Portal do Governo Brasileiro
Início do Conteúdo
VISUALIZAR AULA
 


Números primos e compostos

 

13/08/2009

Autor e Coautor(es)
Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Fundamental Final Matemática Números e operações
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

Reconhecer números primos e compostos. Encontrar divisores de um número composto. Encontrar múltiplos.

Duração das atividades
Duas aulas simples (100min).
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Operações básicas - multiplicação e divisão.

Estratégias e recursos da aula

Importância e Conteúdo no dia-a-dia

O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que qualquer número inteiro maior que 1 pode ser escrito de forma única, a menos da ordem, como multiplicação de números primos.

Este teorema é central na Teoria dos Números, graças a ele muitos outros resultados puderam ser demonstrados. A Teoria dos Números é uma das grandes áreas da Matemática, um de seus ramos estuda as propriedades e relações dos números inteiros. É aí que entram o Teorema Fundamental da Aritmética e os números primos.

As descobertas dessa área permitiram a evolução do sistema de códigos e senhas que usamos diariamente. Os números primos têm papel fundamental na criptografia (codificação de mensagens).

Um material de pesquisa muito interessante é a apostila do curso de Iniciação Científica Júnior oferecido aos medalhistas da OBMEP. Todo material está disponível no site. http://www.obmep.org.br/export/sites/default/arquivos/apostilas_pic2008/Apostila7-Criptografia.pdf

Motivação

Os números primos formam a decomposição de qualquer número inteiro maior que 1. A compreensão e a familiarização desse resultado implica em contas muito mais rápidas e sem erros. Os alunos que tiverem pleno domínio desse conteúdo terão menos dificuldades nas operações, que sempre estão presentes na matemática, ficando totalmente livres para compreender os novos conceitos em estudo.

Atividades

Materiais:

  • folha de papel quadriculado;

  • lápis de cor;

  • régua.

Nesta atividade o professor pedirá que os alunos construam retângulos usando uma certa quantidade de quadradinhos da folha quadriculada.

O objetivo é verificar quantos retângulos diferentes podem ser construídos com tal quantidade. Por exemplo com 6 podemos fazer retângulos 6X1; 2X3. Como estas figuras devem ser desenhadas na folha, conte qual é maior número que poderá ser sugerido para a classe. Geralmente uma folha de papel quadriculado tem 40 quadradinhos de largura.

Os alunos devem formar duplas e o professor deve determinar 4 ou 5 valores diferentes por dupla, para que sejam desenhados os retângulos com essa quantidades de quadradinhos. Certifique-se de que todos os valores entre 2 e 40 sejam designados para algum grupo.

A atividade dos alunos consiste em colorir os retângulos possíveis em sua folha quadriculada com a quantidade determinada de quadradinhos.

Quando todos terminaram o professor deve fazer uma tabela na lousa com os valores de 2 á 40 e a quantidade de retângulos construídos. O início da tabela será:

Estimule os estudantes a usar palavras como divisão, divisores, fatores. Com certeza comentários pertinentes sobre quantidade de divisores irão surgir e essa será a deixa para introduzir os termos “número primo” e “número composto”.

Depois de apresentados os novos conceitos sugerimos que o professor use a mesma tabela para listar os divisores de cada número. Neste momento o grupo que recebeu aquele valor deve escrever seus divisores na lousa, por exemplo:

Os valores com os quais só foi possível construir um retângulo são os números primos, pois eles só puderam ser escritos como (1 x p). Antes de comentar sobre isso com a classe promova um discussão para tentar justificar o fato de alguns valores terem gerado vários retângulos e outros apenas 1.

Número

Quantidade de retângulos

2

1

3

1

4

2

5

1

6

2

7

1

8

2

9

2

10

2

11

1

12

3

13

1

14

2

15

2

16

3

Como atividade final você pode sugerir que cada aluno construa um Crivo de Eratóstenes. Para isso os estudantes devem desenhar um quadriculado de 10 por 12, por exemplo, nesse caso eles obterão todos os primos menores que 120. Para isso basta enumerar os quadradinhos a partir de do segundo, com o número 2 e seguir com os inteiros até terminem as casas. (não marcamos o 1 pois ele não é primo por definição)

Depois de ter esta “tabela” pronta, os estudantes devem eliminar números da seguinte forma:

  • tome o primeiro valor não riscado (da primeira vez será o 2)

  • risque todos os múltiplos desse valor (perceba que ir contando os quadradinhos de dois em dois é uma ótima técnica)

  • assim que chegar ao final da tabela, volte e procure o próximo valor não riscado que esteja depois do último número que você considerou. (depois do 2 termos o 3 como primeiro valor não riscado)

  • volte a primeira instrução.

O que esperamos obter é uma tabela como ilustra a figura abaixo, onde os núeros não pintados são primos.

Os divisores são as medidas dos lados dos retângulos que puderam ser construídos com aquela quantidade de quadradinhos!

