Reconhecer, em uma determinada situação, grandezas diretamente e inversamente proporcionais.
Resolver problemas que envolvam grandezas proporcionais.

Operações com números racionais.
Conceito de grandeza.
Conceito de unidades de medida.

O conceito de proporcionalidade está presente no cotidiano de qualquer pessoa em diversas situações. A proporcionalidade é essencial para o aprendizado de muitos conteúdos, tanto nas diversas dimensões da matemática, como nas aplicações desse conceito à geografia, física, química etc.

O objetivo dessa aula é, através de atividades, fazer com que o aluno perceba situações que envolvam, ou não, grandezas proporcionais. Para tanto, é necessário que o aluno compreenda o conceito de grandeza e saiba manipular medidas de uma grandeza.

Professor, proponha as atividades que se seguem e deixe que os alunos resolvam-nas com os conhecimentos adquiridos tanto na sua vida escolar, quanto em situações do dia-a-dia. Peça que os mesmos registrem o seu raciocínio e, em seguida, discuta com a turma as diversas formas de resolução encontradas.

Comentários: A atividade 1 tem como objetivo levar o aluno a perceber que:

i) o preço de um pastel é o quociente entre o total pago e a quantidade de pastéis;
ii) o quociente em questão é constante.

Atividade 1.

De acordo com o preço cobrado por 1 pastel, em uma lanchonete, verifiquei que com R$ 3,60 posso comprar 3 desses pastéis.
a) Qual o preço a ser pago na compra de 5 pastéis?
b) Quantos pastéis posso comprar com R$ 4,80?

Uma resolução:

1 pastel custa 3,60/3 = 1,20
a) custo de 5 pastéis: 1,20 x 5 = 6,00
b) quantidade de pastéis: 4,80/1,20 = 4

Apresentamos, a seguir, uma sugestão para o desenvolvimento desta atividade, de acordo com as etapas descritas abaixo:

1. Proponha a confecção de uma tabela para ser completada:

2. Incentive que os alunos calculem o quociente entre o preço pago e a quantidade de pastéis em cada linha da tabela.
3. Caso haja necessidade, proponha outros valores (quantidade de pastéis e/ou preço pago)
4. Conclua, com a participação dos alunos, que nessa situação o quociente é constante e que as duas grandezas (quantidade de pastéis e preço) são proporcionais.
5. Questione, em seguida, sobre o que acontece com os preços quando dobramos, triplicamos etc. as quantidades de pastéis.

Comentários: A atividade 2 tem como objetivo levar o aluno a perceber que:

i) o preço de um pacote de amendoim é o quociente entre o preço pago e a quantidade de pacotes;
ii) o quociente em questão não é constante.

Atividade 2.

É comum nos depararmos com vendas do tipo:
“Compre aqui na promoção, um pacote de amendoim por R$ 1,00. Levando dois pacotes, você paga R$ 1,50 e, na compra de três pacotes, só paga R$ 1,80.”

Peça para os alunos analisarem essa situação, e questione se, nesse caso, podemos dizer que as grandezas, quantidade de pacotes e preço, são proporcionais.

Uma resolução:

1º caso: 1 pacote custa R$ 1,00
2º caso: 1 pacote custa R$ 1,50/2 = R$ 0,75
3º caso: 1 pacote custa R$ 1,80/3 = R$ 0,60

Os quocientes entre o número de pacotes de amendoim e o preço pago por pacote não são constantes, logo as grandezas não são proporcionais.

Apresentamos, a seguir, uma sugestão para o desenvolvimento desta atividade, de acordo com as etapas descritas abaixo:

1. Proponha a confecção da tabela:

2. Convide os alunos a calcular o quociente entre o preço pago e a quantidade de pacotes de amendoim em cada linha da tabela.
3. Conclua então, com a participação dos alunos, que nessa situação o quociente não é constante.
4. Informe que as duas grandezas (quantidade de pacotes e preço) não são propor cionais.

Comentários: A atividade 3, conhecida como um problema de regra de três, pode ser resolvida sem regras pré-estabelecidas, sendo uma aplicação dos conceitos de proporcionalidade.

Atividade 3.

Um comboio (trem) de levitação magnética (Maglev) é um veículo semelhante a um comboio que transita numa linha elevada sobre o chão e é propulsionado pelas forças atrativas e repulsivas do magnetismo através do uso de supercondutores. Essa linha faz o percurso de 30 km até ao Aeroporto Internacional de Pudong (Shanghai) em apenas 8 minutos. Mantendo a mesma velocidade, qual o tempo levado pelo Maglev para percorrer 37,5 km?

Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Shanghai_Transrapid_002.jpg

Uma resolução:

percurso feito em 1 minuto: 30/8 = 3,75 km
tempo gasto para percorrer 37,5 km: 37,5/3,75 = 10 minutos

Apresentamos, a seguir, uma sugestão para o desenvolvimento desta atividade, de acordo com as etapas descritas abaixo:

1. Proponha a confecção da seguinte tabela.

2. Convide-os a completar a tabela e, em seguida, estimule-os a calcular os quocientes entre as duas grandezas.
3. Questione-os sobre o que acontece com os percursos quando dobramos, triplicamos etc. os tempos transcorridos.
4. Apresente a seguinte pergunta: As grandezas envolvidas são proporcionais?

