Espera-se que, ao final desta aula, o aluno seja capaz de refletir figuras geométricas planas, representadas no plano cartesiano, em relação a um ponto ou eixo de simetria.

- Conceito de vetor

- Representação de pontos e vetores no plano cartesiano

- Adição de vetores e multiplicação de um vetor por escalar

- Translação de um ponto segundo um vetor

O objetivo central desta aula é apresentar, conceituar e visualizar a transformação de simetria (ou reflexão) de objetos matemáticos no plano (ponto, reta, vetor, segmento, figuras geométricas) em relação a um ponto ou a um eixo. Esta aula abordará dois tipos de simetria: central e axial.

Inicialmente, sugerimos uma discussão com os alunos sobre a idéia de reflexão no cotidiano deles, proveniente do espelho. A seguir, uma condução no debate pode levar os alunos a localizarem os números inteiros na reta e, dessa forma, observar que o ponto 1 é simétrico do -1 em relação ao “0” (zero), o 2 é simétrico do -2 em relação ao zero e assim por diante. Pode-se também questionar o simétrico do 7 em relação ao ponto 3, por exemplo.

Propomos que o professor leve para o espaço da sala de aula alguns pedaços de espelho com as dimensões de, aproxidamente, 20 cm X 30 cm e realize a primeira "visualização" do ponto e da reta, enquanto registram, em grupo ou individualmente, suas observações. Posteriormente, esta atividade pode ser ampliada com triângulos. Sugerimos uma discussão sobre o assunto, para, em seguida, a realização das atividades propostas.

A parti r destas ideias primitivas, podemos conceituar as simetrias, separando-as em dois grupos:

Simetria Central: É a transformação de reflexão de um objeto em relação a um ponto.

Simetria Axial: É a transformação de reflexão de um objeto em relação a uma reta ou eixo.

Sugerimos que as transformações sejam apresentadas a partir da representação dos objetos matemáticos no plano cartesiano. É importante que os alunos visualizem as reflexões antes de tentar obter as novas coordenadas.

Destacamos a seguir, formas e possibilidades para a apresentação das simetrias (central e axial) de um ponto, um segmento e um polígono, como exemplificamos nas figuras:

Figura 1: A Simetria Central do ponto A = (1, 2) em relação à origem O = (0, 0) resulta no ponto A’ = (-1. -2).

O grupo de pesquisa “Tecnologias no Ensino da Matemática”, vinculado ao Projeto Fundão¹, confeccionou diversas ativi dades utilizando o software Nippe Descartes, um aplicativo desenvolvido em Java que permite uma manipulação ágil e complexa de janelas gráficas aplicáveis a qualquer página da web. Este grupo reúne-se semanalmente e se propõe a desenvolver aplicações específicas para apresentação de conteúdos do Ensino Médio.

Como ilustração da aula proposta e orientação para a construção do conhecimento em transformações, em especial, em simetrias, sugerimos a utilização das atividades desenvolvidas por esse grupo, disponíveis no link:

http://www.projetofundao.ufrj.br/matematica/capufrj/aula.html

A partir da utilização do aplicativo proposto, apresentamos um exemplo de simetria axial de pontos em relação a uma reta, buscando a inferência direta das conclusões provenientes destas atividades.

Par a determinar M’, primeiramente observamos o triângulo isósceles e retângulo com vértice M e lado sobre a reta. Em seguida, fazemos a simetria axial dos vértices deste triângulo. Assim, obtemos M’, simétrico de M. Logo, M’ = (0, -2).

Utilizando essa mesma idéia para determinar N’, observamos o triângulo retângulo NAB e determinamos o ponto N’ = (-1,-2).

É importante que se destaquem algumas relações entre as simetrias e, se possível, com outras transformações já apresentadas à turma. Por exemplo, uma simetria central em relação à origem é o mesmo que aplicar sucessivamente uma reflexão em relação ao eixo x e depois outra em relação ao eixo y, em qualquer ordem.

As atividades iniciais tem, por objetivo, que o professor perceba o grau de desenvolvimento espacial dos alunos.

Para obter o detalhamento desta aula com os conceitos apresentados, exemplos e atividades, clique no link abaixo.

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/Aula_Simetrias.pdf

Aplicação de atividades que abordem o tema para a fixação dos conteúdos apresentados.

O link abaixo apresenta sugestões de exercícios para serem aplicados ao final desta aula.

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/Atividades_simetrias.pdf