Construir formas de raciocínio lógico

Duas aulas de 50 minutos

Professor, nossa proposta de aula está dividida em três etapas, onde a primeira acontecerá em sala de aula, e a segunda e terceira na Sala Ambiente de Informática.

Etapa I

Iniciaremos nossa proposta de aula com um capítulo do livro “O Homem que calculava” do autor Malba Tahan, sobre um problema de lógica com o qual desafiaram o personagem Beremiz.
Divida seus alunos em grupo e distribua uma folha de atividade a cada grupo.

 

 Grupo:

O Homem que Calculava, capítulo XXXIII

Terminada a exposição feita por Beremiz sobre os problemas propostos pelo sábio libanês, sultão, depois de conferenciar em voz baixa com dois de seus conselheiros, assim falou:
- Pela resposta dada, ó calculista, a todas as perguntas, fizeste jus ao prêmio que te prometi. Deixo, portanto, à tua escolha: queres receber 20000 dinares de ouro ou preferes possuir um palácio em Bagdá? Desejas o governo de uma província ou ambicionas o cargo de vizir na minha corte?
- Rei generoso! - respondeu Beremiz, profundamente emocionado. - Não ambiciono riquezas, títulos, homenagens e regalos porque sei que os bens materiais nada valem; a fama que pode advir dos cargos de prestígio não me seduz, pois o meu espírito não sonha com a glória efêmera do mundo. Se é vosso desejo tornar-me, como disseste, invejado por todos os muçulmanos, o meu pedido é o seguinte. Desejo casar-me com a jovem Telassim, filha do cheique Iezid Abul-Hamid.
O inesperado pedido formulado pelo calculista causou indizível assombro. [...].
Chamou para seu lado o cheique Iezid, e ambos (o califa e o pai de Telassim) conversaram sigilosamente durante alguns instantes. Que poderia resultar daquele grave conluio?
Estaria o cheique de acordo com o inesperado noivado de sua filha?Decorridos alguns instantes, o califa assim falou, em meio de profundo silêncio:
- Não farei, ó calculista, oposição alguma ao teu romântico e auspicioso casamento com a formosa Telassim. O meu prezado amigo, cheique Iezid, que acabei de consultar, aceita-te como genro. Reconhece, em ti, um homem de caráter, bem-educado, e profundamente religioso! É bem verdade que a jovem Telassim estava prometida a um cheique damasceno que se acha, agora, combatendo na Espanha. Mas uma vez que ela própria deseja mudar o rumo de sua vida, não tentarei intervir em seu destino. Maktub! Estava escrito! A flecha solta no ar, exclama cheia de alegria: “Por Allah! Sou livre! Sou livre!” Engana-se! Já tem o seu destino marcado pela pontaria do atirador. Assim é a jovem Flor do Islã! Abandona um cheique opulento e nobre, que poderia ser, amanhã, um grão-vizir, um governador, e aceita como esposo um simples e modesto calculista persa! Maktub! Seja tudo o que Allah quiser!
Neste ponto, o poderoso Emir dos Árabes fez uma ligeira pausa e logo prosseguiu, enérgico:
- Imponho, entretanto, uma condição. Terás, ó exímio matemático, de resolver, diante de todos os nobres que aqui se acham, curioso problema inventado por um dervixe do Cairo. Se resolveres esse problema, casarás com Telassim; caso contrário, terás de desistir para sempre dessa fantasia louca de beduíno que bebeu haxixe. E de mim nada mais receberás! Serve-te a proposta?
- Emir dos Crentes! - retorquiu Beremiz com tranqüilidade e firmeza. - Desejo, apenas, conhecer os termos do aludido problema, a fim de poder solucioná-lo com os prodigiosos recursos do cálculo e da análise!
Respondeu o poderoso califa:
Tenho cinco lindas escravas; comprei-as há poucos meses, de um príncipe mongol. Dessas cinco encantadoras meninas, duas têm os olhos negros, as três restantes têm os olhos azuis. As duas escravas de olhos negros, quando interrogadas, dizem sempre a verdade; as escravas de olhos azuis, ao contrário, são mentirosas, isto é, nunca dizem a verdade. Dentro de alguns minutos, essas cinco jovens serão conduzidas a este salão: todas elas terão o rosto inteiramente oculto por espesso véu. O haic que as envolve torna impossível entrever, em qualquer delas, o menor traço fisionômico. Terás que descobrir e indicar, sem a menor possibilidade de erro, quais as moças de olhos negros e quais as de olhos azuis.
