Nesta aula, os estudantes farão contato com uma das sequências numéricas mais famosas em Matemática: A Sequência de Fibonacci. Além disso, os alunos aprenderão, também, alguns resultados importantes envolvendo os termos desta sequência.

O aluno pode não dominar os conceitos matemáticos ( noções básicas de funções e sequências numéricas ) relacionados à aula, prejudicando, assim, o bom andamento da mesma. Assim sendo, caso haja necessidade, o professor deve fazer uma breve revisão sobre sequências numéricas, podendo, inclusive, mencionar sequências de grande interesse em Matemática, tais como Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas.

Para o desenvolvimento da presente Sessão Didática, será utilizado um vídeo sobre a Sequência Fibonacci: (http://www.youtube.com/watch?v=yrb8QCjVrqI&feature=related)

( Tempo de duração do vídeo : 1 minuto e 53 segundos )

Sugestão de gestão da aula pelo professor utilizando a Seqüência Fedathi nos seguintes momentos:

OBS:

1. As Sequências Fedathi abaixo devem ser todas aplicadas na presente Sessão Didática;

2. Para cada uma das atividades abaixo, devem constar ( imediatamente após a Maturação ) as etapas de solução e prova;

3.O texto a seguir ressalta algumas notas históricas relacionadas  à  Sequência de Fibonacci,as quais podem ser aproveitadas pelo docente no intuito de tornar a abordagem do conceito mais atrativa para os estudantes.

NOTAS HISTÓRICAS

Leonardo Fibonacci foi um notável matemático italiano do séc. XIII. Nascido em Pisa, razão pela qual é também conhecido como Leonardo de Pisa, Fibonacci iniciou os seus estudos em Matemática com professores islâmicos, estabelecendo contato com métodos algébricos árabes e mecanismos matemáticos orientais. Em 1202, publica o seu mais famoso livro, intitulado Liber Abacci ( ' L ivro do Ábaco ' ou ' Livro do Cálculo ' ) , o qual foi responsável , entre outras coisas, pela disseminação do sistema de numeração indo-arábico na Europa. É, também, neste livro, que surge o problema mais famoso proposto por Fibonacci : de resolução aparentemente simples, o ingênuo enigma envolvendo casais de coelhos possui inúmeras aplicações práticas. Na Economia, por exemplo, há uma relação entre os termos da Sequência de Fibonacci ( os chamados ' Números de Fibonacci ' ) e a teoria econômica elaborada pelo estudioso americano Ralph Elliot, segundo a qual é possível prever o comportamento do mercado acionário nas bolsas de valores. Há, também, uma interessante ligação da Sequência de Fibonacci com a chamada Proporção Divina, contemplada pelos gregos antigos e gênios renascentistas, como, por exemplo, Leonardo Da Vinci. Objetos de estudo através dos séculos, os Números de Fibonacci ainda hoje constituem importante área de investigação matemática.

Primeira Sequência Fedathi : A Sequência de Fibonacci

1-Tomada de posição:

Após a exibição do vídeo, o professor deve propor o seguinte problema : Um casal de coelhos recém-nascidos foi posto num lugar cercado. Determinar quantos casais de coelhos ter-se-ão após um ano, supondo que, a cada mês, um casal de coelhos produz outro casal e que um casal começa a procriar dois meses após o seu nascimento . Em seguida, um outro problema pode ser proposto : Como calcular a soma dos n primeiros termos da Sequência de Fibonacci?

2-Maturação:

O professor pode sugerir, como caminho para determinação do número de casais de coelhos, que o aluno construa uma tabela na qual conste o número de casais recém-nascidos em cada mês e o número de casais ao fim de cada mês. Após a apresentação da Sequência de Fibonacci ( e de suas respectivas notações ), o professor deve, com o intuito de checar a assimilação do conceito pelo aluno, propor questões ao mesm o, como, por exemplo: ' Qual o sexto termo da sequência? ' O professor deve, também, sugerir algumas ferramentas matemáticas ( Somas Telescópicas, por exemplo ) que auxiliem o estudante na resolução do problema do cálculo da soma supracitada, de modo que o mesmo decida qual delas deverá ser utilizada.

3-Solução:

Os alunos apresentam as suas soluções e o professor deve atuar no sentido de promover a análise e a discussão das mesmas.

4-Prova:

O professor deve, com o auxílio das notações matemáticas introduzidas em aula, solucionar o problema proposto acima.

Sugestão : Caso os alunos tenham conhecimento do Princípio de Indução Finita, o professor pode optar por solucionar o problema acima por este método.

Segunda Sequência Fedathi : Cálculo de somas especiais envolvendo a Sequência de Fibonacci

1-Tomada de posição:

O professor deve levantar um questionamento pertinente: Seria possível, com base no resultado encontrado anteriormente, deduzir uma fórmula fechada para o cálculo da soma dos n primeiros Números de Fibonacci ímpares? Seria possível, também, fazer o mesmo para os n primeiros Números de Fibonacci pares?

2-Maturação:

Os estudantes devem trabalhar na resolução dos problemas propostos, tomando por base os resultados alcançados anteriormente.

Observação:  Solução e Prova tais como na primeira Sequência Fedathi

Terceira Sequência Fedathi : Cálculo da soma dos quadrados dos n primeiros Números de Fibonacci

1-Tomada de posição:

O professor apresenta mais um problema envolvendo a Sequência de Fibonacci : ' Qual a fórmula fechada que permite o cálculo da soma dos quadrados dos n primeiros Números de Fibonacci? '

2-Maturação:

O professor pode, com a intenção de despertar o raciocínio dos estudantes, fazer comentários breves sobre outras Somas Notáveis e, a título de curiosidade, apresentar, por exemplo, a fórmula para o cálculo da soma dos quadrados dos n primeiros naturais positivos. Em seguida, os alunos devem trabalhar na resolução do problema acima citado.

Observação:  Solução e Prova tais como na primeira Sequência Fedathi

Comentários gerais e sugestões para pesquisa

Com o intuito de sugerir trabalhos de pesquisa, estimulando, assim, uma aprendizagem constante, o docente deve levantar os seguintes questionamentos :

1. Existe fórmula fechada para o cálculo do n-ésimo elemento da Sequência de Fibonacci?

2. A que número tende o quociente entre os elementos de ordem n e n-1 da Sequência de Fibonacci, à medida que n tende ao infinito?

Em seguida, o professor pode esclarecer alguns detalhes relacionados às perguntas lançadas; o docente deve, também, mencionar livros e sites nos quais o estudante poderá pesquisar sobre o assunto.Uma sugestão é o texto disponível no site: http://www.obmep.org.br/prog_ic_2008/apostila2008.html

 Leitura complementar sobre a metodologia de ensino:  Sequência Fedathi (http://www.multimeios.ufc.br/fedathi.php)

Sugere-se que o docente observe, com o intuito de avaliar os alunos, os seguintes critérios: participação (questionamentos, apresentação de soluções,etc.) e índice de acertos nas resoluções dos problemas propostos no decorrer desta aula.