A fim de desenvolver as competências da área 6 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extrapolação, interpolação e interpretação, tais como a utilização de informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências (H24), a resolução de problemas com dados apresentados em tabelas ou gráficos (H25) e a análise de informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos (H26), é proposto como objetivos para esta aula que o aluno consiga identificar matrizes: diagonal, identidade, transposta, simétrica e triangular.

 

2 horas/aulas

 

Conceito e ordem de matriz.

 

 

Esta aula é continuação da aula: Um estudo de matrizes por meio de situações cotidianas - Parte 1: Compreendendo e conceituando matriz, disponível no portal do professor, no endereço <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=58306>. Acesso em 19 out. 2014.

 

Professor(a), inicie a aula retomando com os alunos o conceito de matriz. Caso seja necessário, retome a aula citada anteriormente. Então retome também o exemplo da aula anterior:

 

Uma empresa de lava jato oferece serviço a três tipos de veículos: CARROS, CAMINHONETES e VANS. Estão inclusos nos serviços lavar, aspirar e encerar.  A tabela abaixo mostra o tempo gasto (em minutos) para realizar cada um dos tipos de serviços em cada um dos diferentes automóveis.

 

Tabela 1: Tabelas de dados.

	CARRO	CAMINHONETE	VAN
Lavar	25	30	30
Aspirar	20	20	60
Encerar	30	30	50

 

Fonte: Arquivo do autor

 

Professor(a), a partir desse exemplo, dê continuidade ao estudo de matrizes, agora destacando a classificação e a caracterização de algumas matrizes particulares.

 

 

MATRIZ COLUNA

 

Peça aos alunos para representarem por meio de uma matriz as informações relativas ao tempo gasto em cuidados com um carro, no caso, o tempo para lavar, aspirar e encerar.

 

Caso os alunos tenham dificuldade para representar a matriz citada, faça os seguintes questionamentos:

 

-  Onde se encontram essas informações?

   Espera-se que os alunos observem que essas informações se encontram na primeira coluna.

 

-  Se essas informações se encontram na primeira coluna, qual é a posição (vertical ou horizontal) em que estão dispostas?

   Espera-se que os alunos respondam que, como se trata de uma coluna, a matriz deverá ser vertical.

 

-  Nesse caso, qual deve ser o número de linhas e o número de colunas da matriz pedida? Qual é a ordem dessa matriz?

   Observando as questões levantadas e a tabela espera-se que os alunos respondam que a matriz deve ter 3 linhas e 1 coluna, logo a ordem deve ser 3 x 1.

 

Professor(a), após esses questionamentos, retome a pergunta:

 

- Qual é essa matriz?

   Espera-se que a matriz apresentada pelos alunos seja:

 

                    

 

Eles devem perceber que esta matriz tem 3 linhas e apenas 1 coluna, portanto é de ordem 3 x 1.

 

Então, apresente para os alunos a denominação de matriz coluna para as matrizes desta natureza, isto é, matriz coluna é toda matriz que possui apenas uma coluna.

 

Observação: Deve ser ressaltado que para ser uma matriz coluna, o número de linhas pode ser qualquer, desde que tenha apenas uma coluna.

 

 

Continue o estudo...

 

 

MATRIZ LINHA

 

Peça para os alunos considerarem as informações da tabela, referentes apenas ao enceramento dos veículos e que escrevam a matriz que relaciona essas informações da tabela. Se necessário, faça os seguintes  questionamentos:

 

-  Onde se encontram essas informações?

   Espera-se que os alunos observem que essas informações se encontram na terceira linha.

 

-  Se as informações solicitadas estão na terceira linha, qual é a posição (vertical ou horizontal) em que se encontram dispostas?

   Espera-se que os alunos respondam que, como se trata de uma linha, a matriz deverá ser horizontal.

 

-  Nesse caso, qual deve ser o número de linhas e o número de colunas da matriz pedida? Qual é a ordem dessa matriz?

   Observando as questões levantadas e a tabela, espera-se que os alunos respondam que a matriz deve ter 1 linha e 3 coluna, logo a ordem deve ser do tipo 1 x 3.

 

-  Como se representa, então, essa matriz?

    A matriz que deve ser apresentada pelos alunos é a seguinte:

 

             

 

   Eles devem perceber que esta matriz tem apenas 1 linha e 3 colunas, portanto é de ordem 1 x 3.

