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Diferença de quadrados ou Produto da soma pela diferença

 

23/01/2010

Autor e Coautor(es)
Rita Santos Guimarães
imagem do usuário

SAO CARLOS - SP Universidade Federal de São Carlos

Pedro Luiz A. Malagutti

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Fundamental Final Matemática Espaço e forma
Ensino Fundamental Final Matemática Grandezas e medidas
Ensino Fundamental Final Matemática Álgebra
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

Os alunos irão estudar a diferença de quadrados, isto é , o produto da soma pela diferença. Faremos uma abordagem geométrica que permitirá obter a expressão algébrica do resultado!

Duração das atividades
Uma aula dupla (100 min).
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Operações básicas, multiplicação de binômios e áreas de figuras planas como quadrados e retângulos.

Estratégias e recursos da aula

Importância & Conteúdo no dia-a-dia

As justificativas para a apresentação de qualquer um dos produtos notáveis são as mesmas! Você pode ver a quadrado da soma e o quadrado da diferença em outras aulas.

O uso de letras na matemática é útil para representar valores desconhecidos e grandezas que variam, sendo assim, por que não fazer cálculos com elas? Porém essa transição de números para letras representa um salto intelectual na formação dos estudantes. Por isso devemos garantir uma evolução natural e suave desses conteúdos.

Essa aula tratará de generalizações de cálculos básicos. Fazer contas faz parte da vida de qualquer pessoa, mesmo que seja apenas para compreender os valores obtidos na calculadora.

Um dos objetivos do aprendizado da matemática no ensino básico apontados no PCN é “compreender os conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas que permitam a ele desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação científica geral”.

A abordagem algébrica e geométrica desta aula auxiliam na compreensão mais ampla de conceitos básicos da matemática.

A fatoração em geral e os produtos notáveis em particular são ferramentas para o cálculo algébrico que serão úteis no futuro para descrever fenômenos através de polinômios.

Motivação & Introdução

Como motivação, antes de apresentar o problema, os estudantes podem criar cálculos da mesma forma sugerida na aula de quadrado da diferença, a seguir um exemplo:

Calcule 7² – 4² =

Calcule (7 + 4) (7 – 4) =

Calcule a área da figura:

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FIGURA 1

Observe que esse já é um exemplo numérico da diferença de quadrados. Peça para que cada grupo crie um exemplo como este, mas com valores diferentes!

O problema mais geral que vamos analisar é: “Dados dois segmentos de medidas X e Y, com X>Y. Qual é a área do retângulo que tem comprimento igual a (X + Y) e largura igual a (X – Y)?”

Atividades

O recurso educacional "Difference of squares" permite que o usuário escolha o tamanho de x e y no quadrado da diferença. Além disso, possibilita outras divisões da figura que resultam no mesmo resultado, usando trapézios ao invés de retângulos.

Sreen shot objeto 1

FIGURA 2

Difference of squares

Este objeto requer um programa para sua visualização, portanto, baixe-o neste link do Banco Internacional de Objetos Educacionais – MathematicaPlayer- http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/4737

Cada grupo, de três estudantes, deve recortar dois quadrados de cartolina (o professor pode trazer pronto se preferir).

O quadrado maior deve ser considerado de lado X e o menor de lado Y, como na figura:

Quadrados X e Y

FIGURA 3

Com essas peças os grupos devem tentar obter o retângulo de lados (X + Y) e (X – Y). Este caso de produto notável é mais sutil do que os outros e pode ser que os estudantes consigam obter a expressão correta sem terem formado o retângulo mencionado.

Vamos sugerir agora um método para obtenção do retângulo:

1° passo: Recorte o quadrado de lado Y de um dos cantos do quadrado de lado X,

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FIGURA 4

2° passo: Trace a diagonal representada na figura, formando dois trapézios retângulos,

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FIGURA 5

3° passo: Recorte esses dois trapézios e encaixe-os como na figura,

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FIGURA 6

Assim, a área desse retângulo é dada por: (X + Y) (X – Y) que é a mesma área da figura 3 (hexágono não convexo), que é X² – Y².

Portanto, X² – Y² = (X + Y) (X – Y) .

Todas as figuras dessa atividade foram feitas com o software livre GeoGebra, disponível em:

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/3538 - GeoGebra

Recursos Educacionais
Nome Tipo
Difference of squares Animação/simulação
Recursos Complementares

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/8032

O link acima oferece uma ferramenta para explorar a diferença de cubos, pode ser um ótimo desafio para os estudantes!

http://www.obm.org.br/opencms/provas_gabaritos/

Questões de provas de Olimpíadas de Matemática apresentam frequentemente usos interessantes de produtos notáveis. No link acima você pode obter as provas e os gabaritos das provas passadas da OBM - Olimpíada Brasileira de Matemática.

Avaliação

Pode-se pedir, que ao final das atividades, cada grupo elabore um relatório ou um cartaz com o método utilizado para obter a expressão desse produto notável.

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