• Classificar e resolver um sistema linear pela regra de Cramer

• Cálculo do determinante de uma matriz

No laboratório de informática (2 aulas)

               Professor, peça aos alunos que sentem em duplas nos computadores do laboratório de informática. Para incentivá-los, apresente a eles um enigma que utiliza o conteúdo a ser estudado, por exemplo, a Cifra de César, http://pt.wikipedia.org/wiki/Cifra_de_César. Em criptografia, a Cifra de César, também conhecida como cifra de troca, código de César ou troca de César, é uma das mais simples e conhecidas técnicas de encriptação que consiste em uma substituição em que cada letra do texto é substituída por outra, que se apresenta no alfabeto abaixo dela um número fixo de vezes. Por exemplo, com uma troca de 3 posições, “A” seria substituído por “D”, “B” viraria “E” e assim por diante. 

Quem sou eu? Prefiro dizer O QUE sou eu! Mais a tarefa não será tão simples... Podes descobrir resolvendo este Sistema Linear, e, após encontrar a solução, fazer a relação Número-Letra e, por fim, decodificar a mensagem com a Cifra de César. Será surpreendente...

x + y + z + 2w = 64

x + y + 2z + w = 61

x + 2y + z + w = 54

2x + y + z + w = 51

               Peça a eles que pensem um pouco e, em seguida, questione: “Quais seriam os métodos para resolução de um sistema de quatro equações e quatro incógnitas?”

               Em seguida, peça a eles que pesquisem sobre o assunto “Resolução de sistemas lineares pela regra de Cramer”, como sugestão temos os sítios:

• http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/matrizes/sistemas.htm
• http://www.colegioweb.com.br/matematica/o-que-sao-sistemas-lineares
• http://www.brasilescola.com/matematica/regra-cramer.htm
• http://educacao.uol.com.br/matematica/ult1705u70.jhtm
• http://www.gregosetroianos.mat.br/Erros/Cramer/Links/index_lnk_2.html
• http://www.algosobre.com.br/matematica/sistemas-lineares-regra-de-cramer.html

               Peça a eles também que pesquisem sobre o aspecto histórico do assunto, http://boardriding.br.tripod.com/index16.html, e sobre a classificação dos sistemas lineares:

• http://www.portalimpacto.com.br/docs/001PimentelF4VestAula07ConceitoeClassificacaodeSistemasLineares.pdf
• http: //www.brasilescola.com/matematica/classificacao-um-sistema-linear.htm
• http://pt.wikibooks.org/wiki/Matemática_elementar/Sistemas_lineares

               Professor, para que os alunos possam fazer a análise dos casos sistemas lineares  e consolidar os conhecimentos teóricos vistos, utilizaremos alguns aplicativos disponíveis na internet.

a) Sistemas 2 x 2:

     · Apresente um exemplo de sistema linear de duas equações e duas incógnitas aos seus alunos;

     · Peça a eles que classifiquem e resolvam o mesmo, em uma folha de papel, utilizando a regra de Cramer;

     · Em seguida, verifiquem a resposta em um aplicativo. Temos alguns exemplos:

          *    http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/medio/matrizes/sistemas/index.htm, trata-se de uma planilha de cálculo.

          * http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/matrizes/sistema2x2.htm, neste sítio, basta informar os coeficientes que o aplicativo dará o resultado.

b) Sistemas 3 x 3: Utiliza a estratégia anterior e peça aos alunos que verifiquem o resultado em http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/matrizes/sistema3x3.htm

c) Sistema n x n: Vamos utilizar a mesma estratégia anterior. Para resolver sistemas lineares de qualquer ordem utilizaremos o GeoGebra. Ele reúne GEOmetria, álGEBRA e cálculo. Esta disponível em http://www.geogebra.org/ em versão para download gratuito ou para ser executado via web (WebStart).

