• Calcular taxas de juros, dados o valor à vista, o valor das prestações e a duração do pagamento.

• Equivalência de Capitais;
• Equivalência de Taxas.

O objetivo desta aula é permitir que os alunos calculem o valor da taxa de juros do financiamento de um produto ou de um empréstimo, tendo em mãos o valor à vista, o valor das prestações e a duração do pagamento. Como este conteúdo não é de simples assimilação, sugere-se que todo o estudo seja feito com base em exercícios, visando o pleno entendimento do raciocínio e dos procedimentos envolvidos.

De início, propõe-se trabalhar com a atividade que se segue. É conveniente providenciar calculadoras para os alunos.

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Um banco envia uma correspondência a seus clientes com benevolentes ofertas de financiamento.

“Prezado Professor, você tem disponível a quantia de R$ 5 000,00 para pegar a partir de hoje. Passe em uma de suas agências ou ligue para o 0800 666666 que mandamos o dinheiro pra você em sua residência.”

Simulações de pagamento:

a) Como você calcularia a taxa mensal de juros cobrada pelo banco? Qual o erro mais comum que geralmente é cometido nessa situação?

b) Sabendo que a taxa mensal de juros praticada pelo banco é a mesma em todas as opções de financiamento, encontre esta taxa.
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No item a, espera-se que os alunos escolham uma das opções de pagamento, por exemplo, a de 4 prestações, e sigam o seguinte raciocínio. Quatro prestações de R$ 1 410,06 totalizam R$ 5 640,24, o que significa uma taxa de juros de 12,8%, já que 5 640,24/5000 = 1,128. Esta solução é muito comum, entretanto não está correta, pois não considera que a taxa de juros incide sobre as prestações de forma diferente, uma vez que estas são pagas em momentos distintos. Inclusive, se dois ou mais alunos escolherem opções de pagamento diferentes, irão notar que a taxa de juros parece variar, quando na verdade é constante.

No item b, a idéia é apresentar a maneira correta de calcular a taxa de juros praticada pelo banco. Para tanto, é necessário esclarecer previamente que o valor de um empréstimo ou o preço à vista de um produto é igual ao somatório dos valores atuais das prestações, ou seja, dos valores das prestações no ato da compra. Pela equivalência de capitais, sabe-se que para encontrar um valor atual a partir de um valor futuro, deve-se dividir este por (1 + i)ⁿ, sendo i a taxa de juros considerada e n o tempo envolvido na operação. Considerando, ainda, V como o valor do empréstimo ou do produto à vista e P o valor de cada prestação, tem-se:

Observe que a prestação (P) que não se apresenta dividida por (1 + i)ⁿ, não sofreu incidência de juros, o que significa que foi paga no ato da compra, ou seja, foi paga como entrada. No caso de empréstimos, não é coerente falar de entrada, portanto esta parcela não aparecerá na equação.

Cabe ressaltar, que a fórmula em si não deve ser supervalorizada, mas sim o raciocínio que a compõe.

De posse dessas informações, os alunos podem tentar solucionar o item b, onde é esperado que eles escolham a opção de pagamento com duas prestações e resolvam a equação:

para obter, então, o valor de i igual a 5%.

Observe que, caso os alunos op tem por uma opção de pagamento com trê s ou mais prestações, será necessário resolv er uma equação, no m ínimo, de grau 3, conteúdo este que, a princípio, não é estudado no Ensino Médio. Como a taxa de juros é fixa, pode-se usar, sem prejuízo algum, a opção de pagamento com duas prestações apenas.

Cabe destacar, que é possível utilizar ferramentas como planilhas eletrônicas para encontrar a taxa de juros quando o tempo de financiamento é maior ou igual a 3.

A atividade a seguir também pode ser trabalhada com os alunos com o objetivo de reforçar o conteúdo exposto e elucidar uma situação típica no comércio.