 

Então, apresente para os alunos a denominação de matriz linha para as matrizes desta natureza, isto é, que possuem apenas uma linha.

 

Observação: Deve ser ressaltado que para ser uma matriz linha, o número de colunas pode ser qualquer, desde que tenha apenas uma linha.

 

 

MATRIZ QUADRADA

 

Peça para os alunos escreverem a matriz que representa a tabela completa do problema.

Espera-se que os alunos apresentem a seguinte matriz:

 

               

 

Então destaque para os alunos que essa matriz é de ordem 3 x 3, ou seja, o número de linhas e de colunas são iguais. Apresente então para eles a denominação de matriz quadrada para as matrizes que possuem essa característica, isto é, toda matriz quadrada é uma matriz onde o número de linhas é igual ao número de colunas.

 

Comentário: Aqui pode ser feita uma analogia a um quadrado, que tem a medida da base igual à medida da altura.

 

Para verificar se compreenderam o conceito de matriz quadrada, solicite aos alunos que escrevam as seguintes matrizes e que em seguida digam se são ou não quadradas, justificando.

 

1) Observando a tabela dada, escreva uma matriz que representa o tempo necessário para lavar, aspirar e encerar um carro e uma caminhonete.

     Espera-se que os alunos percebam que essa matriz será do tipo 3 x 2, logo o número de linhas será diferente do número de colunas, portanto não é uma matriz

     quadrada.

 

2) Observando a tabela dada, escreva uma matriz que representa o tempo necessário para lavar e encerar uma caminhonete e uma van.

     Espera-se que os alunos percebam que essa matriz será do tipo 2 x 2, logo o número de linhas será igual ao número de colunas, portanto é uma matriz

     quadrada.

 

3) Observando a tabela dada, escreva uma matriz que representa o tempo necessário para aspirar um carro e uma caminhonete.

     Espera-se que os alunos percebam que essa matriz será do tipo 1 x 2, logo o número de linhas será diferente do número de colunas, portanto não é uma matriz

     quadrada, e sim uma matriz linha.

 

4) Observando a tabela dada, escreva uma matriz que representa o tempo necessário para aspirar uma van.

     Espera-se que os alunos percebam que essa matriz será do tipo 1 x 1, logo o número de linhas será igual do número de colunas, portanto é uma matriz quadrada. Essa

     matriz poderá ser representada por: A = (  60 ) ou A = [ 60 ] ou A = II 60 II.

 

 

MATRIZ DIAGONAL

 

Na situação do lava jato, descrita no início, ouve um dia em que apareceram veículos em que seriam realizados apenas um serviço. No caso: 10 carros para serem lavados, 7 caminhonetes para serem aspirados e 1 van para encerar.

 

Então questione:

 

- Qual matriz representa, neste dia, o serviço realizado nesses veículos, no lava jato?

   Espera-se que os alunos cheguem à seguinte matriz:

 

             

 

Em seguida, questione com eles:

 

-  Quantas linhas e colunas essa matriz possui? Esses números são iguais? Então como podemos chamar essa matriz?

   Espera-se que os alunos percebam que essa matriz tem 3 linhas e 3 colunas, sendo assim de ordem 3 x 3. Portanto, é uma matriz quadrada.

 

-  Que característica pode ser identificada nesta matriz com respeito aos elementos ?

   Espera-se que os alunos percebam que apenas os elementos da diagonal são diferentes de zero.

 

Apresente então para eles a denominação de matriz diagonal. Matriz diagonal é toda matriz quadrada, onde a diagonal tem pelo menos um elemento diferente de zero e os elementos que não pertencem à diagonal, iguais a zero.

 

Observações:

• Podem surgir algumas dúvidas com respeito ao que seria a diagonal da matriz. Então defina a diagonal como sendo os elementos , onde i = j, que também pode ser comparada à diagonal do quadrado (decrescente da esquerda para a direita). Ressalte que essa diagonal é chamada de diagonal principal.

• Destaque que pode ocorrer de alguns dos elementos da diagonal serem nulos. O fato é que não pode ser todos nulos.

•  Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada.

 

MATRIZ IDENTIDADE

 

No problema do lava jato, ouve um dia em que apareceram 1 carro para lavar, 1 caminhonete para aspirar e 1 van para encerar, nenhum outro serviço foi feito nesse dia. Questione:

 

- Qual matriz representa este dia de trabalho no lava jato?