Poderás interrogar três das cinco escravas, não sendo permitido, em caso algum, fazer mais de uma pergunta à mesma jovem. Com auxílio das três respostas obtidas, o problema deverá ser solucionado, sendo a solução justificada com todo o rigor matemático. E as perguntas, ó calculista, devem ser de tal natureza que só as próprias escravas sejam capazes de responder com perfeito conhecimento.
Momentos depois, sob os olhares curiosos dos circunstantes, apareciam no grande divã das audiências as cinco escravas de Al-Motacém. Apresentavam-se cobertas com longos véus negros da cabeça aos pés; pareciam verdadeiros fantasmas do deserto.
- Eis aí - confirmou o emir com certo orgulho.
- Eis aí as cinco jovens do meu harém. Duas têm (como já disse) os olhos pretos - e só dizem a verdade. As outras três têm os olhos azuis e mentem sempre!
- Vejam só a minha desgraça - sussurrou o velhinho de cara chapada. -Vejam a minha triste sorte! A filha de meu tio tem os olhos pretos, pretíssimos, e mente o dia inteiro!
Aquela observação pareceu-me inoportuna. O momento era grave, muito grave, e não admitia gracejos. Felizmente, ninguém deu a menor atenção às palavras amalucadas do velhinho impertinente e falador.
Sentiu Beremiz que chegara o momento decisivo de sua carreira, o ponto culminante de sua vida. O problema formulado pelo califa de Bagdá, sobre ser original e difícil, poderia envolver embaraços e dúvidas imprevisíveis.
Ao calculista seria facultada a liberdade de argüir três das cinco raparigas.
Como, porém, iria descobrir, pelas respostas, a cor dos olhos de todas elas? Qual das três deveria ele interrogar? Como determinar as duas que ficariam alheias ao interrogatório?
Havia uma indicação preciosa: as de olhos negros diziam sempre a verdade; as outras três (de olhos azuis) mentiam invariavelmente!
E isso bastaria?
Vamos supor que o calculista interrogasse uma delas. A pergunta devia ser de tal natureza que só a escrava interrogada soubesse responder. Obtida a resposta, continuaria a dúvida. A interrogada teria dito a verdade? Teria mentido? Como apurar o resultado, se a resposta certa não era por ele conhecida? O caso era, realmente, muito sério.
As cinco embuçadas colocaram-se em fila ao centro do suntuoso salão.
Fez-se grande silêncio. Nobres muçulmanos, cheiques e vizires acompanhavam com vivo interesse o desfecho daquele novo e singular capricho do rei.
O calculista aproximou-se da primeira escrava (que se achava no extremo da fila, à direita) e perguntou-lhe com voz firme e pausada:
- De que cor são os teus olhos?
Por Allah! A interpelada respondeu em dialeto chinês, totalmente desconhecido pelos muçulmanos presentes! Beremiz protestou. Não compreendera uma única palavra da resposta dada.
Ordenou o califa que as respostas fossem dadas em árabe puro, e em linguagem simples e precisa.
Aquele inesperado fracasso veio agravar a situação do calculista.
Restavam-lhe, apenas, duas perguntas, pois a primeira já era considerada inteiramente perdida para ele.
Beremiz, que o insucesso não havia conseguido desalentar, voltou-se para a segunda escrava e interrogou-a:
- Qual foi a resposta que a sua companheira acabou de proferir? - Disse a segunda escrava:
- As palavras dela foram: “Os meus olhos são azuis”. Essa resposta nada esclarecia. A segunda escrava teria dito a verdade ou estaria mentindo? E a primeira? Quem poderia confiar em suas palavras?
A terceira escrava (que se achava no centro da fila) foi interpelada a seguir, pelo calculista, da seguinte forma:
- De que cor são os olhos dessas duas jovens que acabo de interrogar?
A essa pergunta - que era, aliás, a última a ser formulada - a escrava respondeu:
- A primeira tem os olhos negros e a segunda, olhos azuis!
Seria verdade? Teria ela mentido? O certo é que Beremiz, depois de meditar alguns minutos, aproximou-se, tranqüilo, do trono e declarou: - Comendador dos Crentes, Sombra de Allah na Terra! O problema proposto está inteiramente resolvido e a sua solução pode ser anunciada com absoluto rigor matemático. A primeira escrava (à direita) tem olhos negros; a segunda tem os olhos azuis; a terceira tem os olhos negros e as duas últimas têm olhos azuis!
Erguidos os véus e retirados os pesados haics, as jovens apareceram sorridentes, os rostos descobertos. Ouviu-se um ialá de espanto no grande salão.

