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Relações Métricas nos Círculos - Potência de um ponto em relação a uma circunferência

 

20/12/2009

Autor e Coautor(es)
CARLOS ALBERTO JESUS DE OLIVEIRA
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BRASILIA - DF CEM PAULO FREIRE

Marco G. B. Burlamaqui

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Fundamental Final Matemática Equações
Ensino Fundamental Final Matemática Cálculo
Ensino Fundamental Final Matemática Álgebra
Ensino Fundamental Final Matemática Espaço e forma
Ensino Fundamental Final Matemática Operações
Ensino Fundamental Final Matemática Números e operações
Ensino Fundamental Final Matemática Aritmética
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula
  • Explorar as relações entre as medidas dos segmentos formados por duas cordas 
  • Introduzir software como o "GeoGebra" no ensino da geometria euclidiana plana através de atividades comprobatórias.
Duração das atividades
4 aulas de 50 minutos cada
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
  • Conceito de raio e diâmetro
  • Operações com números reais
Estratégias e recursos da aula

Laboratório de informática (2 aulas)

               Professor, leve seus alunos ao laboratório de informática, acomode-os em duplas. Apresente a eles o vídeo “Relações métricas na circunferência”, disponível em http://www.youtube.com/watch?v=5lFPEZHzUaY. Caso seja necessário, peça a eles que façam uma pesquisa sobre o assunto. Sugerimos alguns sítios para a pesquisa:

               Caso precise, alguns sítios trazem as demonstrações das relações métricas na circunferência com aplicativos on-line:

               Professor, aproveite o momento para reforçar e tirar dúvidas ainda que permaneçam. Questione sobre o que eles entenderam sobre:

  • Raio, diâmetro e corda;
  • Ângulo inscrito e ângulo central;
  • Potência de ponto.

Apresente uma atividade para que eles explorem as relações entre as medidas dos segmentos formados por duas cordas concorrentes de uma circunferência através da resolução de problema utilizando a construção com régua e compasso, por exemplo:

Atividade: potência de um ponto em relação a uma circunferência

a) Utilizando régua e compasso, trace uma circunferência e as cordas AB e CD que se interceptam no ponto P.

Fonte: http://arnaut.no.sapo.pt/geom/compasso_div_circ_partes_iguais-02.jpg

b) Meça os segmentos PA, PB, PC e PD.

c) Identifique uma proporcionalidade com essas medidas.

d) Enuncie uma propriedade para essa relação. 

               Após a resolução, dê um tempo para que cada aluno apresente a sua solução e, em seguida, comente que a partir da construção e diversas alunos podemos conjeturar que temos a proporcionalidade PA / PC = PD / PB  e a partir dela enunciar a propriedade: Dadas duas cordas, AB e CD, que se interceptam no ponto P. O produto das medidas dos segmentos formados em uma corda (PA X PB) é igual ao produto dos segmentos formados na outra corda (PC x PD).

               Professor utilize um software de geometria dinâmica para que eles possam consolidar os conhecimentos. Utilizaremos o GeoGebra. Ele reúne GEOmetria, álGEBRA e cálculo. Esta disponível em http://www.geogebra.org/ em versão para download gratuito ou para ser executado via web (WebStart).

Tenha instalado previamente o GeoGebra em todos os computadores do laboratório de informática. Como documentação do software, temos:

Exemplos de atividades com o manuseio do GeoGebra estão disponíveis em “Recursos complementares”. No caso da nossa atividade, existem alguns vídeos que exemplificam como os alunos deverão realizar as tarefas no software, estes vídeos estão em :

Peça a eles que trabalhem também a dedução e a aplicação:

  • Relação entre duas cordas concorrentes da mesma circunferência.
  • Relação entre dois segmentos de secantes numa mesma circunferência.
  • Relação entre um segmento de secante e um segmento de tangente numa mesma circunferência.
  • Calculo da potência de um ponto em relação a uma circunferência.
  • Calculo do comprimento conhecendo se a medida do raio.

               Professor, elabore uma lista de exercícios para que seus alunos possam praticar um pouco. Peça a eles que resolvam os exercícios em uma folha de papel e, em seguida, confiram as respostas no GeoGebra. Outros recursos estão disponíveis em “Recursos complementares”. Para elaboração da lista de exercícios, existem exemplos disponíveis nos sítios abaixo:

Em sala de aula (1 aula)

Professor, organize um seminário em que os projetos deverão constar os elementos da circunferência, as propriedades dos arcos e dos ângulos, bem como as posições relativas entre duas circunferências e entre uma reta e uma circunferência. Algumas dicas:

  • O importante é que o grupo imagine, invente, crie...;
  • Construir uma roda em madeira maciça e outra que já contenha a idéia de raio, para mostrar essa grande invenção do ser humano associada à forma circular;
  • Construir painéis com as posições relativas de uma circunferência e uma reta;
  • Descobrir outros modos de demonstrar as propriedades aqui estudadas;
  • Procurar descobrir a forma de desenhar duas tangentes a uma circunferência passando por um ponto P dado, justificando a construção geométrica efetuada.
Recursos Complementares

Parte teórica:

Vídeos:

Exercícios:

Atividades com software de geometria dinâmica:

Tutoriais:

Inclusão digital nas escolas públicas, http://www.escolabr.com/novo/

Avaliação

A avaliação (1 aula) poderá ser da seguinte forma:

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