   Espera-se que os alunos cheguem à seguinte matriz:

 

                 

 

Os alunos devem chegar à conclusão de que C é uma matriz quadrada, de ordem 3 x 3, diagonal e todos os elementos da diagonal são iguais a 1.

 

Defina, então, com os alunos que toda matriz quadrada com essas características, recebem o nome de matriz identidade.

 

 

MATRIZ TRANSPOSTA

 

Após os alunos compreenderem a definição de matriz identidade, questione para os alunos:

 

-  Olhando para a matriz A, o que as linhas e as colunas representam para essa matriz?

   Espera-se que os alunos retomem que as colunas da matriz A indicam o tipo de automóvel e as linhas indicam o tipo de serviço prestado pelo lava jato.

 

-  Como seria esta matriz se invertêssemos a função das colunas e das linhas, isto é, utilizássemos as linhas para indicar o tipo de automóvel e as colunas para

    indicar o tipo de serviço prestado pelo lava jato?

   Espera-se que os alunos apresentem a seguinte matriz.

 

                   

 

-  Como a matriz D pode ser relacionada com a matriz A?

   Espera-se que os alunos percebam que a primeira linha da matriz A é a primeira coluna da matriz D; a segunda linha da matriz A é a segunda coluna da matriz D; a terceira linha da matriz A é a terceira coluna da matriz D.

 

Observações:

• Destaque para os alunos que o elemento   da matriz D é igual ao elemento da matriz A.
• Os elementos da diagonal ficam fixos.

 

Defina então para os alunos que a matriz D obtida trocando as linhas por colunas de uma matriz A é chamada matriz transposta de A. Além disso, quando uma matriz é igual à sua transposta, esta matriz recebe o nome de matriz simétrica.

 

 

MATRIZ TRIANGULAR

 

Considere um dia de serviço no lava jato em que houve:

• 7 carros apenas para lavar;
• 3 caminhonetes para lavar e aspirar;
• 4 vans para lavar e 2 apenas, para encerar.

 

Peça então para que os alunos construam uma matriz que represente este dia de serviço no lava jato. Espera-se que os alunos encontrem a seguinte matriz:

 

                

 

Então questione:

 

-  Quais são as características dessa matriz?

   Os alunos devem chegar à conclusão de que D é uma matriz quadrada, de ordem 3 x 3, e que todos os elementos que estão de um dos lados da diagonal são iguais a 0.

 

Definir então para os alunos que as matrizes com essa característica recebem o nome de matriz triangular.

 

Observação: Observe com os alunos que há dois tipos de matriz triangular.

• Quando os elementos abaixo da diagonal forem todos iguais a zero e pelo menos um dos elementos acima da diagonal seja diferente de zero (neste caso, a matriz é dita triangular superior).

• Quando os elementos acima da diagonal forem todos iguais a zero e pelo menos um dos elementos abaixo da diagonal seja diferente de zero (neste caso, a matriz é dita triangular inferior). Seria o caso, por exemplo, da inversão dos veículos. Veja a seguir:

                                                        - 7 vans apenas para encerar;

                                                         - 3 caminhonetes para aspirar e encerar;

                                                         - 4 carros para lavar, um para aspirar e 2 apenas, para encerar.

Nesse caso, a matriz triangular inferior será:

                                                  

 

 

ATIVIDADES DE CONTEXTUALIZAÇÃO

 

1-      Caracterize as seguintes matrizes, dizendo qual a ordem e se é linha, coluna, diagonal, identidade, triangular ou simétrica:

 

                    

 

2-      Observe a matriz a seguir       

  

                             

 

      a) Qual é a ordem dessa matriz?

      b) Classifique-a.

      c) Escreva um problema, que pode ser representado pela matriz A.

      d) Utilizando os dados organizados na matriz A, dê um exemplo de uma matriz:

d.1) linha;

d.2) coluna;

d.3) transposta;

d.1) triangular.

 

 

Jogo envolvendo memória e matriz.

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/fabrica_virtual/matrizes_futebol/Matrizes_Futebol/. Acesso em 18 out. 2014.

 

Estudo do conteúdo Matrizes.

http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes2.php . Acesso em 18 out. 2014.

 

 

A avaliação deverá ser feita de modo contínua, cumulativa e sistemática em todo o processo, observando a participação efetiva do aluno, individualmente ou da dupla nas atividades propostas.

O professor poderá também adotar como critério para avaliação:

• O envolvimento do aluno com as atividades.
• A motivação em apresentar suas respostas para a turma.
• A seriedade para a correção dos exercícios.