Fixar os conceitos de área e perímetro. Conhecer outras formas de calcular área de polígonos, quadriláteros em especial. Estudar relações perímetro e área de retângulos.

Para acompanhar esta atividade sugerimos que os alunos já tenha o conceito de área e de perímetro. E saibam calcular Cálculo de área e perímetro de retângulos.

Importância

“A utilização de conhecimentos geométricos para leitura, compreensão e ação sobre a realidade tem longa tradição na história da humanidade. É inegável a importância de saber caracterizar as diferentes formas geométricas e espaciais, presentes na natureza ou imaginadas, através de seus elementos e propriedades, bem como de poder representá-las por meio de desenho geométrico. “ (Programa de Matemática FUVEST 2003 – Informe à Imprensa )

O cálculo de área de figuras planas corresponde a uma parte importante na geometria, principalmente por ser útil na descrição, representação e previsão quando modela um problema real.

Conteúdo no dia a dia

Qual é a área deste terreno?

Quanto papel preciso para encapar meu caderno?

Quantas pessoas por metro quadrado podem ocupar uma casa de show para que uma evacuação de emergência seja feita com segurança?

Estes são apenas alguns exemplos de situações que não se resolveriam sem o cálculo de alguma área. Pergunte se seus alunos conseguem pensar em outros!

Motivação

Professor, antes de iniciar esta atividade converse com seus alunos sobre área de figuras planas. Descubra se eles imaginam situações onde saber calcular uma área pode ser útil e até indispensável. Use as perguntas acima para motivá-los. Tente descobri também que formas de cálculo de área eles já sabem!

Introdução

Esta sugestão de aula pretende abordar alguns métodos para obter aproximações de áreas de polígonos de 4 lados.

Comece sua aula comentando que já no antigo Egito os agricultores deviam pagar impostos sobre suas terras. E que a maioria dos terrenos cultivados eram às margens do rio Nilo, porém, com as cheias anuais do rio alguns pedaços consideráveis de terra eram “levados”. Assim a área para plantio se tornava menor e não seria justo pagar o mesmo valor de impostos. Ou seja, essa civilização tão antiga já tinha sua maneira de calcular área de terrenos!

Atividades

Parte 1: Área dos Egípcios – Método das médias

Os egípcios usavam a seguinte aproximação: dado um terreno com lados a, b, c e d uma aproximação para a área é dada por (a+d)/2 +(b+c)/2

Parte 2: Teorema de Pick

Este método de obtenção de área de polígonos pode ser usado quando os vértices do polígono estão sobre os pontos de um reticulado, como na figura.

Figura 1

Nesse exemplo, o polígono de 6 lados tem todos os seus vértices sobre pontos do reticulado. Agora devemos contar os pontos (do reticulado) que estão sobre os lados do polígono, chamaremos de F=6, e devemos contar também os ponto do reticulado que estão no interior do pológono, chamaremos de I=14.

Com esses valores, devemos fazer (½).F + I -1 para obter o número de Picks do polígono, este valor coincide com o número de quadrados do reticulado que formam a figura. Aqui tais quadrados têm área 1cm², portanto (½).6+14-1 = 16cm² é a área do nosso polígono.

Parte 3: Quadriculado

Este método de aproximação da área consiste em fazer quadriculados cada vez menores e contar quantos couberam dentro da figura. Sabendo a área de um deles, podemos ter uma boa aproximação para a área desejada.

Por exemplo:

Figura 2

Cada quadradinho desse quadriculado tem 0,5cm X 0,5cm, ou seja a,25cm². Fazendo uma aproximação temos um total de 21 quadradinhos, resultando numa área de 5,25cm².O valor real da área, calculado com o GeoGebra (http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/3538) é 5,38cm², ou seja, obtivemos uma boa aproximação.

Parte 4: Decomposição em triângulos

Qualquer polígono pode ser subdividido em triângulos e calculando a área desses triângulos obtemos a área da figura inicial. Por exemplo, a figura abaixo mostra um polígono de 7 lados, subdividido em triângulos. Para obter a área desses triângulos podemos usar a formula de Heron

, onde p é o semiperímetro e a,b e c são os lados do triângulo.

Figura 3

Dinâmica:

Materiais extras:

• Folha de sulfite;

• Tesoura;

• Papel quadriculado.

Professor,

explique para a classe as 4 maneiras para obter a área, ou pelo menos uma aproximação dela, para quadriláteros. Sugerimos que todos os seus exemplos sejam com quadriláteros.