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Laura quer comprar um teclado no valor de R$ 300,00 em uma loja que oferece um desconto de 10% nas compras à vista ou pagamento em dua s prestações mensais iguais, sem juros. Determine a taxa mensal de juros embutida nas vendas a prazo, supondo o primeiro pagamento 1 mês após a compra.
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Para enriquecer a aula, é interessante deixar que os alunos discutam possíveis soluções para o problema, já que o mesmo trata de um caso muito comum e pouco entendido.

Observe que a loja oferece pagamento em duas vezes sem juros (2 x R$ 150,00 = R$ 300,00) e o problema pede a taxa de juros embutida nas vendas a prazo. Não é uma contradição. Na verdade, a loja cobra juros, pois o preço real do produto não é o valor anunciado (R$ 300,00), mas sim o valor à vista (90% de R$ 300,00 = R$ 270,00). Logo, a loja parcela R$ 270,00 em duas prestações de R$ 150,00, ou seja, há cobrança de juros. Porém, não é o que é passado para os clientes. Portanto, para calcular a taxa de juros cobrada, devemos resolver a seguinte equação:

Os procedimentos aqui estudados são de grande valia, por exemplo, para um cliente que deseja saber a taxa de juros praticada por uma instituição financeira ou por um estabelecimento comercial.

A seguir, tem-se alguns exercícios que podem ser trabalhados com os alunos para fixação do conteúdo estudado.

1) Carlos adquiriu um aparelho de som pagando uma entrada de R$ 200,00 mais uma única parcela de R$ 450,00, 2 meses após a compra. Sabendo-se que o preço à vista do aparelho é de R$ 600,00, qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento?

2) O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 130,00. O comprador pode pagar 20% de entrada no ato da compra e o restante em uma única parcela de R$ 128,96, vencível em 2 meses. Admitindo-se o regime de juros compostos, qual é a taxa de juros mensal cobrada na venda a prazo?

3) Uma loja está anunciando a seguinte promoção: “Televisor 29 polegadas: à vista, R$ 702,00; a prazo, em duas prestações mensais de R$ 390,00, sendo a primeira paga no ato da compra.” Nessas condições, qual é a taxa mensal de juros embutida na venda a prazo?

4) Uma loja anuncia, na sua vitrine, um vestido por um preço total de R$ 200,00 para pagamento em duas vezes, sendo R$ 100,00 pagos no ato da compra e R$ 100,00, 30 dias após essa data. Para pagamento à vista, a loja oferece um desconto de 10% sobre o preço total anunciado na vitrine. Considerando o preço à vista como preço real do vestido, determine a taxa de juros cobrada pela loja no pagamento em duas vezes.

5) Karina foi comprar um tênis no valor de R$ 120,00. A loja ofereceu 10% de desconto no pagamento à vista ou parcelamento em três prestações mensais iguais, sem juros, vencendo a primeira no ato da compra. Qual a taxa de juros embutida neste parcelamento?

6) Uma loja oferece duas opções de pagamento: à vista, com 30% de desconto, ou em duas prestações mensais iguais, sem juros, sendo a primeira paga 1 mês após a compra. Qual a taxa mensal dos juros embutidos nas vendas a prazo?

A atividade proposta para os alunos está disponível para download no link:

www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/matfinanceira/taxa_juros.pdf

Veja também as seguintes aulas que complementam este assunto:

• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Introdução
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Juros Compostos
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Equivalência de Capitais
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Equivalência de Taxas
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Cálculo de Prestações
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Opções de Pagamento
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Opções de Pagamento e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Sistemas de Amortização
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Tabela Price e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: SAC e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Análise Financeira

A avaliação deve ser feita ao longo de toda a aula baseada tanto na participação, quanto no desempenho dos alunos nas atividades propostas. É importante que eles debatam, critiquem e tirem suas próprias conclusões. Outros exercícios também podem ser feitos para complementar a avaliação.