• Calcular prestações, dados o preço à vista, a taxa de juros desejada e a duração do pagamento.

• Equivalência de Capitais;
• Progressão Geométrica;
• Leitura e Construção de Tabelas.

O objetivo desta aula é permitir que os alunos calculem o valor das prestações do financiamento de um produto, tendo em mãos o valor à vista, a taxa de juros desejada e a duração do pagamento. Como este conteúdo não é de simples assimilação, sugere-se que todo o estudo seja feito com base em exercícios, visando o pleno entendimento do raciocínio e dos procedimentos envolvidos.

De início, propõe-se trabalhar com a atividade que se segue. É conveniente providenciar calculadoras para os alunos.

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Walter deseja comprar uma televisão cujo preço á vista é R$ 1 800,00. A loja cobra juros de 5% ao mês. Walter opta, inicialmente, por parcelar em duas vezes no sistema (0 + 2), isto é, sem entrada, com duas prestações mensais e iguais de R$ 968,05.

a) Como calcular o valor das prestações, usando simplesmente a ideia de que se deve pagar juros sobre o valor à vista?

b) A resposta encontrada no item anterior está de acordo com o enunciado do problema? Em caso negativo, preencha uma das tabelas abaixo baseada no valor encontrado no item anterior e a outra baseada no valor apresentado no texto. Qual das prestações está com o valor correto?

c) Como obter o valor correto das prestações, utilizando a equivalência de capitais?

d) Qual seria o valor das prestações nas seguintes opções de financiamento:

(1+1) Entrada mais uma prestação.

(0+0+1) Sem entrada, com uma prestação a vencer em 60 dias.

(1+0+1) Com entrada mais uma prestação a vencer em 60 dias.

(1+2) Entrada mais duas prestações.

(0+3) Sem entrada, com três prestações.

(0+6) Sem entrada, com seis prestações.

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No item a, espera-se que os alunos calculem o montante devido após 2 meses (1800.1,05²) e dividam por 2, o que os levará a parcelas de maior valor (R$ 992,25) do que o apresentado no enunciado. Este raciocínio não está correto, pois considera juros sobre todo o valor durante 2 meses, quando, na verdade, na primeira prestação, os juros incidem apenas sobre 1 mês. Porém, é interessante não corrigir os alunos neste momento. Nos próximos itens, eles poderão perceber que algo está errado.

No item b, como os cálculos deverão ser feitos mês a mês, é provável que os alunos concluam que a resposta do item a está errada (caso tenha sido utilizado o raciocínio acima descrito), ao passo que o valor da prestação apresentado no texto está correto. Observe as respostas esperadas abaixo.

Como a primeira prestação será deduzida do saldo devedor ao final do primeiro mês, será possível perceber que no segundo mês a taxa de juros não incidirá sobre o valor total. Desta forma, pode-se concluir o porquê do procedimento esperado no item a estar errado. Caso outras respostas incorretas sejam apresentadas neste item, se pertinentes, deve-se analisá-las e discuti-las com os alunos.

Antes de os alunos resolverem o item c, é necessário esclarecer que o preço à vista de um produto é igual ao somatório dos valores atuais das prestações, ou seja, dos valores das prestações no ato da compra. Pela equivalência de capitais, sabe-se que para encontrar um valor atual a partir de um valor futuro, deve-se dividir este por (1 + i)ⁿ, sendo i a taxa de juros considerada e n, sendo i a taxa de juros considerada e n o tempo envolvido na operação. Considerando, ain da, V como o valor do produto à v ista e P o valor de cada prestação, tem-se:

Observe que a prestação (P) que não se apresenta dividida por (1 + i)ⁿ, não sofreu incidência de juros, o que significa que foi paga no ato da compra, ou seja, foi paga como entrada.

Note que, na fórmula apresentada, o valor à vista nada mais é do qu e o somatório de uma progressão geométrica, cujo primeiro termo é P (quando há entrada) e cuja razão é 1/(1 + i).

Cabe ressaltar, que a fórmula em si não deve ser supervalorizada, mas sim o raciocínio que a compõe.

De posse dessas informações, os alunos podem tentar solucionar o item c, onde é esperado que eles resolvam a equação:

para obter o valor de P igual a R$ 968,05.

Por fim, no item d, os alunos deverão calcular o valor das prestações para outros tipos de financiamento. O raciocínio é o mesmo do item c, porém as equações serão diferentes.

Para a resolução dos dois últimos casos do item d, onde o tempo de financiamento é maior ou igual a 3 meses, é interessante trabalhar pensando no somatório da progressão geométrica. Caso contrário, será necessário resolver uma equação, no mínimo, de grau 3, conteúdo este que, a princípio, não é estudado no Ensino Médio.

Assim, teremos a seguinte equação:

Apesar de parecer complicado, como i, n e V são conhecidos, com auxílio de uma calculadora, o valor de P pode ser encontrado sem maiores dificuldades. Observe que o primeiro termo da progressão geométrica pode variar conforme a opção de pagamento analisada.

Além disto, para desenvolver esta equação, pode-se substituir (1 + i) por x. Este recurso matemático tem a finalidade de simplificar equações muito grandes, podendo dar menos margem a erros.

Os procedimentos aqui estudados são de grande valia, por exemplo, para um comerciante que precisa calcular o valor das prestações que serão cobradas de seus clientes. Perceba que para ele as opções de financiamento oferecidas se equivalem, uma vez que o valor à vista e a taxa de juros são fixos, variando apenas o valor da prestação de acordo com o tempo de financiamento.

A seguir, tem-se alguns exercícios que podem ser trabalhados com os alunos para fixação do conteúdo estudado.

1) Um bem, cujo preço à vista é R$ 120,00, é vendido em duas prestações mensais iguais, a primeira sendo paga 1 mês após a compra. Se são cobrados juros compostos de 8% ao mês, determine o valor das prestações.

2) Uma geladeira custa R$ 2 000,00 à vista e pode ser paga em três prestações mensais iguais. Se são cobrados juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, determine o valor das prestações sabendo que a primeira é paga no ato da compra.

3) Um produto, cujo preço à vista é R$ 230,00, é vendido em seis prestações mensais iguais, a primeira sendo paga no ato da compra. Se os juros são de 10% ao mês, determine o valor das prestações.

4) Um freezer pode ser comprado à vista por R$ 1 500,00 ou em quatro prestações mensais iguais, sem entrada. Se o vendedor cobra juros de 5% ao mês sobre o saldo devedor, qual o valor aproximado de cada prestação?

A atividade proposta para os alunos está disponível para download no link:

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/matfinanceira/prest.pdf

Veja também as seguintes aulas que complementam este assunto:

• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Introdução
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Juros Compostos
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Equivalência de Capitais
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Equivalência de Taxas
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Cálculo de Taxa de Juros
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Opções de Pagamento
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Opções de Pagamento e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Sistemas de Amortização
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Tabela Price e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: SAC e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Análise Financeira

A avaliação deve ser feita ao longo de toda a aula baseada tanto na participação, quanto no desempenho dos alunos nas atividades propostas. É importante que eles debatam, critiquem e tirem suas próprias conclusões. Outros exercícios também podem ser feitos para complementar a avaliação.