Em seguida separa a classe em grupos de 3 estudantes e distribua meia folha de sulfite para cada trio. Eles devem recortar deste pedaço de papel um quadrilátero (convexo) do qual não seja trivial calcular a área.

Em seguida devem obter o valor da área com os 4 métodos, sendo “Decomposição de Triângulos” o último.

Depois de todos os cálculos feitos, a classe deve discutir qual foi o melhor método!

E se o melhor nesta situação seria em qualquer outra.

Observe também que quadriláteros que se aproximarem de retângulos terão um bom resultado a partir do “Método das Médias”.

Sugerimos uma continuação da aula na sala de informática:

Acesse este objeto pelo link ao lado, ele se encontra no Banco Internacional de Objetos Educacionais -  Retângulos: Área e perímetro

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/5385

Este objeto requer um programa para sua visualização, portanto, baixe-o neste link do Banco Internacional de Objetos Educacionais - MathematicaPlayer

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/4737

Para reconhecer a ferramenta

Abra o objeto e deixe seus alunos explorarem os recursos por alguns minutos.

Explique que "length" é a palavra em inglês para largura e que "width" é a palavra para comprimento (isso, provavelmente, será notado através da manipulação dos comandos).

Mostre que ao clicar sobre o sinal de + ao lado dos valores de comprimento e largura é possível visualizar botões que permitem que a variação seja feita com maior precisão e, além disso, existe a possibilidade de variação automática de um ou de ambos os valores.

Atividades de familiarização

1. Peça aos alunos que descubram qual é o retângulo de menor área que se pode fazer com os valores permitidos no seletor. R: 1 X 1

(É importante observar que existe um limite neste objeto, todas as figuras têm medidas com valores inteiros e de no máximo 20.)

1. E qual é o retângulo que tem maior área? R: 20 X 20
2. Existem retângulos com o mesmo valor para área e para o perímetro? R: Sim.
3. Se sim, quais são eles? R: 3 X 6, 6 X 3, 4 X 4

 Em todos os itens acima peça que os alunos verifiquem os valores fornecidos pelo computador com cálculos no caderno.

Variações -  Relações

1.  Em duplas ou trios, solicite que os alunos escolham um valor fixo para o comprimento do retângulo.
2. Com este valor escolhido, preencha a tabela abaixo:

Largura	Área	Perímetro
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
16
17
n

3.  O que está acontecendo com o perímetro a medida que aumentamos a largura? R: aumenta em duas unidades.
4. O que está acontecendo com a área? R: aumenta o valor do comprimento a cad a unidade aumentada na largura.
5. Ajude os alunos a escrever uma generalização usando o valor n para a largura. R: área = n.comprimento escolhido e perímetro = 2+perímetro anterior ou perímetro = 2.n+2.comprimento escolhido.

 Caso tenha tempo, peça aos alunos que construam outra tabela para outro valor de comprimento, eles irão verificar que a variação do perímetro é a mesma e a da área também (depende apenas do comprimento).

Extra

Para as próximas atividade é melhor garantir que seus alunos perceberam que os retângulos 2 X 7 e 7 X 2 diferem apenas na posição.

• Que retângulos sempre têm área menor que o perímetro. R: os que tiverem um lado de medida 1 ou de medida 2.
• Nos outros casos, quando a área fica maior que o perímetro? R: basta verificar.
• Algum retângulo tem sempre a área maior que o perímetro? E maiores do que 20 X 20? R: Não
• Por quê? R: observar que o é perímetro é sempre a soma de todos os lados e portanto sempre será no mínimo 2.L + 2 (lados L e 1) enquanto que a área deste será L.1=L, portanto menor que o perímetro.

• http://www.obmep.org.br/

• Temas e Problemas Elementares – Elon Lages Lima, Paulo Cezar P. Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado – Coleção do Professor de Matemática – SBM

• http://earth.google.com/intl/pt/

• http://www.m3.mat.br/

• http://www.obmep.org.br/

• Temas e Problemas Elementares – Elon Lages Lima, Paulo Cezar P. Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado – Coleção do Professor de Matemática – SBM

• http://earth.google.com/intl/pt/ - programa gratuito que permite a visualização de trechos do globo terrestre dos quais é possível obter área e perímetro! Sugira que seus alunos obtenham tais informações do seu bairro!

• http://www.m3.mat.br/

Pode-se pedir, que ao final das atividades, cada grupo elabore um relatório com os novos conceitos aprendidos, ou seja, com as justificativas das fórmulas de área e de aproximação de área.

Quando for possível usar a sala de informática o relatório pode conter as respostas das questões sugeridas.