Expressar um problema em termos algébricos e compreender as técnicas necessárias para a resolução de uma equação do segundo grau, assim como a sua solução geral: a fórmula de Bháskara.

Duas aulas de 50 minutos cada

Equações do primeiro grau

Professor, nossa proposta de aula acontecerá em três etapas onde a primeira acontecerá em sala de aula com uma atividade investigativa e as demais na sala ambiente de informática com o uso do software “Equacion ++”.

Etapa I

Professor no endereço http://www.ipv.pt/millenium/16_ect1.htm encontramos fatos e curiosidades sobre história da matemática relacionados à resolução de equações do segundo grau. Com esse material iniciaremos nossa proposta de aula.
Divida seus alunos em grupos e instrua-os a realizarem uma pesquisa sobre equações do segundo grau na história da matemática.

Imagem do matemático Bhaskara retirada do endereço http://www.vendaon.com/vendaon/imagens/produtos/thumb_g/2008-03-13_8727108.jpg

Ainda neste momento realizaremos uma atividade investigativa sobre resolução de equações com problemas encontrados no Papiro de Rhind*. Com estes problemas criaremos um contexto histórico induzindo os alunos a perceberem a Matemática como um conhecimento construído pelo homem, e notar que as estratégias conhecidas para resolução de equações não são mais apropriadas para resolver equações de segundo grau completas.
• Mais informações sobre este papiro podem ser encontradas na endereço http://www.malhatlantica.pt/mathis/egipto/rhind/rhind.htm

Imagem encontrada no endereço http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/rhind/inicio.htm

Com o mesmo grupo formado pelos alunos realizaremos a próxima atividade. Os grupos deverão criar estratégias para resolver os problemas do Papiro de Rhind encontrados no endereço http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/rhind/inicio.htm e problemas relacionados a equações incompletas do segundo grau no endereço http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/eq2g/eq2g.htm . Professor incentive seus alunos a criarem suas próprias estratégias e promova a discussão de diversos procedimentos e métodos para resolver equações do segundo grau, entre os grupos, antes do desenvolvimento da fórmula de Bhaskara. Instrua-os a registrarem os procedimentos utilizados para resolução de cada problema.

Note que os problemas iniciais podem ser resolvidos através de métodos particulares de resolução de uma equação de segundo grau, mas o mesmo não acontece com os próximos problemas, não possuindo métodos de resolução suficiente para a resolução deste problema seus alunos serão confrontados a buscarem uma nova forma de resolução.

Etapa II

Neste momento é interessante, junto aos alunos, obter a fórmula geral de resoluções de equações do segundo grau, e caso haja necessidade, para auxiliar o aluno na compreensão desse desenvolvimento retome o conteúdo de produtos notáveis. No endereço http://br.geocities.com/pensematematica/obtencaodaformuladebhaskara.pdf encontramos uma demonstração para a validade da utilização da formula de Bháskara.

Etapa III

Chegamos à última etapa da nossa proposta de aula. Ainda em grupo, leve seus alunos para a Sala Ambiente de Informática, e entregue uma folha da situação problema retirada do livro “As Maravilhas Da Matemática” do autor Malba Tahan para cada grupo. Utilizaremos como complemento para a resolução desta atividade o software “Equacion ++” encontrado no endereço http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/4785 , os grupos deverão criar um registro das resoluções criadas.

 

O Ponto de Ouro, Sua Beleza e Seu Mistério

Vamos abordar hoje um dos mais famosos problemas da Geometria, ou melhor, da Arte: O Problema do Número de Ouro. Iniciemos, pois, o nosso estudo. Tomemos um segmento AB, isto é, uma porção limitada AB de uma reta:

 

Com um ponto S, marcado sobre AB, podemos dividir esse segmento AB em duas partes. Essas partes são AS e SB. O ponto S — diz o matemático — marcado sobre AB pode ocupar uma infinidade de posições. Há, portanto, uma infinidade de maneiras de se dividir o tal segmento AB em duas partes.
Se o ponto S coincidir com o ponto extremo A, o segmento AS será nulo. O seu comprimento será zero. A outra parte SB (nesse caso particular) será o próprio segmento AB. Para o matemático o ponto S, mesmo coincidindo com o extremo A, dividiria o segmento em duas partes, uma das quais seria nula.
Assim sendo é claro, é claríssimo, haverá uma parte maior e outra parte menor.

• O segmento todo AB
• A parte maior AS
• A parte menor SB

Que irão fazer essas três personagens em busca de um ponto, sim, em busca do chamado ponto de ouro?

