- Apreciar e conhecer fatos históricos da educação matemática.
- Conhecer sobre parte da vida e pesquisas matemáticas desenvolvidas por Tales de Mileto.
- Ter nas demonstrações matemáticas formas de desenvolvimento dos raciocínios lógico, matemático e verbal.

3 aulas de 50 minutos

Conceitos de razão e proporção

 
Imagem disponível em:http://br.geocities.com/gilian_nte/tales.jpg

 Professor,

Saber que todas e todos filósofos, matemáticos, professores e grandes pensadores do passado foram pessoas reais, como nós, pode despertar em nossos alunos o desejo pela pesquisa, pela descoberta. Que tal tentar?

Apresento alguns fatos sobre a vida e obra de Tales de Mileto um dos grandes filósofos gregos, que viveu na colônia grega de Jônia de Mileto, em terras que  hoje se localiza a Turquia.

Dos feitos de Tales o único do qual me recordava dos tempos de primeiro e segundo grau era o que se refere a demonstração dos feixes de retas paralelas que cortadas por transversais produziam segmentos proporcionais. E só. Mas, ele realizou muito mais.

Estudante de Astronomia, Filosofia e Matemática que ao visitar a Babilônia e o Egito levou para a Grécia a Geometria. Tales estudava por prazer, nasceu em família rica e um dos seus primeiros grandes feitos foi a determinação de um eclipse por volta de 600 a.C. Um dos feitos de Tales que me chamou atenção e até me motivou a escrever esta aula, está no capítulo V da obra de Gilberto Geraldo Garbi, que trata da Matemática grega, O Romance das Equações Algébricas" p.15, que diz:

Outro episódio da vida de Tales foi sua esperteza comercial em um ano em que previu uma grande safra de azeitonas. Antecipando-se a ela, alugou para si todas as prensas existentes para a fabricação de azeite e, quando a colheita chegou, realugou-as com grandes lucros. Embora hoje este procedimento pudesse vir a ser considerado crime contra a economia popular, o grande Tales não merece que façamos dele um mau juízo pois a ele devemos a primeira profunda transformação pela qual passou o pensamento matemático desde que o homem aprendera a contar.

Humano como nós que comete erros e acertos.

Mas qual é a primeira profunda transformação que Tales trouxe para o pensamento matemático? Você sabe?

Ao retornar do Egito e da Babilônia, onde aprendeu sobre Geometria, Tales ao invés de apenas repassar o que aprendeu estabeleceu o  "grande" conceito:

As verdades matemáticas precisam ser demonstradas.

Demonstrar? O que é?

Para mim, e penso que para muitos pesquisadores, demonstrar matematicamente é se utilizar de uma sequência de argumentos entrelaçados e convincentes para ir além do simples explicar o porquê tal processo, conceito e/ou modelo é o que é. Demonstrar matematicamente é uma forma de produzir em nossos alunos a compreensão para a matemática.(Garnica, 2002; Villiers, 2002).

Umas das demonstrações de Tales mais conhecidas e apresentadas nos livros didáticos é a que se refere a razão entre a altura de um objeto e o comprimento dae sua sombra. Vamos verificar como pode ser realizada esta demonstração?

Momento 01 - Sala de Aula e Biblioteca

Existem registros que relatam que ao voltar de uma de suas viagens ao Egito, foi lançado um desafio a Tales:

Você conseguiria mediar a altura de uma das pirâmides de Quéops (construída por volta de 2500 a.C.)?

Usando um bastão, Tales aplicou seus conhecimentos sobre segmentos proporcionais, sabendo que a razão entre a altura de um objeto e o comprimento da sombra que esse objeto projeta no chão é sempre a mesma para quaisquer objetos, logo a medida da altura da pirâmide poderia ser calculada da mesma forma.
 

Imagem disponível em: http://www.prof2000.pt/users/kika/tales.gif

A razão entre a altura da pirâmide e o comprimento da sombra projetada pelo bastão poderiam auxiliá-lo na resolução de tal questão. Usou apenas um bastão e as medidas das sombras da pirâmide e do bastão, num mesmo instante.

