceito de matriz. Caso seja necessário, retome as aulas citadas anteriormente.
Após recordar o conceito, a representação e a notação de matriz e de seus elementos, apresente-os a seguinte situação:
SOMA DE MATRIZES.
SITUAÇÃO 1:
Uma empresa de lava jato oferece serviço a três tipos de carros: Carros pequenos, caminhonetes e vans. Estão inclusos nos serviços lavar, aspirar e encerar. As tabelas abaixo mostram a quantidade de cada tipo de veículos que esteve no lava jato para realizar cada tipo de serviço em dois dias consecutivos de uma determinada semana.
Tabela 1: Trabalho no lava jato em uma segunda-feira.
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Carro |
Caminhonete |
Van |
Lavar |
10 |
3 |
2 |
Aspirar |
7 |
3 |
2 |
Encerar |
5 |
3 |
1 |
Fonte: Arquivo do autor
Tabela 2: Trabalho no lava jato em uma terça-feira.
|
Carro |
Caminhonete |
Van |
Lavar |
8 |
1 |
1 |
Aspirar |
8 |
1 |
0 |
Encerar |
6 |
0 |
1 |
Fonte: Arquivo do autor
Em seguida, peça para os alunos exibirem as duas matrizes que representam estes dois dias de trabalho no lava jato.
Espera-se que os alunos apresentem as seguintes matrizes:
Questione:
- Qual a ordem dessas matrizes?
Espera-se que os alunos percebam que ambas as matrizes têm ordem 3x3.
- Quantos carros foram lavados, ao todo, nesses dois dias?
Espera-se que os alunos percebam que foram lavados, ao todo, 18 carros.
- Como este resultado foi obtido?
Espera-se que os alunos percebam que basta somar os primeiros elementos de cada matriz, isto é, os elementos , já que estes representam os números de carros lavados na segunda e na terça, respectivamente.
- Quantas caminhonetes foram lavadas, ao todo, nesses dois dias?
A resposta esperada é 4.
- Como este resultado foi obtido?
Espera-se que os alunos percebam que basta somar os elementos , das matrizes A e B, já que estes representam os números de caminhonetes lavadas na segunda e na terça, respectivamente.
- Quantas vans foram lavadas, ao todo, nesses dois dias?
A resposta esperada é 3.
- Como este resultado foi obtido?
Espera-se que os alunos percebam que basta somar os elementos , das matrizes A e B, já que estes representam os números de vans lavadas na segunda e na terça, respectivamente.
Agora, peça para os alunos apresentarem uma matriz D, linha, que indique o número total de carros, caminhonetes e vans lavados nesses dois dias. Os alunos devem apresentar a seguinte matriz:
Em seguida, repita o processo para a quantidade de veículos aspirados e encerados. Os alunos devem apresentar as seguintes matrizes:
Peça agora para os alunos construírem uma tabela indicando a quantidade de cada tipo de veículos que esteve no lava jato para realizar cada tipo de serviço nos dois dias e, em seguida, apresentarem a matriz C que represente esta tabela.
Espera-se que os alunos percebam que a tabela é a seguinte:
Tabela 3: Trabalho no lava jato na segunda e terça-feira.
|
Carro |
Caminhonete |
Van |
Lavar |
18 |
4 |
3 |
Aspirar |
15 |
4 |
2 |
Encerar |
11 |
3 |
2 |
Fonte: Arquivo do autor.
E a seguinte matriz:
Então questione:
- Qual a ordem dessa matriz?
Espera-se que os alunos vejam que esta matriz tem ordem 3x3, que é a mesma ordem das matrizes A e B.
- Como foi calculado o elemento ?
Espera-se que os alunos vejam que , ou seja, uma entrada de C que se encontra na linha i e coluna j, foi obtida somando as entradas de A e B que se encontram na linha i e coluna j dessas matrizes.
