Razões trigonométricas de um ângulo agudo;

Duas aulas de 50 minutos

As Relações trigonométricas seno e cosseno;

Professor, nossa proposta de aula está dividida em três etapas, onde a primeira acontecerá na Sala Ambiente de Informática, a segunda e a terceira etapas em sala de aula.

Etapa I

Iniciaremos nossa proposta de aula realizando junto aos alunos uma pesquisa sobre a história da Matemática, mais especificamente sobre as origens da trigonometria.
No endereço http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/trigonometria.html encontramos fatos e curiosidades interessantes sobre o surgimento da trigonometria. Instrua seus alunos a realizarem uma pesquisa sobre Hiparco, considerado o pai da trigonometria.
A história da Matemática é considerada uma ferramenta pedagógica muito importante, pois mostra ao aluno que a Matemática começou a ser desenvolvida conforme necessidades e condições do ser humano em um dado momento histórico. Logo, possibilita situar o aluno diante do assunto proposto.
Neste mesmo momento utilizaremos o software educativo “Medidas e Ordem de Grandezas”, e entre as atividade existentes aproveitaremos apenas a atividade 3. Este software pode ser encontrado no endereço:

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/852
 

Nesta atividade o software explica o funcionamento de um Teodolito numa atividade onde o personagem deve calcular a largura de um lago para construir uma ponte de um lado a outro de um bairro.
 

Para saber mais sobre Teodolitos pode-se utilizar como forma de pesquisa o endereço:

Obs: Para abrir este recurso clique em "abrir/salvar" na parte inferior da página, e na janela aberta clique em "salvar" e crie uma pasta específica para este fim, após salvo clique com o botão direito do mouse sobre o arquivo e clique sobre a opção "extract to 23\". Com isso teremos criado uma pasta para o recurso, abra esta pasta e com um duplo clique nos ícones de arquivo da internet iniciamos nossa atividade. 

http://www.if.ufrgs.br/oei/santiago/fis2006/teodolito.htm 

 

Imagem encontrada no endereço www.unisantos.br

Nesta atividade, o software propõe um método para medir a largura do lago e seu aluno deve decidir sobre os passos a serem seguidos utilizando para isso a simulação do uso de um teodolito, formando um triângulo retângulo e utilizando relações trigonométricas para resolver o problema.
O aluno deverá compreender a importância que as relações trigonométricas desempenham nas medidas indiretas de distâncias, como, por exemplo, a largura de um lago ou a altura de uma torre. Ao manusear o teodolito o aluno, através do personagem, pode definir os pontos de referência e assim decidir os ângulos.

 

 

Divida seus alunos em grupos de acordo com o número de computadores disponíveis em sua escola. O trabalho em grupo em atividades como essa favorece a criação de hipóteses e esta possibilita a construção de registros das atividades realizadas. 

 

Durante a simulação, o professor supervisionará a realização da atividade intervindo apenas quando necessário, possibilitando a criação de estratégias pelos alunos. Após realizar a simulação, o professor deverá sugerir aos alunos que escrevam um relatório explicando os métodos utilizados, descrevendo, as instruções que devem ser seguidas, e a eficiência desse instrumento na medida da largura do lago.
Após decidir os pontos, os alunos deverão utilizar os dados obtidos e escolhendo uma relação trigonométrica conveniente a fim de determinar as distâncias almejadas.
Todos os cálculos necessários deverão ser realizados numa “tela de cálculos” através da qual o aluno deverá apenas decidir sobre a equação mais conveniente para esta situação, organizar os dados e obter o resultado.
Realize os seguintes questionamentos aos seus alunos sobre medidas indiretas:

• É possível utilizar este método para medir outras distâncias?Quais?
• Em que situações você utilizaria esta estratégia?
• Você conhece outros métodos de medidas indiretas? Cite-os.

Após essa atividade presume-se que os alunos já possuam conhecimento de alguns conceitos básicos de relações trigonométricas, como as razões seno, cosseno e tangente, proponho a utilização, nesse mesmo momento, de outro recurso disponível no Portal, encontrado no endereço:

http://www.rived.mec.gov.br/site_objeto_ver.php?codobjeto=150

Este software possui duas atividades, onde os alunos lidarão com vários ângulos e distâncias distintas, para designar onde ficará o carro do corpo de bombeiro, para que os bombeiros possam subir pelo lado externo de um prédio em chamas com o fim de salvar vidas. Na primeira atividade aparecerá o carro de bombeiro posicionando-se próximo de um prédio em chamas. O aluno deverá alterar o ângulo que a escada faz com o carro, e o tamanho da escada e também o ângulo que a escada faz com o carro de bombeiro, aumentando ou diminuindo. Permitindo que o aluno perceba a relação existente entre o ângulo e a altura do prédio.Professora, estimule seus alunos a criarem hipóteses sobre a existência de alguma relação entre o ângulo e a altura do prédio. É interessante que escrevam as hipóteses levantadas e compartilhem com a classe, tornando a aula um momento de discussão sobre o que se pensa e o que se encontra quando resolvemos problemas matemáticos.
 