O inteligente Beremiz havia dito, com precisão admirável, a cor dos olhos de todas elas!
- Pelos méritos do Profeta! - exclamou o rei. - Já tenho proposto esse mesmo problema a centenas de sábios, ulemás, poetas e escribas - e afinal esse modesto calculista é o primeiro que consegue resolvê-lo! Como foi, ó jovem, que chegaste a essa solução? De que modo poderás demonstrar que não havia, na resposta final, a menor possibilidade de erro?
Interrogado desse modo, pelo generoso monarca, o homem que Calculava assim falou:
- Ao formular a primeira pergunta: “Qual a cor dos teus olhos?” eu sabia que a resposta da escrava seria fatalmente a seguinte: “Os meus olhos são negros!” Com efeito, se ela tivesse os olhos negros diria a verdade, isto é, afirmaria: “Os meus olhos são negros!” Tivesse ela os olhos azuis, mentiria, e, assim, ao responder, diria também: “Os meus olhos são negros!” Logo, eu afirmo que a resposta da primeira escrava era uma única, forçada e bem determinada:
“Os meus olhos são negros!” Feita, portanto, a pergunta, esperei pela resposta, que, previamente, conhecia. A escrava, respondendo em dialeto desconhecido, auxiliou-me de modo prodigioso. Realmente, alegando não ter entendido o arrevesado idioma chinês, interroguei a segunda escrava: “Qual foi a resposta que a sua companheira acabou de proferir?” Disse-me a segunda: “As palavras foram: ‘Os meus olhos são azuis!’ “ Tal resposta vinha demonstrar que a segunda mentia, pois essa não podia ter sido, de forma alguma (como já provei), a resposta da primeira jovem. Ora, se a segunda mentia, era evidente que tinha os olhos azuis. Reparai, ó rei, nessa particularidade notável para a solução do enigma! Das cinco escravas, nesse momento, havia uma cuja incógnita estava, pois, por mim resolvida com todo o rigor matemático. Era a segunda. Havia faltado com a verdade; logo, tinha os olhos azuis. Restavam ainda a descobrir quatro incógnitas do problema.
Aproveitando a terceira e última pergunta, interpelei a escrava que se achava no centro da fila: “De que cor são os olhos das duas jovens que acabei de interrogar?” Eis a resposta que obtive: “A primeira tem os olhos negros e a segunda tem os olhos azuis!” Ora, em relação à segunda eu não tinha dúvida (conforme já expliquei). Que conclusão pude tirar, então, da terceira resposta? Muito simples. A terceira escrava não mentira, pois confirmara que a segunda tinha os olhos azuis. Se a terceira não mentira, os seus olhos eram negros e as suas palavras eram a expressão da verdade, isto é, a primeira escrava tinha, também, os olhos negros. Foi fácil concluir que as duas últimas, por exclusão (à semelhança da segunda), tinham os olhos azuis!! Posso asseverar, ó Rei do Tempo, que nesse problema, embora não apareçam fórmulas, equações ou símbolos algébricos, a solução, para ser certa e perfeita, deve ser obtida por meio de um raciocínio puramente matemático.
Estava resolvido o problema do califa. Outro, muito mais difícil, Beremiz seria, em breve, forçado a resolver: Telassim, o sonho de uma noite em Bagdá!
Louvado seja Allah, que criou a mulher, o amor e a matemática!

Como você explicaria para alguém a resolução que Beremiz propôs ao problema das cinco escravas?