Tales imaginou os triângulos VHB e ABC, que são semelhantes, por terem dois ângulos respectivamente congruentes. Como Tales sabia que os lados desses triângulos eram proporcionais, pode determinar a altura VH da pirâmide através da proporção VH está para AB, assim como HB está para BC.

VH = HB
AB    BC

Por este feito e por outros tantos, Tales foi considerado um dos sete sábios da Grécia.

Professor demonstre os teoremas apresentados anteriormente no quadro de giz com/para seus alunos.

Agora é com os alunos:

Além dessas duas demonstrações já apresentadas Tales provou que:

• os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais;
• um ângulo inscrito em um semi-círculo é sempre reto;
• qualquer diâmetro divide o círculo em duas partes iguais, etc.

1. Escolha um dos teoremas acima para demonstrar ou pesquisa outro. Para isso poderá consultar bibliografias que tratem deste assunto na biblioteca de sua escola.
2. Depois que demonstrar em seu caderno, compartilhe com ao menos dois colegas de classe suas descobertas.

 

 Momento 02: Laboratório de Informática (Duplas)

Professor, não esqueça!
Agora vamos realizar atividades no laborat&oac ute;rio de informática. Se nunca trabalhou com os alunos no laboratório oriente-os antes de se encaminharem para este espaço, explique quais os objetivos das atividades que realizarão em tal espaço e estabeleça regras para o uso, bem como, os critérios que serão utilizados para avaliação das atividades realizadas. Se possível estabeleça os critérios para realização de toda a aula com os alunos desde o início.

1. Em duplas, explorem o objeto a seguir e posteriormente estabeleçam uma forma de demonstrar as conjecturas que formularem, tanto para refutar quanto para demonstrar o que visualizam.
2. Registrem em blog, que será construído pelo professor suas conclusões que serão discutidas, via comentários do blog, com as demais duplas formadas.

Momento 03: Tarefa

Muitas questões ainda estão em aberto nesta aula. Solicite aos que alunos que registrem, em forma de dissertação, individualmente, os pontos que ainda precisam ser esclarecidos. Estas questões podem ser respondidas por meio de pesquisa na biblioteca da escola ou utilizando o laboratório de informática, por meio de uma pesquisa na Internet.Vamos lá?

1. Qual o nome das pirâmides de Queóps?
2. De qual das pirâmides, Tales mediu a altura? Qual a altura encontrada?
3. Existem outras demonstrações além das apresentadas nesta aula feitas por outros pesquisadores?Cite pelo menos duas das quais encontrar.
4. Qual a atividade que mais gostou? E o que aprendeu com ela?
5. Depois de ter vivenciado algumas situações que apresentaram demonstrações, diga com suas palavras o que é demonstração matemática? No que consiste?O que são teoremas?Demonstrar é deduzir?

GARBI, Gilberto G. O romance das equações algébricas: genialidade, trama, glória e tragédia no fascinante mundo da Álgebra.2. ed. rev. e amp. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2007.

GARNICA, A.. As demonstrações em educação matemática: Um ensaio. Bolema, ano 15, 18, 91-99. 2002

MACHADO, Silvia. A aprendizagem da demonstração matemática no 8 ano no contexto de utilização do Geometer's Sketchpad. Revista da Associação de Professores de Matemática. Disponível em: http://www.apm.pt/files/_10-16_hq_441fd1b323a03.pdf. Acesso em 15 de nov. de 2008.

VILLIERS, M. de. Para uma compreensão dos diferentes papéis da demonstração em geometria dinâmica. Actas do ProfMat 2002. Viseu: APM.2002.

Nome	Tipo
Suma de los Angulos de un Triángulo	Animação/simulação

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A avaliação será realizada no transcorrer dos questionamentos apresentados, primeiramente observando a formação de conceitos pelos alunos, analisando seus questionamentos e intervenções, procurando, por meio do diálogo, perceber se houve assimilação dos conteúdos propostos. Pela leitura das produções dos alunos, o professor avaliará sugerindo as mudanças e adequações necessárias, estimulando as leituras e quando necessário, o feedback dos conteúdos.