Nessa aula o aluno poderá aprender a construir o conceito de eneágono regular inscrito na circunferência, além de trabalhar a investigação matemática, o senso estético e habilidades motoras.Estudar as propriedades dos eneágonos inscritos na circunferência e as possibilidades de sua construção com uso do software Geogebra, por meio da aplicação dos conhecimentos de geometria na resolução de situações problema. Além de empregar o uso do software geogebra como instrumento para o ensino de geometria para compreender as diversas formas de eneágonos regulares.

A presente aula é uma alternativa para complementar o estudo dos polígonos regulares inscritos, levando em consideração que os seguintes conteúdos e conceitos: eneágono, inscrição de eneágonos na circunferência e regularidade, tenham sido trabalhados previamente em sala de aula. O uso do software geogebra facilita a construção de figuras geométricas mais elaboradas, favorece a interação aluno e objeto de estudo, colaborando para o desenvolvimento do pensamento matemático.

É necessário que o aluno tenha visto anteriormente, em sala de aula, o conceito de linha poligonal, saiba diferenciar um polígono côncavo de um convexo e compreenda algumas propriedades da circunferência, principalmente relacionadas a arcos e ângulos e as condições para que um polígono seja inscritível na circunferência e compreenda o conceito de número primo e divisores comuns.

Sugestão de gestão da aula pelo professor utilizando a Sequência Fedathi nos seguintes momentos:

Sugere-se que o professor realize com seus alunos um momento para que sejam dadas orientações sobre a aula, os conteúdos a serem trabalhados e a metodologia aplicada, levando em conta que a aula será realizada no laboratório de informática. É importante que um acordo para o bom funcionamento da aula seja elaborado em conjunto com os alunos. De prefererência, dividir um computador para dois alunos, facilitando a troca de idéias, pedir para que procurem entrar num concenso, respeitando a vez e a colocação do outro e orientar para que registrem as descobertas e observações.

O professor deve apresentar o software Geogebra para os alunos, no caso de não ter trabalhado anteriormente com esse objeto educacional, ele está disponível para download no endereço www.geogebra.at. É importante que o professor faça junto com o aluno a manipulação dos principais comandos a serem utilizados nas atividades – círculo, ângulo, polígono regular, segmento de reta, além dos comandos operacionais como as funções vistas ao acionar o botão direito do mouse sobre o objeto (Exibir objeto, exibir rótulo, renomear, apagar). Para facilitar a visualização dos objetos peça para que desativem a exibição do rótulo dos segmentos de reta e renomeiem os pontos sobre a circunferência em ordem crescente (A, B, C, D, E, F, G, H, I). Após orientá-los com relação aos principais comandos da ferramenta que serão necessários durante aula, pode ser lançada a seguinte Situação Problema:

1- Tomada de posição:

Considere uma circunferência C, dividida em nove arcos congruentes. Quantos e quais eneágonos regulares podem ser obtidos ligando os pontos determinados por esses arcos na circunferência, de maneira que os segmentos de reta formados sejam congruentes? Quais foram as leis de formação que geram essas figuras?

2 - Maturação

A partir da situação proposta, o professor deve levar seus alunos a construir o conceito de eneágono inscrito, fazendo perguntas reflexivas para investigar ou reconstruir os conhecimentos elementares, intervindo o mínimo possível. Esse processo de mediação é facilitado com perguntas do tipo:

Como podem ser marcados nove arcos congruentes em uma circunferência?

Para facilitar, colocamos no decorrer dessa aula algumas imagens de construções que foram realizadas no geogebra.

Como determinar esses arcos de outra maneira?

Qual a unidade de med ida do “passo” dado nas ligações formadas no sentido horário entre os pontos marcados determinados na circunferência? Que figura foi obtida?

Ocultando a exibição do polígono inscrito, teremos:

Se dermos um “passo” com dois arcos como medida, que tipos de polígonos teremos? Quais semelhanças e diferenças há entre os polígonos construídos até agora?

