Representar situações usando sistema de equações de duas variáveis.

Conhecer dois métodos de resolução de sistemas de equações.

Equações.

Importância & Conteúdo no dia-a-dia

Assim como as funções, muitas situações cotidianas podem ser representadas por sistemas de equações. Durante esta sugestão de aula vamos apresentar problemas contextualizados e curiosos.

Motivação

Peça para que os alunos resolvam o seguinte problema: “Uma sala de aula tem 37 estudantes. Quantas meninas e quantos meninos têm nessa classe?”

Observe com a turma que este problema pode ter várias soluções. Anote algumas na lousa. Por exemplo:

30 meninas e 7 meninos

20 meninas e 17 meninos

19 meninas e 18 meninos (professor, certifique-se de colocar essa opção na lousa!)

0 meninas e 37 meninos e etc.

Seria preciso outra informação para determinar qual das possíveis soluções é a correta.

E se acrescentarmos que: “A sala tem uma menina a mais que a quantidade de meninos.”

Agora podemos procurar entre as soluções listadas acima aquela onde o número de meninas e uma unidade maior que o número de meninos.

Encontramos assim que a resposta procurada é “19 meninas e 18 meninos”.

Mas sempre que tivermos situações desse tipo teremos que listar várias possibilidades e depois verificar qual delas é a adequada?

É importante comentar que podem existir situações onde a quantidade de soluções de apenas uma das informações é infinita. Por exemplo: “A distância entre as bolinhas A e B somada com a distância entre as bolinhas B e C é de 30m”.

Se pudermos fazer medições com infinitas casas de precisão então teremos infinitas respostas possíveis para essa questão.

FIGURA 1 Um exemplo de disposição das bolinhas, existem infinitos.

Para não corrermos o risco de ter que escrever uma lista infinita (o que é impossível) vamos usar um sistema de equações.

Vamos chamar de M a quantidade de meninas e de H a quantidade de meninos da classe. Assim a primeira informação pode ser escrita como: M + H = 37 e a segunda H = M+ 1

Esse é o primeiro passo para aprendermos a usar essa poderosa ferramenta matemática que é o sistema de equações.

Introdução

Vamos praticar a obtenção de sistemas a partir de enunciados de problemas diversos.

Divida os alunos em grupos pequenos e peça para que eles escrevam os seguintes problemas em forma de sistema de duas equações e duas incógnitas.

1 – A soma de dois números é 50 e um deles é 2/3 do outro. Quais são esses números?

2 – Num concurso com 20 questões os candidatos ganham 5 pontos por questões que acertam e perdem 3 pontos por questões que erram. Quantas questões acertou um candidato que fez 36 pontos?

3 – A soma de dois números é 129 e a diferença é 35. Quais são esses números.

4 – Uma conta de R$ 700,00 foi paga com 11 notas, algumas de R$5 e outras de R$10. Com quantas de R$10 foi paga a conta?

Escrever os problemas como sistema de equações

Atividades

Agora vamos encontrar as soluções dos sistemas obtidos anteriormente.

Resolver por substituição

Apresente este método usando o exemplo do número meninos e meninas de uma sala de aula.

As equações são:

M + H = 37 e

H = M+ 1

Faça os estudantes notarem que H já está isolado na segunda equação, ou seja, podemos SUBSTITUR o H da primeira por M+1, já que a segunda equação me garante que essa “coisas” são iguais.

Peças que os grupos resolvam os problemas 1 e 2 usando esse método.

Alerte-os que se ainda não houver um incógnita isolada nas equações isso pode ser feito por eles.

Resolver por adição

Os problemas 3 e 4 são mais facilmente resolvidos por adição.

Mostre aos grupos que ao somar membro a membro das equações uma das incógnitas “desaparece”, tornando simples encontrar o valor da outra.

Os problemas aqui propostos foram retirados do Experiências Matemáticas, 7ª série, uma publicação do Governo do Estado de São Paulo de 2008.

Seria interessante passar mais problemas desse tipo para que os estudantes possam decidir qual método é mais adequado. Sugerimos o livro Temas e Problemas Elementares, da Coleção do Professor de Matemática, publicação da SBM de 2006 para mais ideias de enunciados.

Assim, a classe pode terminar essa atividade justificando a escolha de um e de outro método, apontando vantagens e desvantagens de cada um deles.

• Revista do Professor de Matemática – SBM - http://www.ime.usp.br/~rpm/cms/

• Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas - http://www.obmep.org.br

• Experiências Matemáticas – Governo do Estado de São Paulo – 7ª série, 1998

• Temas e Problemas Elementares – Coleção do Professor de Matemática – SBM, 2006

As duplas podem entregar os problemas (os 4 da introdução e mais os que forem dados na atividade) resolvidos e o professor pode analisar as justificativas dadas pelo uso de um outro método.