Comentários: A atividade 4 tem como objetivo levar o aluno a perceber que:

i. ao multiplicarmos a velocidade por 2, 3, 4 etc., o tempo ficará dividido por 2, 3, 4 etc.
ii. as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais.

Atividade 4.

Um ciclista faz treinos diários para a prova de “corrida contra o relógio”. Em um determinado dia, mantendo a cada volta uma mesma velocidade (velocidade constante), obteve os tempos indicados na tabela abaixo.

Apresentamos, a seguir, uma sugestão para o desenvolvimento desta atividade, de acordo com as etapas descritas abaixo:

1. Proponha a confecção da seguinte tabela:

2. Convide-os a completar a tabela e, em seguida, estimule-os a calcular os quocientes entre as duas grandezas.
3. Questione-os: As grandezas envolvidas são proporcionais?

Acreditamos que, provavelmente, os alunos responderão que não, pois as razões entre a velocidade e o tempo percorrido são diferentes!

4. Pergunte aos alunos o que acontece com o tempo percorrido quando dobramos, triplicamos, etc. a velocidade, e, em seguida, peça para os alunos registrarem os resultados na tabela:

5. Proponha que calculem os tempos percorridos com velocidades de 15 m/s e 24 m/s.

6. Mostre aos alunos que, ao multiplicarmos a velocidade por 2, 3, 4 etc., o tempo ficará dividido por 2, 3, 4 etc.

7. Mostre ainda que: os produtos dos valores da grandeza velocidade pelos respectivos valores da grandeza tempo são iguais.

5 x 200 = 8 x 125 = 10 x 100 = 16 x 62,5 = 20 x 50 = 1 000

8. Conclua: nos casos em qu e os produtos dos valores de uma grandeza pelos re spectivos valores da outra grandeza são iguais, então as grandezas são ditas inversamente proporcionais.

Comentários: A atividade 5 tem como objetivos levar o aluno a perceber que as grandezas são inversamente proporcionais e a necessidade de transformar unidades de medida.

Atividade 5.

Possuo uma garrafa de refrigerante com capacidade para 2 L e quero encher completamente vários copos de 100 mL.
a) Quantos copos de 100 mL, completamente cheios, serão servidos a partir de uma garrafa de refrigerante?
b) Se eu aumentar a capacidade de cada copo, de 100 mL para 200 mL, conseguirei encher mais ou menos copos?
c) Com uma garrafa de 2 L de refrigerante, quantos copos de 250 mL posso encher?
d) As grandezas, capacidade de cada copo e nº de copos, são diretamente ou inversamente proporcionais? Justifique a sua resposta.

Uma resolução:

2 L = 2 000 mL
a)
copos de 100 mL: 2 000/100 = 20
copos de 200 mL: 2 000/200 = 10
Resposta: Poderei encher menos copos.

b) copos de 250 mL: 2 000/250 = 8
Resposta: Poderei encher 8 copos.

c) São inversamente proporcionais, pois se multiplicarmos por um número a capacidade do copo, a quantidade de copos ficará dividida por esse número.

Obs: Se achar conveniente, proponha a confecção de uma tabela e faça as mesmas considerações da atividade 4.

Comentários: A atividade 6, conhecida como um problema de regra de três, também pode ser resolvida sem regras pré-estabelecidas, sendo uma aplicação dos conceitos de proporcionalidade.

Atividade 6.

Para atender a todas as ligações feitas a uma empresa, são utilizados três telefonistas, atendendo cada um deles, em média, 125 ligações diárias. Para otimizar o trabalho, a empresa resolveu contratar mais dois telefonistas. Quantas ligações diárias, em média, cada um dos cinco telefonistas irá atender?

Fonte: http://s3.amazonaws.com/rede_prod/assets/0022/8782/telefonistas_varios_tres_thumb.jpg

Uma resolução:

ligações diárias recebidas em média: 125 x 3 = 375
ligações diárias recebidas, em média, por cada um dos 5 telefonistas: 375/5 = 75

Obs: Se achar conveniente, proponha a confecção de uma tabela e faça as mesmas considerações da atividade 4.

Para enriquecer a sua aula, sugerimos que você convide os alunos a assistirem o vídeo, com duração aproximada de 11 minutos.

Proporção direta e inversa [Matemática na vida]

 Acesse o link: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=18397

Professor, para tornar a aula mais dinâmica, acesse o link e tire cópias para os alunos da folha de atividades com as tabelas confeccionadas.

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/razaoproporcao/FolhaAtivGrandProporcionais.pdf

Link à folha de atividades.

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/razaoproporcao/FolhaAtivGrandProporcionais.pdf

A avaliação do aluno pode ser feita levando em consideração:
– participação em aula
– resolução de atividades em aula
– trabalhos em grupo ou individuais
– questões-desafio para serem desenvolvidas em aula
– proposta de situações que envolvam, ou não, grandezas direta e inversamente proporcionais.