Comentário: É importante ficar claro para os alunos que, em cada um dos cálculos anteriores, os números somados representam o mesmo tipo de veículo e o mesmo tipo de serviço oferecido pelo lava jato. Dessa forma, em ambas as tabelas devem constar os mesmos tipos de veículos e os mesmos tipos de serviços, dispostos da mesma maneira na tabela. Assim, as matrizes devem ter a mesma ordem.
Afirme que C representa a matriz A + B e, em seguida, defina para os alunos que esta operação representa a soma das matrizes A e B.
A soma de duas matrizes A e B, de ordem m x n, é uma matriz C = A + B obtida somando as entradas correspondentes das duas matrizes, isto é, . A ordem de C também será m x n.
Assim, a matriz soma C, resumidamente, pode ser calculada da seguinte forma:
Após compreenderem a soma de matrizes, apresente-lhes a seguinte situação:
SUBTRAÇÃO DE MATRIZES.
SITUAÇÃO 2:
João e Pedro têm contas em uma mercearia e um açougue. A tabela abaixo representa o valor que cada um deve em cada um dos estabelecimentos.
Tabela 4: Dívidas de João e Pedro.
|
João |
Pedro |
Mercearia |
R$500,00 |
R$350,00 |
Açougue |
R$350,00 |
R$200,00 |
Fonte: Arquivo do autor.
Certo dia, ambos foram ao açougue e à mercearia para pagar uma parte de suas dívidas. A tabela seguinte mostra o quanto João e Pedro pagaram em cada estabelecimento.
Tabela 5: Valores pagos por João e Pedro.
|
João |
Pedro |
Mercearia |
R$300,00 |
R$250,00 |
Açougue |
R$200,00 |
R$200,00 |
Fonte: Arquivo do autor.
Em seguida, peça para os alunos construírem duas matrizes que representem as duas tabelas acima. Espera-se que eles apresentem as seguintes matrizes:
Questione:
- Qual a ordem dessas matrizes?
Espera-se que os alunos vejam que estas matrizes têm ordem 2x2.
- Quanto João ainda ficou devendo na mercearia?
Espera-se que os alunos percebam que João ainda ficou devendo R$200,00 na mercearia.
- Como este resultado foi obtido?
Espera-se que os alunos percebam que como João devia R$500,00 e pagou R$300,00, ainda faltam R$200,00 para quitar a dívida.
Observação: Destaque para os alunos que R$500,00 é o elemento da matriz M e R$300,00 é o elemento da matriz M. Assim, o valor restante foi obtido calculando .
- Quanto João ficou devendo no açougue?
Espera-se que os alunos percebam que João ainda ficou devendo R$150,00 no açougue.
- Como este resultado foi obtido?
Espera-se que os alunos percebam que como João devia R$350,00 e pagou R$200,00, ainda faltam R$150,00 para quitar a dívida.
Observação: Destaque para os alunos que R$350,00 é o elemento da matriz M e R$200,00 é o elemento da matriz M. Assim, o valor restante foi obtido calculando .
Peça agora para que os alunos construam uma matriz coluna que represente a dívida restante de João na mercearia e no açougue. A matriz que deverão apresentar é a seguinte:
Professor(a), repita o processo para o caso de Pedro. A matriz que deverão apresentar é:
Peça agora para os alunos construírem uma tabela, similar à tabela 4, contendo o valor das dívidas restantes de João e Pedro em cada estabelecimento. E depois a matriz que a represente.
Espera-se que os alunos apresentem a seguinte tabela:
Tabela 6: Dívidas de João e Pedro após pagarem uma parte da conta.
|
João |
Pedro |
Mercearia |
R$200,00 |
R$100,00 |
Açougue |
R$150,00 |
R$0,00 |
Fonte: Arquivo do autor.
E também a seguinte matriz:
Em seguida, questione:
- Qual a ordem dessa matriz?
Espera-se que os alunos vejam que esta matriz tem ordem 2x2, que é a mesma ordem das matrizes M e N.
- Como foi calculado o elemento ?
