Nessa aula o aluno poderá aprender a construir o conceito de hendecágono regular inscrito na circunferência, além de trabalhar a investigação matemática, o senso estético e habilidades motoras.Estudando as propriedades dos hendecágonos inscritos na circunferência e as possibilidades de sua construção com uso do software Geogebra, podemos aplicar conhecimentos de geometria na resolução de situações problema; empregar o uso do software Geogebra como instrumento para o ensino de geometria; compreender as diversas formas de hendecágonos regulares.

A presente aula é uma alternativa para complementar o estudo dos polígonos regulares inscritos, levando em consideração os conteúdos e conceitos: hendecágono, inscrição de hendecágonos na circunferência e regularidade, já tenham sido trabalhados previamente em sala de aula.

O uso do software Geogebra facilita a construção de figuras geométricas mais elaboradas, favorece a interação aluno e objeto de estudo, colaborando para o desenvolvimento do pensamento matemático.

É necessário que o aluno tenha visto anteriormente, em sala de aula, o conceito de linha poligonal, saiba diferenciar um polígono côncavo de um convexo e compreenda algumas propriedades da circunferência, principalmente relacionadas a arcos e ângulos e as condições para que um polígono seja inscritível na circunferência e compreenda o conceito de número primo.

Sugestão de gestão da aula pelo professor utilizando a Sequência Fedathi nos seguintes momentos:

Sugere-se que o professor realize com seus alunos um momento para que sejam dadas orientações sobre a aula, os conteúdos a serem trabalhados e a metodologia aplicada, levando em conta que a aula será realizada no laboratório de informática. É importante que um acordo para o bom funcionamento da aula seja elaborado em conjunto com os alunos. De prefererência dividir um computador para dois alunos, facilitando a troca de idéias, pedir para que procurem entrar num concenso, respeitando a vez e a colocação do outro e orientar para que registrem as descobertas e observações.

O professor deve apresentar o software Geogebra para os alunos, no caso de não ter trabalhado anteriormente com esse objeto educacional, ele está disponível para download no endereço www.geogebra.at. É Importante que o professor faça junto com o aluno a manipulação dos principais comandos a serem utilizados nas atividades – círculo, ângulo, polígono regular, segmento de reta, além dos comandos operacionais como as funções vistas ao acionar o botão direito do mouse sobre o objeto (Exibir objeto, exibir rótulo, renomear, apagar). Para facilitar a visualização dos objetos, peça para que desativem a exibição do rótulo dos segmentos de reta e renomeiem os pontos sobre a circunferência em ordem crescente (A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L). Após orientá-los com relação aos principais comandos da ferramenta que serão necessários durante aula, pode ser lançada a seguinte Situação Problema:

1- Tomada de posição:

Usando o Geogebra, divida uma circunferência em onze arcos congruentes. Que figuras podem ser obtidas ligando os pontos determinados por esses arcos na circunferência de maneira que os segmentos de reta formados sejam congruentes? Quais foram as leis de formação que geram essas figuras?

2 - Maturação:

A partir da situação proposta, o professor deve levar seus alunos a construir o conceito de hendecágono inscrito, fazendo perguntas reflexivas para investigar ou reconstruir os conhecimentos elementares, intervindo o mínimo possível. Esse processo de mediação é facilitado com perguntas do tipo:

Como podem ser marcados onze arcos congruentes em uma circunferência? É viável usar o método de dividir o ângulo central da circunferência em onze partes? Por quê?

Ocultando o polígono inscrito, teremos:

Se dermos um “passo” com dois arco s como medida, que tipos de polígonos teremos? Quais semelhanças e diferenças há entre os polígonos construídos até agora?

É possível formar hendecá gonos regulares usando outras unidades de me dida para o “passo” a ser dado? Realize ess as experiências!

Para outras unidades de medida do “passo” a ser dado, que figuras são formadas? Quantos são hendecágonos diferentes?

Quais foram as leis de formação que geram estes hendecágonos? Se a existência de divisores comuns entre o número de vértices e o tamanho do “passo” influencia em alguma coisa, o que acontece quando esses números forem primos?

É recomendável que o aluno registre seus achados e descobertas para que justifique suas escolhas, reflita sobre o erro, e assim trabalhe alguns conceitos implícitos nessa atividade: arcos e ângulos na circunferência, segmento de reta, congruência, polígonos côncavos e convexos inscritos na circunferência. Lembrando que os alunos podem confundir os conceitos de polígono côncavo e convexo, com relação à regularidade.

3 - Solução:

A motivação para apresentação de suas descobertas, através das construções e anotações das estratégias utilizadas para solucionar o problema proposto, deve ser oportunizada para que se tenha noção das dificuldades que o aluno está tendo. Dentre elas supomos a dificuldade em classificar polígonos côncavos e convexos, não estar familiarizado com esse tipo de construção e a dificuldade em relacionar o número de passos com o número de arcos da circunferência, de modo a observar certa generalidade e relacioná-la com a existência ou não de números primos. Esse momento ocorre após a etapa da maturação, onde os alunos realizaram suas construções e descobertas.

4 - Prova:

Para concluir, partindo das soluções apresentadas anteriormente, os resultados poderão ser formalizados pelo professor. O primeiro polígono inscrito construído é convexo, formado com “passos” de distância igual a uma unidade, onde o tamanho do “passo” é representado por p e o número de lados do polígono por n. Verifica-se que no primeiro caso, p=1e n=11 no segundo, para p=2e n=11 teremos hendecágono estrelado, com p=3 e n=11 será formado um novo hendecágono regular estrelado, fato que se repete para p=4 e p=5. Para outros valores de p, a partir de seis, quando se forma um novo polígono, recai em um formado anteriormente e para alguns valores. A relação que existe entre n e p é que além do número n ser primo, para todos os casos experimentados, n e p são primos entre si. A partir da aula “Polígonos Estrelados: Octógonos” que faz parte do conjunto de aulas que complem entam essa, podemos verificar que para n e p não primos não foi possível formar polígonos estrelados.

Para esclarecer dúvidas sobre a execução dos principais comandos do software Geogebra pode ser realizada uma pesquisa no site www.geogebra.at ou no próprio software, na opção ajuda.

No site http://www.geometricas.net/ o professor encontra a animação da construção geométrica de polígonos estrelados usando a técnica do desenho geométrico com régua e compasso, basta acessar a opção polígonos estrelados e escolher o polígono que deseja conhecer.

Leitura complementar sobre a metodologia de ensino : Sequência Fedathi

Para avaliar os alunos com relação às atividades, sugere-se que o professor leve em conta a participação dos alunos durante o desenvolvimento da aula, o empenho em resolver as questões propostas, as anotações feitas dos achados, descobertas e a apresentação das soluções encontradas.