O matemático, sempre inquieto e curioso, preocupado com fórmulas e cálculos, pensa logo em achar a razão entre o todo e a parte maior, e também a razão entre a parte maior e a parte menor.
Razão, para o matemático, é quociente, é divisão. Para achar tais razões, que tanto interessam ao matemático, é preciso medir as duas partes. Medi-las com o necessário cuidado. Digamos que o todo mede 80cm e que as duas partes medem, respectivamente, 60 e 20 centímetros. A razão do todo (80) para a parte maior (60) será dada pelo quociente da divisão de 80 por 60. Esse quociente é 1,33 (aprox.).
A razão da parte maior (60) para a parte menor (20) será dada pelo quociente da divisão de 60 por 20. Esse quociente é 3. Em outras palavras: As razões calculadas são: 1,33 e 3. A segunda razão é bem maior do que a primeira.
À razão por quociente os matemáticos dão o nome bastante expressivo: razão geométrica. Essas duas razões são, pelo matemático, denominadas razões segmentarias principais.
Será interessante, dentro do roteiro que vamos seguindo, fazer mais um exemplo.
Tomemos um segmento de 79cm. Vamos supor que esse segmento é dividido em duas partes desiguais.
Sendo:
Parte maior: 49cm;
Parte menor: 30cm.
As razões segmentarias principais são:

• 79 : 49 = 1,6
  
• 49 : 30 = 1,6

Observem com atenção os resultados.
As duas razões principais são iguais. Com efeito. A primeira é 1,6; a segunda é, também, 1,6. Diríamos que houve, nesse caso, notável coincidência: As duas razões segmentarias principais são iguais.
Quando as duas razões segmentarias são iguais, o matemático sorri orgulhoso, passa a mão pela testa e diz com certa ênfase:
-Essa divisão do segmento AB foi feita em média e extrema razão.
Convém repetir:
— Divisão em média e extrema razão.

Sim, não resta dúvida, esse nome bastante expressivo é consagrado por todos os matemáticos. Ê tão bem imaginado que vai nos permitir formular a seguinte definição:
— Dividir um segmento AB em média e extrema razão é dividi-lo cm duas partes tais, AS e SB, que o todo (AB), dividido pela parte maior (AS), seja igual à parte maior dividida pela parte menor.

Repare que a parte maior é uma média entre o todo e a parte menor; a razão é extrema porque não existe, no caso, outra solução da qual resulte a igualdade entre as razões segmentarias. É, para o ponto S, uma posição extrema. E daí resulta a denominação: média e extrema razão. Esse ponto que divide o segmento AB em média e extrema razão é chamado ponto de ouro do segmento AB.
E agora, terminada essa conversa sobre a divisão em média e extrema razão, vamos contar uma história bastante curiosa.

Há muitos séculos passados, um frade italiano que era gcômetra, chamado Lucas Pacioli (1445-1514), descobriu uma coisa que lhe pareceu bastante singular:
Entre todas as maneiras de se dividir um segmento cm duas partes desiguais, há uma — e uma só — que parece mais harmoniosa, mais agradável, mais de acordo com a estética, diríamos até mais poética, mais suave do que as outras.
Para o tal ponto S no segmento AB, há uma posição privilegiada, que se destaca no meio de uma infinidade de posições. Frei Lucas Pacioli ficou impressionado com o caso. E não era para menos.

Apontemos um exemplo entre os muitos que ocorreram ao frade italiano Lucas Pacioli. O título posto na lombada de um livro, de modo geral, divide o comprimento total da lombada de forma perfeita e harmoniosa. Não deve ficar nem muito acima, em muito abaixo. Fica sempre numa certa altura, que pareceu mais agradável, mais harmoniosa, para o operário especializado que preparou a capa. Colocou ali, precisamente ali, porque lhe pareceu mais agradável. Há, portanto, em relação aos espíritos bem formados, uma decisiva preferência por esta posição do ponto S no segmento.
Existe, não há dúvida, uma certa divisão que é mais harmoniosa, mais agradável. Como achar essa posição do ponto S nessa divisão? Lucas Pacioli, o frade geômetra, ao qual nos referimos, estudou o problema c descobriu uma coisa verdadeiramente espantosa:
— A divisão mais agradável ao espírito, aquela que tem a preferência dos artistas, dos arquitetos, dos pintores, dos escultores e dos gravadores é precisamente a divisão em média e extrema razão.
Assinalemos mais alguns exemplos da divisão áurea notadamente no corpo humano:
— A linha da boca, nas pessoas bem conformadas, divide a distância da base do nariz extremidade do queixo em média e extrema razão.
— A linha dos olhos divide o comprimento do rosto em média e extrema razão.
Verifica-se a divisão áurea nas partes cm que os dedos são divididos pelas falanges;
— A cicatriz umbilical divide a altura do indivíduo com média e extrema razão.
Um arquiteto romano , Marco Vitrúvio Polión, que viveu no século I, a.C, aludiu, em sua obra, a certas relações ligadas à divisão áurea. Mas Vitrúvio só teve a rápida e longínqua percepção do problema. Coube, portanto, ao franciscano Lucas Pacioli, natural de Burgo, na Toscana, a glória de revelar ao mundo a divisão áurea por êle denominada sectio divina (seção feita por Deus!).
A obra de Lucas Pacioli foi publicada cm Veneza em 1509. Nove anos depois do descobrimento do Brasil.