Espera-se que os alunos vejam que , ou seja, uma entrada de T, que se encontra na linha i e coluna j, foi obtida subtraindo as entradas de M e N que se encontram na linha i e coluna j dessas matrizes.
Comentário: É importante ficar claro para os alunos que, em cada um dos cálculos anteriores, os números subtraídos indicam a mesma pessoa e é referente ao mesmo estabelecimento. Dessa forma, em ambas as tabelas devem constar os mesmos estabelecimentos e as dívidas de João e Pedro. Assim, as matrizes devem ter a mesma ordem.
Afirme que T representa a matriz M – N e, em seguida, defina para os alunos que esta operação representa a subtração das matrizes A e B.
A diferença de duas matrizes A e B, de ordem m x n, é uma matriz C = A – B, obtida subtraindo as entradas correspondentes das duas matrizes, isto é, . A ordem de C também será m x n.
Assim, a matriz soma T, resumidamente, pode ser calculada da seguinte forma:
Após compreenderem a subtração de matrizes, apresente-lhes a seguinte situação:
MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL.
SITUAÇÃO 3:
Maria foi a uma loja de eletrodomésticos e comprou uma geladeira e um fogão e dividiu os valores em 10 parcelas. Os valores das parcelas de cada do produto está sendo representados na tabela abaixo.
Tabela 6: Dívidas de João e Pedro após pagarem uma parte.
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Maria |
Geladeira |
R$150,00 |
Fogão |
R$50,00 |
Fonte: Arquivo do autor.
Em seguida, peça para os alunos apresentarem a matriz que representa essa tabela. Espera-se que seja apresentada a seguinte matriz:
Questione:
- Qual o valor total da geladeira?
Espera-se que os alunos compreendam que para saber o valor total da geladeira, basta multiplicar o valor de cada parcela, pelo número total de parcelas, isto é, basta fazer 150,00 * 10 = 1500,00.
- Qual o valor total do fogão?
Da mesma forma, espera-se que os alunos cheguem a conclusão de que o valor do fogão é 50,00*10 = 500,00.
Em seguida, peça para os alunos construírem uma matriz coluna com os preços da geladeira e do fogão. Espera-se que os alunos apresente a seguinte matriz:
Então, volte a questionar:
- Qual a relação entre as entradas de K e H?
Os alunos devem perceber que a entrada da matriz K é dez vezes a entrada da matriz H, isto é, .
Assim, apresente para os alunos a notação K = 10 x H, e defina o produto de uma matriz por um escalar.
O produto de uma matriz A de ordem m x n, por um número k, é uma matriz B = k x A, obtida multiplicando cada entrada de A por k.
Assim, a matriz soma T, resumidamente, pode ser calculada da seguinte forma:
ATIVIDADES DE CONTEXTUALIZAÇÃO:
1- Dentre as matrizes abaixo, identifique aqueles pares em que é possível somar e subtrair, realizando estas operações quando possível.
2- Dadas as matrizes:
Determine:
a) A matriz D resultante dada pela operação A + B – C.
b) A matriz M resultante dada pela operação A + B + C.
c) A matriz N resultante dada pela operação 2A + 3B +C.
d) A matriz O resultante dada pela operação A – 2B + 4C.
Jogo envolvendo memória e matriz.
http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/fabrica_virtual/matrizes_futebol/Matrizes_Futebol/. Acesso em 18 out. 2014.
Para estudo do conteúdo de matriz:
http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes2.php. Acesso em 18 out. 2014.
A avaliação deverá ser feita de modo contínua, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.
O professor poderá também adotar como critério para avaliação:
Duas estrelas 2 classificações
Denuncie opiniões ou materiais indevidos!
26/02/2015
Quatro estrelasMuito boa!
27/01/2015
Uma estrelaAchei uma aula comum sem fugir a contextualização dos livros didáticos. Preciso de mais recursos para chamar atenção dos meus alunos para observação e levantamento de dados.