Nessa aula o aluno poderá aprender a construir o conceito de pentágono regular inscrito na circunferência, além de trabalhar a investigação matemática, o senso estético e habilidades motoras. Estudando as propriedades dos pentágonos inscritos na circunferência e as possibilidades de sua construção com uso do software Geogebra, ele poderá aplicar conhecimentos de geometria na resolução de situações problema; empregar o uso do software geogebra como instrumento para o ensino de geometria; compreender as diversas formas de pentágonos regulares.

A presente aula é uma alternativa para complementar o estudo dos polígonos regulares inscritos, levando em consideração que este conteúdo já tenha sido trabalhado previamente em sala de aula os conteúdos e conceitos: pentágono, inscrição de pentágonos na circunferência e regularidade.

O uso do software Geogebra facilita a construção de figuras geométricas mais elaboradas, favorece a interação aluno e objeto de estudo, colaborando para o desenvolvimento do pensamento matemático.

É necessário que o aluno tenha visto anteriormente, em sala de aula, o conceito de linha poligonal, saiba diferenciar um polígono côncavo de um convexo e compreenda algumas propriedades da circunferência, principalmente relacionadas a arcos e ângulos.

Sugestão de gestão da aula pelo professor utilizando a Sequência Fedathi nos seguintes momentos:

Sugere-se que o professor realize com seus alunos um momento para que sejam dadas orientações sobre a aula, os conteúdos a serem trabalhados e a metodologia aplicada, levando em conta que a aula será realizada no laboratório de informática. É importante que um acordo para o bom funcionamento da aula seja elaborado em conjunto com os alunos. De prefererência dividir um computador para dois alunos, facilitando a troca de idéias, pedir para que procurem entrar num consenso, respeitando a vez e a colocação do outro e orientar para que registrem as descobertas e observações.

O professor deve apresentar o software Geogebra para os alunos. Pede-se que o professor faça junto ao aluno a manipulação dos principais comandos – círculo, ângulo, além dos comandos operacionais como as funções vistas ao acionar o botão direito do mouse sobre o objeto (Exibir objeto, exibir rótulo, renomear, apagar). Para facilitar a visualização dos objetos peça para que desativem a exibição do rótulo dos segmentos de reta e renomeiem os pontos sobre a circunferência em ordem crescente (A, B, C, D, E). Após orientá-los com relação aos principais comandos da ferramenta, pode ser lançada a seguinte Situação Problema:

1- Tomada de posição:

Usando o software Geogebra, divida uma circunferência em cinco arcos congruentes. Que figuras podem ser obtidas ligando os pontos determinados por esses arcos na circunferência, de maneira que os segmentos de reta formados sejam congruentes?

2 - Maturação:

A partir da situação proposta acima, o professor deve levar seus alunos a realizar construções geométricas que facilitem a compreensão do conceito de pentágono inscrito, fazendo perguntas reflexivas para investigar ou reconstruir os conhecimentos elementares sobre polígonos e circunferência, intervindo o mínimo possível. Esse processo de mediação é facilitado com perguntas do tipo: Como determinamos cinco arcos congruentes em uma circunferência?

Para facilitar, colocamos no decorrer dessa aula algumas imagens de construções que foram realizadas no Geogebra.

Se dermos um “passo” que corresponda à distância entre dois pontos consecutivos marcados na circunferência, passando um arco, para fazermos as ligações no sentido horário entre os pontos A, B, C, D e E, que figura será obtida? 

Se dermos um “passo” ligando os pontos dispostos correspondendo a dois arcos consecutivos da circunferência, quais semelhanças e diferenças há entre as figuras construídas até agora? Que tipos de polígonos são?

Usando esses mesmos pontos, é possível formar polígonos regulares dando “passos” correspondentes a outras unidades de medida?

É recomendável que o aluno registre seus achados e descobertas para que justifique suas escolhas, reflita sobre o erro, e assim trabalhe alguns conceitos implícitos nessa atividade: arcos e ângulos na circunferência, segmento de reta, congruência, polígonos côncavos e convexos. Lembrando que os alunos podem confundir os conceitos de polígono côncavo e convexo, com relação à regularidade.

3 - Solução:

A motivação para apresentação de suas descobertas, através das construções e anotações das estratégias utilizadas para solucionar o problema proposto, deve ser oportunizada para que se tenha noção das dificuldades que o aluno está tendo, dentre elas supomos a dificuldade em classificar o segundo polígono formado, pelo fato de ser convexo e não estar familiarizado com esse tipo de construção. Esse momento ocorre após a etapa da maturação, onde os alunos realizaram suas construções e descobertas.

4 - Prova:

Para concluir, partindo das soluções apresentadas anteriormente, os resultados poderão ser formalizados pelo professor. Lembrando que se na etapa da solução não forem obtidos os resultados esperados para que a prova seja realizada, o professor pode voltar à maturação, lançando novas questões mediadoras. O primeiro polígono inscrito construído é convexo, formado com “passos” de distância igual a uma unidade e outro côncavo ou estrelado, formado com “passos” de duas unidades, onde o número de passos é representado por p e o número de lados do polígono por n. Verifica-se que no primeiro caso, p=1 e n=5 e no segundo, p=2 e n=5, portanto, esses dois polígonos são pentágonos. Para outros valores de p não foi possível determinar polígonos regulares diferentes dos construídos anteriormente.

- Para esclarecer dúvidas sobre a execução dos principais comandos do software visite o site do geogebra ou consulte o próprio software, na opção ajuda.

- No site Geometricas o professor encontra a animação da construção geométrica do pentágono estrelado usando a técnica do desenho geométrico com régua e compasso, basta acessar a opção polígonos estrelado e em seguida o item polígono estrelado de cinco vértices.

- Leitura complementar sobre a metodologia de ensino: Sequência Fedathi

Para avaliar os alunos com relação às atividades, sugere-se que o professor leve em conta a participação dos alunos durante o desenvolvimento da aula, o empenho em resolver as questões propostas, as anotações feitas dos achados, descobertas e a apresentação das soluções encontradas.