• Comparar opções de pagamento.

• Juros Compostos;
• Equivalência de Capitais.

O objetivo desta aula é permitir que os alunos avaliem com discernimento opções de pagamento, sabendo, assim, optar pelo que for mais conveniente. Este conhecimento é de extrema importância no cotidiano de todos nós.

Sugere-se que a análise seja feita com base no seguinte exercício.

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Rosana tem 4 opções para o pagamento de um Laptop, cujo preço anunciado é R$ 6 000,00.

- À vista com 5% de desconto;
- Em três prestações mensais e iguais (1+2);
- Em quatro prestações mensais e iguais (1+3);
- Em seis prestações (1+5).

Sabe-se que o dinheiro vale para ela 3% ao mês.

a) Sem fazer cálculos, como você classificaria as opções de pagamento disponíveis?

b) Faça os cálculos. Qual a melhor opção de pagamento para Rosana?

c) Com base nos cálculos feitos no item b, classifique novamente as opções de pagamento.

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É interessante que os alunos respondam ao item a baseados apenas nas impressões obtidas a respeito das opções de pagamento. Em geral, é assim que acontece nos estabelecimentos comerciais e nas instituições financeiras.

Em seguida, no item b, eles precisarão fazer os cálculos e verificar, de fato, qual a melhor opção. Para tanto, é necessário esclarecer previamente que o preço à vista de um produto é igual ao somatório dos valores atuais das prestações, ou seja, dos valores das prestações no ato da compra. Pela equivalência de capitais, sabe-se que para encontrar um valor atual a partir de um valor futuro, deve-se dividir este por (1 + i)ⁿ, sendo i a taxa de juros considerada e n o tempo envolvido na operação. Considerando, ainda, V como o valor à vista do produto e P o valor de cada prestação, tem-se:

Observe que a prestação (P) que não se apresenta dividida por (1 + i)ⁿ, não sofreu incidência de juros, o que significa que foi paga no ato da compra, ou seja, foi paga como entrada.

Cabe ressaltar, que a fórmula em si não deve ser supervalorizada, mas sim o raciocínio que a compõe.

Se utilizarmos na equação acima a taxa de juros praticada pelo estabelecimento, todas as opções de pagamento deverão corresponder ao preço à vista anunciado, uma vez que as opções se equivalem para o comerciante. Já para Rosana, as opções dadas pelo comerciante não se equivalem, pois a taxa de juros que ela consegue na valorização do seu dinheiro, provavelmente, não é a mesma que a loja utiliza. Portanto, para saber a melhor opção de pagamento para Rosana, a taxa de juros utilizada na equação será a taxa de juros que incide sobre o dinheiro dela, isto é, 3%.

Uma vez esclarecido estes aspectos, os alunos deverão obter o valor à vista correspondente a cada uma das opções de pagamento para, então, compará-las. O valor das prestações é conhecido e o valor do dinheiro (taxa de juros) para Rosana também. Observe abaixo os desenvolvimentos esperados.

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- À vista:

V = 0,95.6000,00

V = R$ 5 700,00

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- (1+2):

V = R$ 5 826,94

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- (1+3):

V = R$ 5 742,91

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- (1+5):

V = R$ 5 525,60

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Conclui-se, assim, que a melhor opção de pagamento para Rosana é em 5 prestações.

Com isto, o item c terá a seguinte resposta.

Neste momento, deve-se pedir aos alunos que comparem o resultado real obtido com as impressões registradas no item a. Observações interessantes podem surgir desta análise.

Infelizmente, os estabelecimentos comerciais e as instituições financeiras costumam cobrar taxas de juros mais altas do que aquelas oferecidas para valorizar o dinheiro dos clientes. Desta forma, quando é oferecido um desconto no pagamento à vista, em geral, tem-se aí a melhor opção de pagamento. Por outro lado, caso não se tenha desconto no pagamento à vista, como ocorre em diversas ocasiões, o parcelamento se torna uma boa opção.

A seguir, tem-se alguns exercícios que podem ser trabalhados com os alunos para fixação do conteúdo estudado.

1) Pedro tem duas opções de pagamento na compra de um televisor: três prestações mensais de R$ 160,00 cada; ou sete prestações mensais de R$ 70,00 cada. Em ambos os casos, a primeira prestação é paga no ato da compra. Se o dinheiro vale 2% ao mês para Pedro, qual a melhor opção que Pedro possui?

2) Regina tem duas opções para o pagamento de um vestido no valor de R$ 130,00: pagamento à vista, com 10% de desconto; ou pagamento em duas prestações mensais iguais, sem juros, vencendo a primeira um mês após a compra. Se para Regina o dinheiro vale 2% ao mês, qual das opções é mais vantajosa para ela?

3) Mônica deseja comprar um vestido novo que custa R$ 180,00. Ela tem 2 opções de pagamento: à vista, com 10% de desconto; ou em 2 prestações mensais e iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra. Qual a melhor opção para Mônica, se o dinheiro vale, para ela, 5% ao mês?

4) Antônio tem três opções de pagamento na compra de vestuário: à vista, com 30% de desconto; em duas prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira um mês após a compra; ou em três prestações mensais iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra. Qual a melhor opção para Pedro, se o dinheiro vale, para ele, 25% ao mês?

5) Um televisor estava anunciado por R$ 500,00 para pagamento à vista ou em três prestações mensais de R$ 185,00 cada, a primeira delas a ser paga um mês após a compra. Paulo, em vez de pagar à vista, resolveu depositar, no dia da compra, os R$ 500,00 numa caderneta de poupança, que lhe renderia 2% ao mês nos próximos três meses. Desse modo, ele esperava liquidar a dívida, fazendo retiradas de R$ 185,00 daquela caderneta nas datas de vencimento de cada prestação. A opção adotada por Paulo foi financeiramente vantajosa? Explique sua resposta com resultados numéricos. Caso necessário, considere 1,02< sup>2=1,0404 e 1,02³=1,0612.

A atividade proposta para os alunos está disponível para download no link:

http://www.cap.ufrj.br/matematica/PortaldoProfessorMec/atividades/matfinanceira/op_pag.pdf

Veja também as seguintes aulas que complementam este assunto:

• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Introdução
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Juros Compostos
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Equivalência de Capitais
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Equivalência de Taxas
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Cálculo de Prestações
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Cálculo de Taxa de Juros
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Opções de Pagamento e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Sistemas de Amortização
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Tabela Price e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: SAC e o Excel
• Matemática Financeira no CAp UFRJ: Análise Financeira

A avaliação deve ser feita ao longo de toda a aula baseada tanto na participação, quanto no desempenho dos alunos nas atividades propostas. É importante que eles debatam, critiquem e tirem suas próprias conclusões. Outros exercícios também podem ser feitos para complementar a avaliação.