Houve homens verdadeiramente geniais que tiveram a atenção voltada para o ponto e ouro. Leonardo da Vinci, com a poliformia de seu incalculável talento, sentiu-se seduzido pelo mistério da divisão áurea, O célebre astrónomo alemão Johanncs Kepier (1571-1630), que formulou as leis de gravitação universal, era verdadeiro fetichista da divina proporção. "A Geometria — dizia ele — tem dois tesouros. Um
é o Teorema de Tales, e o outro é a divisão áurea”.

Outra observação bastante curiosa.
Para que um retângulo seja harmonioso é necessário que a altura seja o segmento áureo da base. O retângulo que apresenta essa relação notável entre as suas dimensões é denominado retângulo áureo ou retângulo módulo . Encontramos o retàngulo áureo — conforme observou o matemático J. Timerding — no formato da maior parte dos livros, jornais, revistas, cartões postais, selos etc. Assinalamos, ainda, o retàngulo áureo nas fachadas de muitos edifícios que se distinguem pela elegância de suas linhas arquitetônicas.

Mas como pode-se construir graficamente, com régua e compasso, o segmento áureo de um segmento dado AB?

Vamos supor que é dado um segmento AB ou l. Chamemos x ao segmento áureo de AB. O complemento áureo será l - x. E temos para êsse problema:
Segmento todo: l
Parte maior: x
Parte menor: l – x

 

Obtemos, desse modo, uma equação algébrica com uma incógnita. Essa incógnita será o segmento áureo de l. Vamos calcular o valor de x.

A equação (A) tem a forma de uma proporção geométrica. Sendo o produto dos dois meios igual ao produto dos dois extremos, tiramos da proporção (A) a equação:
l(l — x ) = x2
Ou seja, x2 – lx – l2 = 0

Como resolver o presente problema?

 

 

Apresenta-se a divisão áurea em várias figuras geométricas. Assim, o lado do decágono regular convexo é o segmento áureo interno do raio. Há, como sabemos, dois decágonos regulares: um convexo e outro estrelado. O lado do decágono regular estrelado é o segmento áureo externo do raio. A construção do decágono regular (convexo ou estrelado) decorre da divisão do raio em média e extrema razão. O pentágono regular tem, também, a sua construção relacionada com o ponto de ouro. O mesmo acontece com o dodecaedro regular.
A simetria pentagonal é encontrada em muitas flores e o pentágono está diretamente relacionado com o número o numero de ouro e, portanto, assinalado em todas as flores pentagonais.

 

O número de ouro aparece ainda:
1 — Em uma infinidade de animais;
2 — No corpo humano;
3 — Nas flores;
4 — Na formação das árvores (Fibonacci);
5 — Na disposição das folhas em certas plantas;
6 — Nos frutos;
7 — Na espiral logarítmica;
8 -Na construção do decágono regular;
9 -Na construção do pentágono regular;
10 -Em vários poliedros regulares;
11 -Na pirâmide de Quéops (triângulo ideal);
12 -Em muitas obras de arte;
13 -Nas danças clássicas;
14 -Nas grandes catedrais da Idade Média;
15 -Na Arquitetura;
16 -Na Pintura e na Escultura;
17 -Na Poesia.

 

O tema da atividade é o Ponto de Ouro e a proporção áurea, existem muitos materiais interessantes encontrados na Internet sobre o assunto devido ao fascínio que este exerce à inteligência humana. Como complemento a esta atividade podemos exibir o filme “Pato Donald no país da Matemágica” encontrado no endereço:

http://www.youtube.com/watch?v=fUcWN1BJDP8 .

Professor lembre-se que é muito importante em atividades como esta consentir e encorajar seu aluno a criar suas próprias conjecturas e possa discuti-la com os demais grupos, promovendo assim a construção do conhecimento.
 

No endereço http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/polinom/raizes2g.htm podemos encontrar uma calculadora on-line de raízes de equações do segundo grau, e no endereço https://s3.amazonaws.com/ppt-download/equaes-algbricas-grupo-leibniz2797.ppt encontramos uma apresentação de slides com diversas curiosidades sobre problemas na história da Matemática que podem ser muito úteis em contextos de resolução de problemas e/ou ampliação de conceitos que são utilizados nestes contextos.

Professor, nos endereços http://www.profcardy.com/exercicios/assunto.php?assunto=Equa%E7%E3o+do+2%BA+grau&frente=1 , http://www.cienciamao.if.usp.br/dados/t2k/_matematica_mat74a.arquivo.pdf encontramos diversos problemas matemáticos ligados a diferentes contextos sobre equações do segundo grau, cuja resolução pode ser utilizada, assim como os registros criados pelos alunos durante a aula, como instrumento de avaliação de diferentes aprendizagens do aluno. Por exemplo, pode-se averiguar se os alunos conseguem transcrever o problema, escrito em Português, para a linguagem matemática, compreendendo a equação enquanto uma indagação, possuindo assim a capacidade de expressar tal pergunta em termos algébricos. Logo, torna-se possível ao professor verificar se seus alunos compreendem as técnicas necessárias para a resolução de uma equação do segundo grau, assim como a sua solução geral: a fórmula de Bháskara.