               No caso desta atividade, tenha instalado previamente o GeoGebra em todos os computadores do laboratório de informática. Como documentação do software, temos:

                    · O manual disponível em http://www.geogebra.org/help/docupt_BR.pdf e outro http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf, este em português de Portugal, mas um pouco mais completo;

                    · Uma apostila sobre a utilização esta disponível em http://www.tinaeducacao.com.br/wp-content/uploads/2008/11/apostilageogebra_2007.pdf, nesta apostila temos várias atividades utilizando o software, e

                    · Um guia rápido de comandos, disponível em http://cattai.mat.br/site/files/geogebra/guia_rapido_geogebra.pdf.

               Peça a eles que sigam os seguintes passos:

Passo 1: Inicie o aplicativo GeoGebra, aparecerá a seguinte tela:

Passo 2: Inserir uma matriz: Uma matriz é representada como uma lista de listas, sendo que cada uma destas últimas representa uma linha da matriz. Exemplo: A lista {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} representa a matriz . Na parte de baixo do aplicativo, existe uma caixa de texto destinada a entrada de dados e de fórmulas,  .  Digite MX={{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}} que representam, por exemplo, a matriz MX com os seus elementos. Observe que na janela do lado esquerdo apareceu, no item “Objetos Livres”, a matriz digitada.

                Caso tenha digitado algum elemento de forma incorreta, basta clicar com o botão direito do mouse sobre a matriz criada e será mostrado um menu suspenso, nele selecione a opção propriedades. Desta forma podemos editar os valores da matriz.

Passo 3: Calculando o determinante da matriz.  O GeoGebra possui uma função para calcular o determinante de uma matriz, para isto utilize a função Determinante[Matriz]. Para calcular o determinante da matriz MX, digite na caixa de texto destinada a entrada de dados e fórmulas, DetMX = Determinante[MX].

Passo 4: Calcular o valor da incógnita. Basta criar uma fórmula com os valores determinados. Por exemplo, o valor de uma incógnita “x” poderia ser calculada com a fórmula, x=DetX / DetM.

                Professor, com estas informações seus alunos já tem condições de resolver qualquer sistema linear. Apresente a eles alguns exemplos e peça a eles que resolvam em uma folha de papel e, em seguida, confiram os resultados no aplicativo. Retome a situação-problema apresentada no início da aula, a resposta é “BELO”. Elabore também uma lista de exercícios para que eles possam praticar um pouco, alguns modelos estão disponíveis em:

                    · http://www.abacoaulas.com/Matematica_pdfs/17_Sist_Lineares_Cramer.pdf

                    ·  http://www.ang loguarulhos.com.br/arquivos/arquivo_7884_20080909114627.pdf

                    · http://www.coladaweb.com/questoes/matematica/sistli.htm

                    · http://www.mat.ufmg.br/gaal/exercicios/2sistemas.pdf

                    · http://www.paulomarques.com.br/arq12-4.htm

Professor, para aprofundamento em suas pesquisas, consulte os sítios:

     · http://www.unesp.br/prograd/PDFNE2006/artigos/capitulo2/matrizes.pdf

     · http://www.fgv.br/vestibularES/sp_dir/2009/Grade_Final_20_Rac_l_C3_B3g_matem_C3_A1tico.pdf

     · http://www.mat.ufmg.br/gaal/exercicios/exercicios.html

     · http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/jorgeasantos/matematicaconcursos017.asp

Como criar uma Webquest, http://pt.wikipedia.org/wiki/WebQuest:

• Parte 1, http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/webquest--como-construir---parte-1-04023362CCA94366?types=A&
• Parte 2, http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/webquest--como-construir---parte-2-04023672CCA94366?types=A&

A avaliação (1 aula) poderá ser da seguinte forma:

· Atividades em sala.

· Listas de exercícios envolvendo aplicações do assunto no cotidiano.

· Durante as aulas observando o interesse e a participação do aluno.

· Estimular os alunos a criarem e participarem de Blogs sobre o assunto. Caso queira utilizar algum Blog já existente, sugerimos os seguintes:

     * http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090928102820AA2hiPn

     * http://www.amigonerd.com/discussao-de-sistemas-lineares/

· Webquest: http://www.webquestbrasil.org/

· Competição entre grupos, de no máximo quatro alunos, onde cada grupo apresenta um problema outro grupo caso consiga resolvê-lo, continua na competição, caso erre, será eliminado.