Conhecer o número irracional π e verificar aproximações para seu valor.

Operações básicas e conjuntos numéricos.

Importância

A “descoberta” dos números irracionais, pelos pitagóricos, foi um grande salto na Matemática. Pois, até então, acreditava-se que dois segmentos eram sempre comensuráveis, ou seja, a razão entre seus comprimentos seria sempre uma fração de números inteiros.

Foi uma consequência direta do próprio Teorema de Pitágoras, usando um triângulo retângulo com catetos de comprimento 1, que veio a descoberta do √2 (valor da hipotenusa). Apenas no sec. IV a.C. é que o conceito de razão foi redefinido para contemplar segmentos incomensuráveis. (leia mais em http://www2.dm.ufscar.br/~sampaio/sequencias.PDF).

Conteúdo no dia-a-dia

Os valores que usados, em geral, nas atividades escolares se restringem aos conjuntos dos racionais, quando não apenas aos naturais. Os valores irracionais deveriam figurar entre os estudantes como qualquer outro valor, sem que o “exercício se torne mais difícil por ter raiz”.

A falta de naturalidade com que esses números são muitas vezes encarados prejudica a compreensão de outros conceitos matemáticos como, por exemplo, o conceito de continuidade da reta real, de infinito, de limite etc.

Além disso, em cálculos do cotidiano, aproximar valores antes do final da conta cria o risco de aumentar, consideravelmente, os erros. Portanto, é de extrema importância saber operar com valores irracionais.

Motivação

Esta aula pode ser um complemento da aula “Círculos e circunferências”, inclusive pulando etapas e usando o mesmo material. De qualquer forma, vamos tecer explicações que permitam que esta unidade seja usada isoladamente.

Forme grupos pequenos e peça, em um dia anterior a esta aula, que os estudantes tragam objetos redondos. Você também pode levar círculos de cartolina e traçar circunferências de diferentes raios com o compasso.

Todos esses objetos devem servir para que os estudantes meçam o comprimento e o diâmetro para verificarem que a divisão desses valores será constante.

O professor deve determinar o tempo que os estudantes poderão demorar na investigação sobre alguma relação entre o diâmetro e o comprimento da circunferência.

Introdução

Depois da fase de investigação o professor pode fazer uma discussão geral com a turma para analisar hipóteses levantadas pelos grupos e discutir a validade de cada uma delas.

Ao final dessa discussão esperamos que a classe esteja convencida de que a razão entre o comprimento e o diâmetro é constante.

Como todos os valores obtidos foram aproximações instigue a sala com a seguinte pergunta: “Qual será esse valor exato?”

Atividades

O objetivo da atividade será analisar um método para obter o valor da constante que não seja através de medições. Sugerimos o uso de calculadora.

O método que será descrito aqui foi o mesmo usado por Arquimedes (leia mais no livro Introdução a História da Matemática, Howard Eves).

Já que a constante que queremos determinar é a razão do comprimento pelo diâmetro, os grupos devem construir uma circunferência de raio conhecido e então construir polígonos inscritos.

Medindo o perímetro desses polígonos obtermos aproximações do comprimento da circunferência. Quanto maior o número de lados do polígono, mais perto d o valor do comprimento vamos chegar.

Sugerimos polígonos inscritos ao invés de circunscritos pois é mais difícil desenhar segmentos tangentes à circunferência.

Os grupos devem fazer esse procedimento com vários polígonos, cada vez com um maior número de lados. Peça que anotem os resultados numa tabela.

O limite dessa investigação será a quantidade de dígitos da calculadora e a precisão dos desenhos dos alunos.

No ensino médio, já será possível generaliza o comprimento do polígono inscrito através do raio da circunferência.

Anote na lousa alguns resultados e discuta com a classe sobre quantas casas decimais deve ter esse valor.

Uma boa opção é leva-los na sala de informática para terem contado com um objeto educacional que apresenta situações onde pode-se perceber a infinidade de dígitos de pi na representação decimal.

1 - Pi digits bar chart

Aqui é apresentado um gráfico de barras com a quantidade de cada algarismo na representação decimal de pi. O usuário escolhe com quantas casas decimais quer a aproximação.

A quantidade de cada algarismo é praticamente constante quanto tomamos valores com muitas casas decimais.

RECURSO 1

2 - Where in Pi Is My Prime?

Este outro objeto encontra em quais casas decimais da representação de pi está o número primo escolhido pelo usuário.

RECURSO 2

Estes objetos requerem um programa para sua visualização, portanto, baixe-o neste link do Banco Internacional de Objetos Educacionais – MathematicaPlayer

http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/4737

• Revista do Professor de Matemática – SBM - http://www.ime.usp.br/~rpm/cms/

• Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas -http://www.obmep.org.br

• Revista do Professor de Matemática – SBM - http://www.ime.usp.br/~rpm/cms/

• Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas -http://www.obmep.org.br

Relatório com as aproximações para pi obtidas com os polígonos inscritos.