Calcular as raízes de um polinômio

Operações algébricas

1 – No laboratório de informática (4 aulas)

Atividade 1

          Professor, leve seus alunos ao laboratório de informática e acomode-os em duplas. Apresente uma situação problema para que seus alunos possam refletir sobre o assunto “raízes de um polinômio”, por exemplo:

“Admita que o lucro de venda na fabricação de certo modelo de roupa seja dado pela função polinomial do 3º grau L(x) = 8x³ - 8x + 1, na qual L(x) indica o lucro  total diário, em reais, para a fabricação de x unidades de roupas. Qual é a produção para que o lucro seja nulo, ou seja, igual a zero?”.

          Professor, questione:

• Como poderemos resolver este problema?
• Traçando o gráfico da função ajudaria a resolver o problema?

          Peça aos alunos que pesquisem sobre o assunto “raízes de um polinômio”. Nesta pesquisa, eles deverão destacar a parte teórica e os vídeos sobre:

• Raízes de um polinômio
• Teorema D'Alembert
• Dispositivo de Briot-Ruffini

          Peça a eles que registrem todas as informações em um editor de texto. Professor, a pesquisa que os alunos deverão fazer é livre, sugerimos que eles consultem, pelo menos, dois dos sítios relacionados:

• http://modulos.math.ist.utl.pt/html/R_polinomios1.shtml 
• http://www.algosobre.com.br/matematica/polinomios-e-equacoes-algebricas.html 
• http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/polinom/polinom.htm#pol09 
• http://www.profcardy.com/cardicas/polinomio3.php 

           Na seção “Recursos complementares” existem outros sítios que podem ajudar no esclarecimento do assunto.

Atividade 2

          Professor, elabore uma lista de exercícios para que eles possam praticar um pouco, para isto, existem alguns modelos nos sítios abaixo relacionados:

• http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/faq_matematica/polinomios01.php 
• http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/faq_matematica/polinomios-01.php 
• http://www.rumoaoita.com/materiais/materiais_caio/listapolinomios1.pdf 

Atividade 3

          Utilizaremos o GeoGebra, para consolidar os conhecimentos teóricos vistos.

          Mais detalhes sobre o GeoGebra veja em “Recurso Complementares”. Peça a eles que sigam os seguintes passos:

Passo 1: Inicie o aplicativo GeoGebra, aparecerá a seguinte tela:

Professor, comente com seus alunos que na barra de botões,  

temos diversas ferramentas que podem ser utilizadas. Em todos os botões aparece uma seta no canto inferior direito, que, ao ser clicada, permite visualizar as opções existentes.

Passo 2: Definir um polinômio. Na parte de baixo do aplicativo, existe uma caixa de texto destinada a entrada de dados e de fórmulas.Digite: A(x) = x^6 – x^5 - 2x^4 + x^2 - x – 2 que corresponde a A(x) = x⁶ - x⁵ - 2x⁴ + x² - x – 2. Observe que no lado esquerdo da tela existe a área “Janela de Álgebra”, nela aparece o polinômio digitado. No lado direito da tela existe a área gráfica, onde será traçado o gráfico do polinômio.

Passo 3: Verificar se um determinado número é raiz do polinômio. Por exemplo, para verificar se o número -1 é raiz do polinômio A(x), digite, na caixa de texto: a=A(-1). Na “Janela de Álgebra” aparecerá “a=0”, significa que o valor numérico do polinômio é 0 quando x = -1.

          Professor, peça aos alunos que testem outros números utilizando outras letras como variáveis, por exemplo: “b=A(0)”; “c=A(1), etc. Com este procedimento, os valores numéricos ficaram registrados na “Janela de Álgebra”.

Passo 4: Determinar as raízes de um polinômio. Digite na caixa de texto: “raiz[A]”. Com este comando, serão exibidos os pontos de intersecção do gráfico do polinômio com o eixo das abscissas. Estes pontos aparecerão na “Janela de Álgebra” e na área gráfica.

          Professor, peça aos seus alunos que resolvam alguns exercícios da lista efetuada em sala de aula.

Atividade 4

          Uma das aplicações de polinômios é a modelagem matemática. Peça aos alunos que pesquisem situações do dia-a-dia e façam a modelagem utilizando polinômios, por exemplo: “Crescimento/Decrescimento do número de caso da dengue no bairro de residência” ou o “Aumento da venda de veículo com a redução do IPI” qualquer situação que eles acharem relevante. Com a ajuda do responsável do laboratório de informática, tente elaborar um algoritmo utilizando linguagem de computadores ou planilha de cálculo para modelar a situação e observar as raízes dos polinômios criados. 

