Verificar, em diversos triângulos, que a soma dos ângulos internos é sempre 180 graus.

Deduzir uma fórmula para o cálculo da soma dos ângulos internos de qualquer polígono (convexo).

Investigar qual é a soma dos ângulos externos de qualquer polígono (convexo).

Uma aula simples (50 min).

Conceito de ângulo. Triângulo.

Importância

Vivemos num mundo de formas e imagens. Elas estão presentes na natureza, na arquitetura das cidades, nas artes e nas coisas do nosso cotidiano.

O estudo das formas é um dos mais importantes ramos da Matemática, a Geometria.

Introdução

Faça com a classe a brincadeira clássica de construir um triângulo qualquer, colorir seus ângulos (vértices) e recortá-los. Em seguida posicione um ao lado do outro, para verificar que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º.

Atividades

Parte 1:

Divida os alunos em grupos de 3. Cada integrante deverá desenhar dois polígono com o número de lados diferentes de modo que ao final, cada grupo tenha 6 polígonos com quantidade de lados distintas.

Atenção, os polígonos não precisam ser regulares. Sugira que cada um ocupe uma folha de sulfite, assim as medidas serão mais precisas!

Cada trio deve medir e anotar (na própria figura) o valor de cada ângulo interno e externo de seus polígonos. Após realizadas as medições cada grupo deverá completar uma tabela como a seguinte:

Número de lados da figura	Soma dos ângulos internos	Soma dos ângulos externos

Depois de preenchidas as tabelas, socialize os dados coletados! Sugerimos que seja feita uma grande tabela na lousa que contenha todos os polígonos de 3 até 10 lados.

Solicite que os grupos que tiverem o polígono em questão mostre sua figura, mostrando o valor de cada ângulo interno. O objetivo é mostrar que a soma só depende do número de lados, mesmo com todos os ângulos internos distintos, um pentágono tem soma 540º!

Além disse será imediato verificar que a soma dos ângulos externos é sempre 360º.

Parte 2:

Agora sugira aos alunos que descubram qual é a soma dos ângulos internos de um polígono com 167 lados!

Esta questão deve apenas instigá-los sobre a necessidade de uma fórmula geral!

Sugira que eles subdividam os polígonos em triângulos. A forma ideal é que todos os triângulos tenham um vértice em comum, como na figura abaixo:

Figura 1

Sugira que seja feita outra tabela:

Lados, diagonais e triângulos

Número de lados da figura	Número de diagonais que partem de um mesmo vértice	Número de triângulos em que a figura ficou dividida

Eles devem observar que multiplicando o número de triângulos que a figura ficou dividida por 180 o valor obtido será a soma dos ângulos internos! Além disso, que essa última coluna da tabela pode ser preenchida com (n-2).

Ou seja, a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por: Sn= (n-2).180

Parte 3:

Um software que reforça a parte introdutória desta atividade:

Acesse este objeto pelo link ao lado, ele se encontra no Banco Internacional de Objetos Educacionais - A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180 graus

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/5267

 Este objeto requer um programa para sua visualização, portanto, baixe-o neste link do Banco Internacional de Objetos Educacionais - MathematicaPlayer

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/4737

Professor,

esta ferramenta permitirá que seu aluno se convença de que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180 graus.

Como os ângulos fornecidos apresentam 3 casas decimais, os alunos podem praticar contas de adição com esse fator complicador. Porém, tal precisão faz com que fique mais difícil construir um triângulo com um determinado valor de ângulo, por exemplo 90º.

Aproveite para discutir com a classe, que os desenhos e as medidas que fazemos cotidianamente não são exatas, sempre cometemos erros, mesmo que imperceptíveis.

Explique para os alunos o significado de

isto é, medida do ângulo CAB, por exemplo.

Para que outros conteúdos também sejam abordados nesta aula, sugerimos as seguintes questões:

Classificação dos triângulos em relação aos ângulos:

• Construa um triângulo agudo. Anote os valores de seus ângulos internos e some-os.
• Construa um triângulo obtusângulo. Anote os valores de seus ângulos internos e some-os.
• Construa um triângulo retângulo. Anote os valores de seus ângulos internos e some-os.

Semelhança de triângulos - caso AAA

A sugestão é que os alunos façam triângulos quaisquer na ferramenta, desenhando-os em uma folha de papel e anotando seus ângulos internos em outra folha. As folhas com as medidas devem ser trocadas entre os grupos e os triângulos construídos e desenhados novamente. Depois de feito isso, os últimos desenhos são devolvidos ao grupo que forneceu as medidas para a comparação com o primeiro desenho.

A grande maioria das figuras estará em posições diferentes da inicial, além disso, o tamanho dos lados também irá variar (peça que os alunos meçam na tela antes de desenhar), porém, como os ângulos são os mesmos, os triângulos são semelhantes.

Triângulos (praticamente) semelhantes:

• Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Experiências Matemáticas: 6ª série

• http://www.obmep.org.br/banco_de_questoes.html – site da OBMEP – Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, banco de questões

Pode-se pedir, que ao final das atividades, cada grupo elabore um relatório com os novos conceitos aprendidos, ou seja, com as justificativas das fórmulas para o cálculo da soma dos ângulos internos e a soma dos ângulos externos de qualquer polígono de n lados.

As tabelas também são um forte indicativo do trabalho dos grupos, eles podem montar, em uma cartolina, um quadro explicativo, com as figuras recortadas e marcadas com as subdivisões em triângulos e/ou as medidas dos ângulos.

Quando for possível usar a sala de informática o relatório pode conter as respostas das questões sugeridas.