Conhecer, compreender e utilizar o Princípio Multiplicativo, ou Princípio Fundamental da Contagem.

Uma aula simples (50 min).

Operações básicas.

Importância & Conteúdo no dia-a-dia

Contar é um processo frequente em nosso dia-a-dia. Desde muito pequenos contamos por várias razões: saber quantos brinquedos temos, quantos pratos devem ser colocados na mesa, quantos times podemos formar, quanto dinheiro ainda nos restas... O processo se torna tão automático que, muitas vezes, não usamos nenhuma estratégia para contagens longas e demoradas.

Tais estratégias fazem parte de um ramo da Matemática chamado “Análise Combinatória e Contagem”. Essa aula pretende apresentar conceitos básicos desta área, começando pelo Princípio Fundamental da Contagem.

Motivação

Mas será que contar é sempre simples, bastando fazer uma relação entre o conjunto dos números naturais e o conjunto de “coisas”que queremos saber a quantidade? Muitas vezes esse conjunto é tão grande que gastaríamos tempo demais para determinar todos os seus elementos, por exemplo, quantas placas de carro podemos fazer com 3 letras e 4 números?

Introdução

Pergunte aos estudantes se eles sabem contar e se sabem explicar o que estão fazendo. Sugira outros nomes para os primeiros algarismos, por exemplo, pa, pe, pi, po e pu, para 1, 2, 3, 4 e 5, como eles devem contar agora? O objetivo é concluir que contar é fazer uma associação entre dois conjuntos (sendo que um desses conjuntos é o dos números naturais).

A seguir pergunte se eles sabem contar quantas placas de carro existem, de quantas configurações diferentes o arco-íris poderia ter se trocasse as cores de lugar, quantas duplas diferentes poderíamos ter na classe... Não esperamos que essas perguntas sejam respondidas antes da atividade, queremos apenas que seja iniciada uma discussão sobre o assunto.

Atividades

Os problemas a seguir podem ser estudados em duplas.

1 - Você sabe contar?

Quantos quadrados

há na figura estilizada do rapaz com turbante?

Quantos triângulos há na figura do gato?

FIGURA 1

2 – Você é esperto na contagem?

Quantos triângulos exis

tem na figura à esquerda? Quantos quadrados existem na figura central? Quantos triângulos existem na figura à direita?

FIGURA 2

3 - Problema das três

cidades
Três cidades A, B e C são ligadas por estradas. Três estradas ligam A e B. Quatro estradas ligam B e C. Não há estradas ligando A e C diretamente. De quantos

modos diferentes pode-se viajar de A até C, passando por B?

FIGURA 3

Uma primeira estratégia é representar as informações contid as no enunciado:

< p class="western">Nomear os caminhos que ligam A e B por 1, 2 e 3. Nomear os caminhos que ligam B a C por a,b,c,d. E montar uma "árvore" de possibilidades, como abaixo:

FIGURA 4

4- Colorir um a bandeira de 3 listras com 3 cores diferentes de modo que duas listras vizinhas não tenham a mesma cor. Pode-se repetir cores, mas não em faixas vizinhas.

Quantas bandeiras diferentes poderemos confeccionar?

FIGURA 5

Depois de tudo colorido pense sobre quais foram suas decisões para fazer este exercício. Pense em quantas possibilidades existiram para cada decisão.

Existe uma maneira mais simples de resolver este tipo de problemas sem ter que fazer todas as opções ou mesmo sem ter que listá-las? (Sim existe...) Qual?

5- Um grupo de 4 alunos (Alice, Bern

ardo, Carolina e Daniel) tem que escolher um líder e um vice-líder para um debate.

a) Faça uma lista de todas as possíveis escolhas (use a inicial de cada nome, para facilitar). Organize a sua lista do seguinte modo: primeiro, escreva todas as possibilidades em que Alice é a presidente, depois aquelas em que

Bernardo é presidente, e assim por diante.

b) Usando outro método, ache quantas são as escolhas possíveis de líder e vice-líder em que os alunos têm sexos diferentes.

Tente fazer os próximos sem listar todas as possibilidades.

6 – Usando as cores verde, amarelo e vermelho, calcule quantos semáforos diferentes poderíamos ter, sem repetir cores num mesmo semáforo.

FIGURA 6

7 – O problema do armazém
Um armazém tem dez portas, todas elas fechadas. De quantos modos diferentes pode-se abrir esse armazém?

8 – Continuando o problema das três cidades (número 3):

De quantas maneiras diferentes se pode viajar de A para C e voltar de C para A, sem que se passe duas vezes pela mesma estrada? Tente decompor o problema em etapas, por exemplo: etapa 1é viajar de A para B, etapa 2 é viajar de B para C...

9 – Já reparou nas placas dos automóveis?
As letras são escolhidas em um alfabeto de 26 letras (entram K, Y e W).
Os números começam em 0000, 0001, 0002, 0003,... e assim por diante, até 9999.
FIGURA 7
Responda as propostas abaixo:

a) Quantos números diferentes existem nas placas de automóveis?

b) Se a primeira letra da placa é X, quantas possibilidades existem para a segunda letra?
c) Imagine as 3 letras da placa como uma espécie de “ palavra”. Quantas “palavras” diferentes podem ser formadas?
d) Cada placa tem um código formado por 3 letras e por 4 algarismos. Use as respostas dos itens a e c e descubra: quantos códigos diferentes podem existir nessas placas de automóveis?

10 – Numa Kombi viajam 9 pessoas, das quais 4 podem dirigir. De quantas maneiras diferentes é possível acomodá-las (3 no banco da frente, 3 no banco do meio e 3 no banco de trás) de forma que uma das 4 que dirige ocupe o lugar da direção?

Atividade na sala se informática

Existe um recurso no Banco Internacional de Objetos educacionais que explora o Princípio Fundamental da Contagem, ele pode ser acessador pelo endereço:

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/11486

Esta ferramente apresenta um caso particular onde é usado o Princípio Multiplicativo, a animação mostra os passos do processo de contagem, explicando cada momento. Porém não existe interação com o usuário.

1. http://www.obmep.org.br/prog_ic_2007/apostila2008.html- materias de livre acesso da OBMEP, apostila 2 "Métodos de Contagem e Probabilidade"
2. htttp://www.cienciamao.if.usp.br/tudo/exibir.php?midia=t2k&cod=_matematica_mat2g48 - Telecurso 200
3. http://www.cdcc.usp.br/exper/medio/matematica/matematica_medio/8_permutacao_arranjo_a.pdf - Experimentoteca - CDCC USP

As soluções dos problemas podem ser apresentadas na lousa pelos próprios estudantes. As duplas podem explicar o método de resolução que utilizaram e discutir com o restante da classe se foi o mais eficiente ou não.