Na segunda atividade seus alunos precisarão encontrar o comprimento da escada e a distância que o carro estará do prédio, de acordo com o ângulo dado, para que os bombeiros possam alcançar o prédio no andar indicado na tabela.

Etapa II

Nesta segunda etapa colocaremos em prática o conhecimento adquirido com a utilização dos recursos utilizados na primeira etapa.
Para essa atividade proponho duas formas distintas de abordagem: construir e levar pronto os teodolitos aos alunos ou realizar sua construção em sala, sendo essa mais indicada, pois possibilita a reelaboração e construção de conceitos quando se constrói um instrumento de medida, instigando-os a buscar conhecimento necessários a esta situação.
Optando pela primeira, aconselhamos a criação de um teodolito feito com base de madeira e um prumo para aumentar sua resistência e precisão.

Para os próprios alunos realizarem sua construção em sala de aula, um aparelho mais simplificado é recomendado.
Material necessário:

• Pote redondo com tampa (a tampa deve possuir movimento circular fixado ao pote);
• Canudo cilíndrico reto (o buraco interno deve ter o diâmetro de forma que seja possível visualizar o outro lado);
• Transferidor ou o desenho deste;
• Tabela de valores da tangente;
• cola;
• arame de comprimento maior que o diâmetro do transferidor;

Se o transferidor for feito de papel, recorte-o e fixe-o em um papelão. Fure a parte superior do pote com o arame e deixe aparecendo igualmente dos dois lados. Cole o pote de invertido no meio do transferidor e fixe o canudo paralelamente ao arame em cima do pote.
 

Imagem de aluno construindo um teodolito encontrada no endereço br.geocities.com

Com o teodolito pronto, divida seus alunos em grupos.
De acordo com a disponibilidade de cada escola podemos utilizar esse mecanismo de medida em diversas situações variadas como medir a quadra de esportes da escola ou a altura de um prédio ou uma torre;
Instrua seus alunos a posicionarem o teodolito caseiro de modo que a sua base fique perpendicular ao objeto que vamos medir. Medimos a distância do objeto até o teodolito com uma trena. Através do canudo, eles deverão observar o ponto mais alto do objeto, com isso o arame marcará um ângulo no transferidor. E através desse ângulo usamos a razão tangente para obter suas medidas.
Professor note que devemos considerar a altura que o teodolito está posicionado.

 

 Etapa III

Esta atividade possui um caráter investigativo e grande potencial didático, pois além de ser interessante, permite mostrar que uma demonstração matemática não pode acontecer somente pela características visuais de uma figura.

Divida seus alunos em grupos, e distribua a cada grupo uma cópia do quebra-cabeça, e deixe-os encontrarem o problema. Professor observe que a figura 1 é um quadrado de lado medindo oito unidades composto por dois trapézios e dois triângulos retângulos, e na figura 2 reagrupamos essas peças de forma que obter um retângulo medindo 5 unidades de largura e treze de comprimento. Logo temos um quadrado de área 64 unidades ao quadrado, e formado pelas mesmas peças um retângulo possuindo área igual a 65 unidades ao quadrado.
Questione seus alunos sobre o fato de a figura 2 possuir uma unidade a mais que a figura 1, sendo compostas pelas mesmas figuras elas não deveriam ter a mesma área? Estimule-os a refletir sobre este fato. Então proponha a seguinte pergunta: há algo de errado? Se sim, onde?

 

Utilizando os conhecimentos adquiridos durante a aula seus alunos deverão verificar, utilizando o conceito de tangente de um ângulo, que a linha AB é um segmento de reta se as tangentes dos ângulos AXC e AXE forem iguais.
É interessante propor aos alunos que recortem a figura 1 montada em papel quadriculado e tentem reorganizá-la de forma a obter a figura 2, dessa maneira eles notarão que as peças não se encaixam, deverá sobrar um espaço de exatamente uma unidade.
Este tipo de atividade pode ser encerrado levando os alunos a refletirem sobre o fazer Matemática e a questão da natureza do conhecimento matemático, isto é, por que nossos sentidos, como a visão, por exemplo, não bastam para afirmar verdades matemáticas?

 

No endereço http://www.mspc.eng.br/matm/trg110.shtml são encontradas diversas relações trigonométricas que podem ser muito úteis em contextos de resolução de problemas e/ou ampliação de conceitos que são utilizados nessas relações.

Professor, nos endereços http://www.ucs.br/ccet/deme/lzsauer/pecadi/relacoes.htm http://www.profezequias.net/trigonometria.html encontramos diversos problemas matemáticos ligados a diferentes contextos sobre relações trigonométricas, cuja resolução pode ser utilizada como atividade avaliativa de diferentes aprendizagens do aluno. Por exemplo, pode-se averiguar se os alunos conseguem determinar as razões trigonométricas de um ângulo agudo e utilizá-las na resolução de situações-problema. Do mesmo modo, é possível saber se aprenderam a efetuar medidas angulares com o uso de um teodolito simplificado.