Um problema similar a este, mas mais simples, é o enigma dos guardiões onde existem duas portas e cada uma é protegida por um guardião. Um deles só diz a verdade, e o outro só diz mentira. Com apenas uma pergunta a um dos guardiões devemos descobrir como proceder para passar pela porta que leva ao céu. O enigma dos guardiões pode ser encontrado no endereço http://www.portaldascuriosidades.com/forum/index.php?action=printpage;topic=64266.0 .

Etapa II

No endereço  http://pt.akinator.com/#  encontramos uma atividade interessante de lógica por exclusão, o personagem do site é um gênio que “adivinha” qualquer personagem que pensarmos através das respostas que damos as perguntas que ele formula. O personagem pode ser um ser humano, conhecido ou não, real ou fictício, um personagem de desenho animado, um lugar ou mesmo um objeto. O gênio provavelmente adivinhará.
Indique a seus alunos que abram este link e imaginem um personagem qualquer, e responda o mais fielmente possível as perguntas feitas pelo gênio.
Questione seus alunos sobre o motivo do gênio descobrir o personagem pensado quase sempre. Como funciona?

 

 

 

 

Etapa III

Disponível no Windows encontramos o jogo “Campo Minado”, o qual utilizaremos nesta terceira etapa da nossa aula. E mais informações sobre este jogo podem ser encontradas no endereço http://pt.wikipedia.org/wiki/Campo_minado , inclusive uma versão em três dimensões e várias dicas de estratégias.
O objetivo do Campo minado é localizar todas as minas o mais depressa possível, sem revelar nenhuma delas. Se você revelar uma mina, perderá o jogo.

 

Para revelar um quadrado basta clicar sobre ele, os números que aparecem nos quadrados indicam quantas minas existem nos oito quadrados adjacentes que o cercam. Quando acreditar que um quadrado contém uma mina clique sobre ele com o botão direito do mouse, e este quadrado ficará marcado com uma bandeira.
Pode-se escolher o nível de dificuldade na opção “Jogo” alterando o número de casas do tabuleiro e a quantidade de “Minas”, sendo indicado o nível “principiante” para as primeiras partidas dos alunos, mas posteriormente os alunos podem optar pelos níveis “intermediário” e “especialista”.

Se você apenas suspeitar de uma mina em um quadrado, clique duas vezes nele com o botão direito do mouse para marcá-lo com um ponto de interrogação (?). Posteriormente, você poderá marcar o quadrado como uma mina ou remover as marcas clicando nele novamente com o botão direito do mouse, uma ou duas vezes. Se você marcou todas as minas ao redor de um quadrado numerado, poderá revelar os quadrados restantes ao redor dele, clicando no quadrado numerado com os botões direito e esquerdo do mouse simultaneamente. Se nem todas as minas ao redor do quadrado numerado estiverem marcadas, os quadrados restantes cobertos ou não marcados aparecerão achatados (ou piscarão) quando o quadrado numerado for clicado com os dois botões simultaneamente.
No canto superior direito há um marcador do tempo decorrido na partida, e no canto superior esquerdo um marcador da quantidade de marcações de minas presentes no jogo.

É interessante jogar o “Campo Minado” individualmente no nível “principiante”, mas num nível mais avançado podemos formar grupos para a criação de estratégias mais aprimoradas. Professor promova a discussão entre os grupos sobre as estratégias utilizadas e a possível validação das conclusões obtidas.
 

No endereço http://sitededicas.uol.com.br/enigma.htm são encontrados diversos enigmas que podem ser muito úteis em contextos de resolução de problemas e/ou ampliação ou complementação dos conceitos adquiridos nesta aula.

Professor, nos endereços http://edu-a1978.sites.uol.com.br/problemas.html , http://www.anhembi.br/publique/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=6885&sid=1361 encontramos diversos problemas lógicos cuja resolução pode ser utilizada, junto com as registros criados durante a realização das atividades, como atividade avaliativa de diferentes aprendizagens do aluno. Por exemplo, pode-se averiguar se os alunos conseguem identificar, interpretar e utilizar conceitos e procedimentos matemáticos para construir formas de raciocínio que permitam aplicar estratégias para a resolução de problemas e a construção de argumentos consistentes.