Espera-se que, ao final desta aula, o aluno seja capaz de entender o que representa matematicamente a diferença, em módulo, das distâncias de um ponto a dois pontos fixos ser constante. Também se espera que ocorra a apreensão dos elementos envolvidos, bem como dos conceitos de excentricidade, de suas implicações e das possíveis translações.

- Plano Cartesiano

- Distância entre pontos.

O objetivo desta aula é mostrar que a hipérbole é obtida por uma seção plana de um cone circular reto. Por isso é chamada de cônica(Figura 1: Cônicas). Em seguida, apresentar a definição de hipérbole como lugar geométrico.  

A hipérbole é uma curva plana aberta obtida pela interseção de um cone circular reto e um plano que não contém o vértice do cone na seguinte condição:

Se o ângulo entre a reta normal ao plano cortante e o eixo de simetria, do cone, for maior do que o ângulo entre este eixo e a geratriz deste cone, então a intersecção obtida é uma hipérbole.

Definição de hipérbole como lugar geométrico:

Dados um número real positivo k e dois pontos F₁ e F₂ no plano, chamamos de hipérbole ao lugar geométrico dos pontos P deste plano tais que o módulo da diferença das distâncias de P a F₁ e P a F₂ seja igual a k.

Observação: É comum utilizar k=2a. Este fato decorre de uma propriedade que deve ser demonstrada.

O primeiro link abaixo remete a uma página com vários objetos educacionais sobre hipérbole. 

A primeira tela possibilita interação com o usuário. Ao mudar a relação entre os comprimentos de 2c e 2a será possível observar a "transformação" da hipérbole em elipse. O segundo e o terceiro a seções cônicas.

Propostas de acesso:

1. http://cmup.fc.up.pt/cmup/cv/conicas/hiperboles.html

2. http://demonstrations.wolfram.com/ConicSectionsTheDoubleCone/

3. http://demonstrations.wolfram.com/IntersectingARotatingConeWithAPlane/

Sugerimos que a hipérbole, assim como as demais cônicas, seja apresentada a partir da representação de seus elementos no plano cartesiano. É importante que os alunos ampliem suas imagens conceituais em relação a este conceito.

Convém enfatizar, na figura a seguir, a formação de triângulos retângulos, como por exemplo, o que está destacado. Este fato será utilizado na dedução da equação desta cônica. A pr oposta de acesso (1) permite variar a hipérbole e observar o triângulo retângulo em destaque.

Sugerimos que acesse o link a seguir, pois auxiliará a turma a entender o conceito de excentricidade:

Atividade 1: Cônicas – Hipérbole – Excentricidade
http://demonstrations.wolfram.com/ConicSection/

Sugerimos que acesse o link a seguir, pois auxiliará a turma na resolução dos exercícios 1 e 2, integrantes desta aula:
Atividade 2: Cônicas – Hipérbole
http://demonstrations.wolfram.com/ConicSectionsEquationsAndGraphs/

Para obter o detalhamento desta aula com os conceitos apresentados e exemplos, clique no link abaixo.

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/AulaHiperbole.pdf

Sites consultados:

http://cmup.fc.up.pt/cmup/cv/conicas/hiperboles.html

http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg/dg_9t.php

Veja também as seguintes aulas que complementam este assunto:

• Cônicas no Cap UFRJ:Introdução
• Cônicas no Cap UFRJ:Circunferência
• Cônicas no Cap UFRJ:Parábola
• Cônicas no Cap UFRJ:Elipse

Aplicação de atividades que abordem o tema para a fixação dos conteúdos apresentados.
O link abaixo apresenta sugestões de exercícios para serem aplicados ao final desta aula. Para a realização dos mesmos a teoria acerca de elipse já deve ter sido estudada.

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/AtividadesHiperbole.pdf