Traduzir problemas por meio de uma equação; identificar os coeficientes de uma equação do 2º grau; reduzir uma equação do 2º grau à forma geral; encontrar raízes de algumas equações do 2º grau pelo método de soma e produto.

Equações de primeiro grau. Área de figuras planas, volume de paralelogramo.

Importância & Conteúdo no dia-a-dia

A resolução de equações constituem um passo importante para a compreensão de tópicos mais avançados da matemática, como funções. E estas são usadas para descrever muitas situações do cotidiano. Com as funções podemos prever e analisar situações diversas.

Motivação & Introdução

Peça para que os estudantes, em grupos de três, encontrem uma equação que descreve matematicamente cada um dos problema abaixo:

1 – A área de um quadrado de lado l é igual a 49cm².

Solução: l² = 49

2 – Um retângulo tem área igual a 242cm² e sei lado maior é o dobro do menor. Expresse a área em função do tamanho do lado menor x.

Solução: x. 2.x = 242

3 – Expresse a área do retângulo da figura sabendo que ela vale 10cm²:

Solução: x. (x+3) = 10

FIGURA 1

4 – Meu vizinho, com 20m de cerca, construiu um cercado retangular de 32m² de área, utilizando seu muro como um de seus lados. Chamando de x a medida do lado comum do retângulo. Expresse a sua área.

Solução: x. (20 – 2x ) = 32

FIGIRA 2

5 – Um retângulo de papelão tem base 16 e altura 3. Fazendo duas dobras de largura x, paralelas à altura do retângulo, obtemos três faces de um bloco retangular. Seu volume é 42cm³. Determine a expressão do volume do bloco.

Solução: (16 – 2x). x. 3 = 42

FIGURA 3

6 – A R$30,00 o ingresso, os concertos de uma banda atraem 500 espectadores. Se cada variação de R$1,00 no preço do ingresso faz vaiar o público em 40 espectadores. Se a receita do show com a venda de ingressos foi de R$18.000,00 e seja x os reais retirados do valor original do ingresso, qual será a expressão da receita?

Solução: (30 – x). (500 + 40x) = 18.000

Estes problemas foram extraídos do livro Temas e Problemas Elementares, da Coleção do Professor de Matemática publicada pela SBM e também do Experiências Matemáticas da 8ª Série, publicação do Governo do Estado de São Paulo, 1996.

Atividades

Equação do 2º grau – forma geral

Depois que os grupos obtiverem as equações corrija na lousa ressaltando que todas são de segundo grau. Porém, nem todas têm a mesma quantidade de termos.

Nessa conversa com a turma ressalte:

• quem são os coeficientes;

• quais equações são completas e quais são incompletas;

• quem é o termo independe;

• qual é a forma geral: a.x² + b.x +c = 0.

Cada grupo deve montar uma tabela com as equações que obtiveram nos problemas, a mesma colocada na forma geral e quem são seus coeficientes:

TABELA 1

Equação do 2º grau – raiz

Antes de tentar resolver as equações da tabela temos que verificar a relação entre os coeficientes e as raízes de uma equação do segundo grau. Por isso vale a pena enfati zar o que é uma raiz: é o valor que torna a sentença matemática verdadeira.

Por exemplo:

Se, em x² + 3x = 2 =0, trocarmos x por -2 ou por -1 obteremos sentenças verdadeiras. Peça para que os grupos façam alguns exemplos. Verificando se os valores sugeridos são ou não raízes da equação dada:

A) x² – 9 = 0, x=3 ou x=-3

B)(x – 1)² = 3x +1, x=0 ou x=5

C)3x² + 4x +1 = 0, x=0 ou x = -1/3

D) 4x² – 12 x = 0 , x=0 ou x=4

Relação entre raízes e coeficientes:

Cada grupo deve terminar de preencher a tabela abaixo:

TABELA 2

Solicite que os estudantes respondam depois de analisarem a tabela:

1. Que relação existe entre a soma das raízes de uma equação do 2º grau e o seus coeficientes a e b?

2. Que relação existe entre a produto das raízes de uma equação do 2º grau e o seus coeficientes a e c?

3. Com base nas suas conclusões descubra quais são as raízes das equações do início da atividade.

Soluções: 1) 7 e -7, 2) 11 e -11, 3) 2 e -5, 4) 8 e 2, 5) 7 e 1, 6) 10 e 7,5

• Revista do Professor de Matemática – SBM - http://www.ime.usp.br/~rpm/cms/

• Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas - http://www.obmep.org.br

• Experiências Matemáticas – Governo do Estado de São Paulo – 8ª série, 1996

• Temas e Problemas Elementares – Coleção do Professor de Matemática – SBM, 2006

Pode-se pedir, que ao final das atividades, cada grupo entregue as soluções obtidas para os problemas do início da aula.