O aluno poderá aprender algumas propriedades dos quadriláteros, explorando suas classificações e a inscrição de quadriláteros em circunferências.

Para acompanhar esta atividade os alunos devem estar familiarizados com conceitos básicos de polígonos, isto é, ângulos, lados, vértices...

Importância

Polígonos são figuras formadas por linhas poligonais fechadas (compostas por segmentos de reta) e podem ser associados a inúmeras objetos de nosso cotidiano, por exemplo: uma folha de papel, uma placa de trânsito, os azulejos de uma cozinha, móveis, …

Muitas obras do pintor modernista Alfredo Volpi têm como principal elemento os polígonos!

Nosso tema de estudo nesta sugestão de aula é o 'quadrilátero', um tipo específico de polígono na classificação quanto ao número de lados, quatro.

Conteúdo no dia a dia

Reconhecer figuras geométricas e suas propriedades é fundamental para simplificar tarefas diárias.

Quantos azulejos deve comprar para revestir o piso da banheiro?

Qual assadeira devo escolher para fazer um bolo para minha família?

Qual deve ser o formato de um cercado para que ele delimite a maior área?

As respostas a todas essas perguntas envolvem o conhecimento de propriedades dos quadriláteros!

Introdução do Conteúdo e Motivação

Converse com seus alunos sobre o foco principal desta aula (quadriláteros). Dê exemplos de objetos que você tenha em mãos e na classe, faça-os pensar sobre polígonos de 4 lados!

Questione-os se todo quadrilátero é idêntico ao outro, apenas de tamanho ampliado ou reduzido. Relembre os nomes dos elementos do polígonos: lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos

Atividades

Professor, para esta atividade sua classe vai precisar de alguns materiais extras:

-canudos de plástico (lisos e finos de preferência) ;

-régua;

-transferidor;

-tesoura;

-cola;

-compasso.

Quando o material necessário estiver distribuído, peça que eles construam os mais variados quadriláteros, isto é, com todos os lados iguais, com 3 iguais, com 2 iguais, com todos diferentes, dois a dois com a mesma medida...

Os estudantes podem ficar em grupos e devem colar seus quadriláteros em uma cartolina (ou folha de papel). Eles devem deixar um espaço ao lado de cada figura para que possam escrever as principais características daquele objeto.

É importante que o objeto seja colado pois não serão formadas figuras rígidas e assim o losango pode tomar a forma de um quadrado e vice-versa.

A seguir sugira que os grupos discutam para verificar as propriedades das figuras obtidas. Na figura abaixo temos um exemplo de anotações que devem ser feitas pelos estudantes.

Se a turma não conhece todos os nomes de quadriláteros com características específicas este é um bom momento para introduzi-los.

Antes que os grupos terminem e seja feita uma discussão geral atente para alguns pontos:

• O que são segmentos de reta paralelos?

• Qual é a soma dos ângulos internos dessas figuras?

• Quais ângulos são iguais e quais são diferentes em cad a uma delas?

• O que é um quadrilátero convexo?

A discussão com toda a classe deve resultar em um grande diagrama, ele pode ser feito na lousa com os quadriláteros fixos com fita adesiva, ou ainda feito no chão, com a fronteiras feitas de fira crepe.

Uma continuação deste conteúdo é tratar de quadriláteros inscritíveis. Para isso peça que os grupos desenhem várias circunferências (pode-se contorná-la de caneta para que os estudantes possam apagar e refazer os desenhos se for necessário) e questione-os sobre quais quadriláteros podem ser inscritos. Eles tem alguma característica especial?

A resposta dessa pergunta não é fácil, mas depois de investigar características nas atividades anteriores pode ser que alguns grupos notem que a soma dos ângulos oposto de quadriláteros inscritíveis são suplementares. Além disso, a recíproca deste resultado é verdadeira.

Na figura temos que os ângulos BAD + DCB = 180 e ainda ABC + ADC = 180.

Um artigo na Revista do Professor de Matemática, 44, 200, pg. 10 uma publicação da SBM – Sociedade Brasileira de Matemática.

Para o professor que tiver oportunidade sugerimos levar os estudantes na sala de informática é utilizar um objeto educacional do Banco Internacional.

Acesse este objeto pelo link ao lado-  - Ângulos opostos de um quadrilátero inscrito em uma circunferência

(http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/5169)

Este objeto requer um programa para sua visualização, portanto, baixe-o neste link do Banco Internacional de Objetos Educacionais – MathematicaPlayer (http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/4737)

Professor, seus alunos poderão variar os vértices A, B, C e D por toda a circunferência. Na parte inferior estão anotados os ângulos internos da figura formada, além de algumas somas destes valores.

Uma sugestão da sequência de conceitos a serem abordados é:

Quadrilátero (polígono) inscrito

Os polígonos que podem ter todos os seus vértices sobre uma mesma circunferência são chamados de polígonos inscritíveis.

Quadrilátero (polígono) convexo

Como é possível formar outras figuras além de quadriláteros, pode-se explicar o que é um polígono (ou quadrilátero convexo) e não convexo. Note que apenas em ordem alfabética a figura é um quadrilátero convexo.

CONVEXO: Ao ligar dois pontos quaisquer no interior do polígono, o segmento também está inteiramente contido no polígono.

Soma dos ângulos internos

Qual é a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero?

Soma dos ângulos opostos

 Finalmente, a razão da ferramenta é mostrar que a soma dos ângulos opostos de qualquer quadrilátero inscritível é 180º.

 Semelhança de triângulos

 Quando a figura apresenta um cruzamento os triângulos formados são semelhantes! Já que, como no exemplo, os ângulos A e C enxergam o mesmo arco, assim como B e D, além disso, o terceiro ângulo é congruente por se oposto pelo vértice.

 As medidas fornecidas podem ser justificadas com o argumento acima.

http://www.klickeducacao.com.br/2006/materia/20/display/0,5912,POR-20-92-954-,00.html

http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg/dg_11t.php

http://mathematikos.psico.ufrgs.br/disciplinas/ufrgs/mat010392k2/ens22k2/sinteticos/pagina1.html

Observar a participação e a compreensão dos alunos de cada conceito novo abordado.

Pode-se pedir, que ao final das atividades, cada grupo elabore um relatório com os novos conceitos aprendidos, ou seja, com as definições de quadrado, trapézio, losango, retângulo e paralelogramo, além das definições de quadrilátero convexo e quadrilátero inscritível.