Nessa aula o aluno poderá aprender a construir o conceito de octógono regular inscrito na circunferência, além de trabalhar a investigação matemática, o senso estético e habilidades motoras. Estudando as propriedades dos octógonos inscritos na circunferência e as possibilidades de sua construção com uso do software Geogebra, pode-se aplicar conhecimentos de geometria na resolução de situações problema; empregar o uso do software Geogebra como instrumento para o ensino de geometria;compreender as diversas formas de octógonos regulares.

A presente aula é uma alternativa para complementar o estudo dos polígonos regulares inscritos, levando em consideração que já tenha sido trabalhado previamente em sala de aula os conteúdos e conceitos: octógono, inscrição de octógonos na circunferência e regularidade.

O uso do software Geogebra facilita a construção de figuras geométricas mais elaboradas, favorece a interação aluno e objeto de estudo, colaborando para o desenvolvimento do pensamento matemático.

É necessário que o aluno tenha visto anteriormente, em sala de aula, o conceito de linha poligonal, saiba diferenciar um polígono côncavo de um convexo e compreenda algumas propriedades da circunferência, principalmente relacionadas a arcos e ângulos e as condições para que um polígono seja inscritível na circunferência.

Sugere-se que o professor realize com seus alunos um momento para que sejam dadas orientações sobre a aula, os conteúdos a serem trabalhados e a metodologia aplicada, levando em conta que a aula será realizada no laboratório de informática. É importante que um acordo para o bom funcionamento da aula seja elaborado em conjunto com os alunos. De preferência, dividir um computador para dois alunos, facilitando a troca de idéias, pedir para que procurem entrar num concenso, respeitando a vez e a colocação do outro e orientar para que registrem as descobertas e observações.

O professor deve apresentar o software Geogebra para os alunos, no caso de não ter trabalhado anteriormente com esse objeto educacional. É Importante que o professor faça junto com o aluno a manipulação dos principais comandos a serem utilizados nas atividades – círculo, ângulo, polígono regular, segmento de reta, além dos comandos operacionais como as funções vistas ao acionar o botão direito do mouse sobre o objeto (Exibir objeto, exibir rótulo, renomear, apagar). Para facilitar a visualização dos objetos peça para que desativem a exibição do rótulo dos segmentos de reta e renomeiem os pontos sobre a circunferência em ordem crescente (A, B, C, D, E, F, G, H). Após orientá-los com relação aos principais comandos da ferramenta que serão necessários durante aula, pode ser lançada a seguinte Situação Problema:

Usando o Geogebra, divida uma circunferência em oito arcos congruentes. Que figuras podem ser obtidas ligando os pontos determinados por esses arcos na circunferência de maneira que os segmentos de reta formados sejam congruentes? Quais foram as leis de formação que geram essas figuras?

A partir da situação proposta acima, o professor deve levar seus alunos a realizar construções geométricas que facilitem a compreensão do conceito de octógono inscrito, fazendo perguntas reflexivas para investigar ou reconstruir os conhecimentos elementares sobre polígonos e circunferência, intervindo o mínimo possível. Esse processo de mediação é facilitado com perguntas do tipo:

Como podem ser marcados oito arcos congruentes em uma circunferência?

Para facilitar, colocamos no decorrer dessa aula algumas imagens de construções que foram realizadas no geogebra.

Existe outra maneira de determinar esses arcos?

Qual foi a unidade de medida usada para determinar o “passo” dado na formação das ligações entre os pontos A, B, C, D e E dispostos na circunferência, seguindo no sentido horário? Que figura foi obtida?

Ocultando o polígono inscrito temos:

Se tomarmos dois arcos como medida do “passo” a ser dado, que tipos de polígonos teremos? Quais semelhanças e diferenças há entre os polígonos construídos até agora?

É possível formar octógonos regulares usando outras unidades de medida para os “passos” a serem dados? Realize essas experiências!

Quais foram as leis de formação que geram esses octógonos? Você consegue fazer a lguma relação entre divisores comuns e a existência ou não de polígonos regulares? Reveja o que você fez até agora.

É recomendável que o aluno registre seus achados e descobertas para que justifique suas escolhas, reflita sobre o erro, e assim trabalhe alguns conceitos implícitos nessa atividade: arcos e ângulos na circunferência, segmento de reta, congruência, polígonos côncavos e convexos inscritos na circun ferência. Lembrando que os alunos podem confundir os conceitos de p olígono côncavo e convexo, com relação à regularidade.

A motivação para apresentação de suas descobertas, através das construções e anotações das estratégias utilizadas para solucionar o problema proposto, deve ser oportunizada para que se tenha no ção das dificuldades que o aluno está tendo, dentre elas supomos a dificuldade em classificar o segundo polígono formado, pelo fato de ser convexo e não estar familiarizado com esse tipo de construção e a dificuldade em relacionar o número de passos com o número de arcos da circunferência, de modo a observar uma certa generalidade. Esse momento ocorre após a etapa da maturação, onde os alunos realizaram suas construções e descobertas.

Para concluir, partindo das soluções apresentadas anteriormente, os resultados poderão ser formalizados pelo professor. Lembrando que se na etapa da solução não forem obtidos os resultados esperados para que a prova seja realizada, o professor pode voltar à maturação, lançando novas questões mediadoras. O primeiro polígono inscrito construído é convexo, formado com “passos” de distância igual a uma unidade, onde o tamanho do “passo” é representado por p e o número de lados do polígono por n. Verifica-se que no primeiro caso, p=1 e n=8, no segundo para p=2 e n=8 teremos um quadrado inscrito, com p=3 e n=8 será formado um octógono regular estrelado. Para outros valores de p quando se forma um novo polígono, recai em um formado anteriormente e para alguns valores não foi possível determinar polígonos regulares. A relação que existe entre n e p quando estes têm divisores comuns além de 1, é que não se formam polígonos regulares inscritos.

Para esclarecer dúvidas sobre a execução dos principais comandos do software Geogebra pode ser realizada uma pesquisa no site ou no próprio software, na opção ajuda.

No site Geometricas o professor encontra a animação da construção geométrica de octógonos estrelados usando a técnica do desenho geométrico com régua e compasso, basta acessar a opção polígonos estrelados e em seguida os itens referentes à construção dos polígonos estrelados de oito vértices.

Leitura complementar sobre a metodologia de ensino: Sequência Fedathi

Para avaliar os alunos com relação às atividades, sugere-se que o professor leve em conta a participação dos alunos durante o desenvolvimento da aula, o empenho em resolver as questões propostas, as anotações feitas dos achados, descobertas e a apresentação das soluções encontradas.