Para outras unidades de medida do “passo” a ser dado, que figuras são formadas? Quantos são os eneágonos diferentes?

Quais foram as leis de formação que geram estes eneágonos? Se a existência de divisores comuns entre o número de vértices e o tamanho do “passo” influencia na formação de eneágonos regulares, o que acontece quando esses números forem primos?

É recomendável que o aluno registre seus achados e descobertas para que justifique suas escolhas, ref lita sobre o erro, e a ssim trabalhe alguns conceitos implícito s nessa atividade: arc os e ângulos na circun ferência, segmento de reta, congruência, polígonos côncavos e convexos inscritos na ci rcunferência. Lembrando que os alunos podem confundir os conceitos de polígono côncavo e convexo, com relação à regularidade.

3 - Maturação

A motivação para apresentação de suas descobertas, através das construções e anotações das estratégias utilizadas para solucionar o problema proposto, deve ser oportunizada para que se tenha noção das dificuldades que o aluno está tendo. Esse momento ocorre após a etapa da maturação, onde os alunos realizaram suas construções e descobertas.

4- Prova

Para concluir, partindo das soluções apresentadas anteriormente, os resultados poderão ser formalizados pelo professor. O primeiro polígono formado é um eneágono regular convexo, sendo n=9 e p=1, onde n é o número de pontos em que a circunferênci a está dividida e p é a medida do “passo” dado.

Considerando novamente nove pontos dispostos na circunferência, sempre dando um “passo” com medida de dois arcos, ou seja, n=9 e p=2 observamos que a linha poligonal não se fecha antes de retornarmos ao ponto inicial. Ao ligarmos todos esses pontos marcados na circunferência, formamos um eneágono estrelado.

Em seguida, para n=9 e p=3 é formado um triângulo eqüilátero, que não é um tipo de eneágono. Para ser eneágono, obviamente é necessário que o polígono tenha nove lados.

Continuando com n=9 e tomando p=4, será obtido um novo tipo de figura, outro eneágono regular estrelado. Dos experimentos realizados até agora construímos dois tipos de eneágonos regulares com os vértices marcados em uma circunferência. Para valores de p a partir de cinco, recaímos em eneágonos formados anteriormente.

A partir das atividades realizadas nas aulas da série “Polígonos Estrelados”, na qual essa aula faz parte, podemos concluir que não é para qualquer tamanho p do “passo” dado que obtemos polígonos estrelados de n lados. Observamos nos experimentos realizados que quando o tamanho do passo p e o número de lados n admite divisores comuns diferentes da unidade mdc(n,p)≠1, quando n e p não são primos entre si, voltamos ao ponto inicial sem que todos os vértices sejam percorridos. No entanto, quando n e p são primos entre si, ou seja, mdc(n,p)=1, todos os vértices serão ligados e obtemos um eneágono regular, visto que tomamos “passos” de medidas congruentes.

Das experiências realizadas, podemos expressar os resultados em um teorema:

Dada uma circunferência dividida em n arcos consecutivos e congruentes. Se unirmos os vértices usando como lei de formação “passo de tamanho p arcos”, em um sentido determinado, obteremos um polígono onde o número de lados é igual a n/d, para d=mdc(n,p).

Para esclarecer dúvidas sobre a execução dos principais comandos do software geogebra pode ser realizada uma pesquisa no site www.geogebra.atou no próprio software, na opção ajuda.

No site http://www.geometricas.net/ o professor encontra a animação da construção geométrica de polígonos estrelados usando a técnica do desenho geométrico com régua e compasso, basta acessar a opção polígonos estrelados e escolher o polígono que deseja conhecer.

  Leitura complementar sobre Sequência Fedathi

Para avaliar os alunos com relação às atividades, sugere-se que o professor leve em conta a participação dos alunos durante o desenvolvimento da aula, o empenho em resolver as questões propostas, as anotações feitas dos achados, descobertas e a apresentação das soluções encontradas.