Número

Quantidade de retângulos

Divisores

2

1

1;2

3

1

1;3

4

2

1;2;4

5

1

1;5

6

2

1;2;3

7

1

1;7

8

2

1;2;4;8

9

2

1;3;9

10

2

1;2;5

11

1

1;11

12

3

1;2;3;4;6;12

13

1

1;13

14

2

1;2;7;14

15

2

1;3;5;15

16

3

1;2;4;8;16

Para o professor que tiver a oportunidade sugerimos levar os estudantes até a sala de informática e utilizar um objeto educacional do Banco Internacional. Este objeto é uma ferramenta dinâmica que permite a visualização dos conceitos já estudados nessa atividade. Ele servirá para fixar o conteúdo estudado!

Existe um recurso no Banco Internacional de Objetos educacionais que explora este crivo, ele pode ser acessador por http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/5363.

Mais um objeto pode ser utilizado e faremos algumas sugestões de uso.

Ascese pelo link ao lado - http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/9105

Este objeto requer um programa para sua visualização, portanto, baixe-o neste link do Banco Internacional de Objetos Educacionais - MathematicaPlayer

 Para re conhecer a ferramenta:

Professor, deixe os alunos em duplas e, com a ferramenta aberta, dê alguns minutos para que eles brinquem com os comandos aleatoriamente.

Depois deste tempo, mostre que ao clicar sobre o sinal de + ao lado dos valores de n e d é possível visualizar botões que permitem que a variação seja feita com maior precisão e, além disso, existe a possibilidade de variação automática de um ou de ambos os valores.

Atividades de familiarização

As perguntas a seguir guiarão os estudantes para definição de números primos (mesmo que eles ainda não conheçam esta palavra), além disso será sugerida a elaboração de um pequeno relatório com a descrição do funcionamento da ferramenta.

  1. Escolha um valor n (por exemplo 27 - professor fique a vontade para sugerir outros números) e varie o seletor d. Para que valores de d os quadradinhos formam um retângulo perfeito? A figuira abaixo ilustra uma situação com a ferramenta.

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/1623/imagens/primo_2.GIF

  1. Explique o que é mostrado a medida que se varia o seletor de d.

Aqui, espera-se que os alunos observem que:

- É mostrada a multiplicação de d que chega mais próximo de n. Quando ela não é exata, temos uma parcela somando para que se obtenha n.

- Vemos o quociente e o resto na divisão de n por d.

- Os quadradinhos representam a divisão de n por d em colunas, mesmo que ela não seja exata.

  1. Selecione n=36, quais as multiplicações (sem adição) que fornecem este resultado?
  2. Quais são os divisores de 36?
  3. Quais números podem ser escritos com multiplicações por 1? R:todos.
  4. Descubra 7 valores que não formam retângulos exatos, exceto pela multiplicação por 1. R: primos.
  5. Quais são os divisores dos números que você encontrou no exercício 6? R: 1 e ele mesmo apenas.


Definições

  • Professor, agora você já pode definir com seus alunos o que são números primos e o que são números compostos.
     

Outras atividades

  • Encontre todos os números primos menores do que 100 (limite da ferramenta).
  • Fixando um valor de n (menor que 50),  encontre alguns múltiplos deste número (serão todos múltiplos menores que 100). Quando você sabe que obteve um múltiplo?
  • Verificar transitividade da multiplicação. Procure duas maneiras de escrever o 25 com multiplicações e adição usando os mesmos valores. R: 3 X 8 + 1 ou 8 X 3 +1 (sugira outros valores)

Peça que cada aluno guarde seu crivo para ter onde consultar sempre que precisar saber se um número (menor que 120) é ou não primo.

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/4737

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

Recursos Complementares

1- O Último Teorema de Fermat – Simon Singh. Livro leitura fácil que conta a história do matemático britânico Andrew Wiles que, em 1994, demonstrou um teorema que intrigava toda a sociedade acadêmica há 358 anos, enunciado por Pierre de Fermat.

2 – O Livro do Códigos – Simon Singh. Livro conta a evolução das técnicas de criptografia atraves de histórias reais.

3 - http://www.matematicadidatica.com.br/CalculadoraFatoracao.aspx – ou qualquer site que apresente uma Calculadora de Primos

4 - http://www.obmep.org.br/banco_de_questoes.html – site da OBMEP – Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, banco de questões

Avaliação

Pode-se pedir, que ao final das atividades, cada grupo elabore um relatório com os novos conceitos aprendidos, ou seja, números primos, números compostos e divisores.

Os retângulos construídos por cada dupla também podem ser recolhidos como parte da avaliação.

Quando for possível usar a sala de informática o relatório pode conter as respostas das questões sugeridas.

Opinião de quem acessou

Quatro estrelas 1 classificações

  • Cinco estrelas 0/1 - 0%
  • Quatro estrelas 1/1 - 100%
  • Três estrelas 0/1 - 0%
  • Duas estrelas 0/1 - 0%
  • Uma estrela 0/1 - 0%

Denuncie opiniões ou materiais indevidos!

Opiniões

  • joyce, sesi 207 , São Paulo - disse:
    joycecpv72@hotmail.com

    28/05/2012

    Quatro estrelas

    foi bom mas poderia ter uma explicação menos complcada pois estou no 6º(ano) e não entendi direito


Sem classificação.
REPORTAR ERROS
Encontrou algum erro? Descreva-o aqui e contribua para que as informações do Portal estejam sempre corretas.
CONTATO
Deixe sua mensagem para o Portal. Dúvidas, críticas e sugestões são sempre bem-vindas.