1) Parte teórica:

• http://www.uff.br/webmat//Calc1_LivroOnLine/Apoios/apoio03b_prof-Regina.html  
• http://www.uff.br/webmat//Calc1_LivroOnLine/index.html 
• http://www.est.ipcb.pt/tecnologias/tec_AN/Teorica/3-Raizes%20de%20Polinomios.pdf 
• http://www.raymundodeoliveira.eng.br/cap3.html 
• http://www.raymundodeoliveira.eng.br/Birge%20Vieta.htm 
• http://www.labspot.ufsc.br/~campagno/numerico/Aula_7.pdf 

2) Exercícios:        

• http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/matematica_questoes_resolvidas.php      

3) Vídeo:

• http://www.youtube.com/watch?v=6JWrNiBncl8 
• http://www.youtube.com/watch?v=z9zGyyMrjhQ 

4) Tutoriais:

a) “O be-a-bá do Twitter”:

• http://www.educarede.org.br/educa/index.cfm?pg=comunidade_virtual.publicacao&&id_comunidade=0&ID_PUBLICA=6656 
• http://g1.globo.com/Noticias/Tecnologia/0,,MUL402571-6174,00-SAIBA+COMO+APROVEITAR+AO+MAXIMO+OS+RECURSOS+DO+TWITTER.html 

b) WebQuestion, http://webquest.sp.senac.br/textos/oque: 

• Vídeo-aula 1: http://www.escolabr.com/virtual/videoaula/webquestions/webquestions.htm 
• Vídeo-aula 2: http://www.escolabr.com/virtual/videoaula/webquestions/webquestions2.htm 
• Vídeo-aula 3: http://www.escolabr.com/virtual/videoaula/webquestions/webquestions3.htm 
• Vídeo-aula 4: http://www.escolabr.com/virtual/videoaula/webquestions/webquestions4.htm 
• Parte 1, http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/webquest--como-construir---parte-1-04023362CCA94366?types=A& 
• Parte 2, http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/webquest--como-construir---parte-2-04023672CCA94366?types=A& 

c) Tutoriais, http://portaldoprofessor.mec.gov.br/linksCursosMateriais.html?categoria=88 

d) Moodle:

• http://www.youtube.com/watch?v=eSpYULeSVUA&feature=player_embedded 
• http://www.youtube.com/watch?v=gBgJi_1LqFA&feature=related 
• http://www.youtube.com/watch?v=VEXMYmtfabU&feature=player_embedded# 

e) Inclusão digital nas escolas públicas, http://www.escolabr.com/novo/ 

f) GeoGebra

          Como documentação do software, temos:

•  O manual disponível em http://www.geogebra.org/help/docupt_BR.pdf e outro   http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf, este em português de Portugal, mas um pouco mais completo;   
• Uma apostila sobre a utilização esta disponível em http://www.tinaeducacao.com.br/wp-content/uploads/2008/11/apostilageogebra_2007.pdf, nesta apostila temos várias atividades utilizando o software, e   
• Um guia rápido de comandos, disponível em http://cattai.mat.br/site/files/geogebra/guia_rapido_geogebra.pdf.  

A avaliação (1 aula) poderá ser da seguinte forma:

• Atividades em sala.
• Listas de exercícios envolvendo aplicações do assunto no cotidiano.
• Durante as aulas observando o interesse e a participação do aluno.
• Estimular os alunos a criarem e participarem de Blogs sobre o assunto. Caso queira utilizar algum Blog já existente, sugerimos o seguinte http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20060828143207AAh16Vu. 
• Fóruns, http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070424061432AAXjjw3 
• Webquest, http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_horizontal_w.php?id_actividad=15199&id_pagina=1 
• Competição entre grupos, de no máximo quatro alunos, onde cada grupo apresenta um problema outro grupo caso consiga resolvê-lo, continua na competição, caso erre, será eliminado.
• Seminários sobre as atividades indicadas na aula.
• Professor, experimente criar um ambiente virtual onde você e os professores poderão criar blogs, webquest, fóruns, livros e exercícios virtuais. “Inclusão digital nas escolas públicas”, http://www.escolabr.com/novo/.