Determiniar o ponto de intersecção entre duas retas

Discussão de sistemas lineares

1 – Em sala de aula (1 aula)

Atividade 1

          Olá Professor! Vamos apresentar uma forma alternativa de trabalhar com o assunto “Intersecção de duas retas” com seus alunos. Apresente a eles o vídeo da aula 12 do Novo TeleCurso, caso não tenha na escola o mesmo esta disponível  no sítio http://novotelecurso.blogspot.com/2009/01/matemtica-ensino-mdio-aula-12-1-de-2.html. Em seguida, apresente a eles um problema para que eles reflitam sobre a aplicação do conteúdo do assunto, por exemplo: 

Em uma feira de artesanato existem duas pessoas comercializam o mesmo tipo de bijuteria. O preço de venda do comerciante A pode ser representado pela reta r :  x – 4y + 11 = 0, onde y representa o preço de venda e x a quantidade vendida, e o preço de venda do comerciante B pode ser representado pela reta s : –2x + 3y – 2 = 0. Pergunta-se:   

1. Existe alguma quantidade de mercadoria onde o preço de venda dos dois comerciantes seja iguais? Qual é a esta quantidade? Qual é o preço de venda?
2. Quanto à posição relativa das duas retas, como podemos classificá-las?
3. Em quais quantidades é vantagem comprar com o comerciante A? E com o comerciante B?

Dê um tempo para que eles possam refletir um pouco. Inicie um rápido debate e peça a eles que registrem todas as possíveis soluções.

2 – No laboratório de informática ( 3 aulas)

Atividade 2

          Professor, leve seus alunos ao laboratório de informática e acomode-os em duplas. Peça a eles que pesquisem sobre o assunto. Na pesquisa a ser realizada sobre intersecção entre duas retas, oriente-os para consultem também sobre:

• Discussão de sistemas lineares
• Equação geral da reta
• Posição relativa entre duas retas

A pesquisa é livre, mas sugerimos que os alunos consultem pelo menos dois sítios abaixo relacionados:

• http://www.scribd.com/doc/7047929/Intersecao-de-Retas-e-Solucao-de-Sistemas2mat12b 
• http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/interseccao-retas-concorrentes.htm 
• http://www.ece.ufrgs.br/~rsguerra/survey/node25.html 
• http://www.brasilescola.com/matematica/condicao-concorrencia-duas-retas.htm 
• http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/pontos-interseccao-entre-funcoes.htm 

          Para que eles possam praticar um pouco, elabore uma lista de exercícios. Existem alguns modelos disponíveis em:

• http://hpdemat.vilabol.uol.com.br/Reta.htm 
• http://www.paim.pro.br/downloads/Problema%2011.pdf 
• http://www.colegioweb.com.br/quiz/16818?height=350&width=400 
• http://velho.uniuv.edu.br/nova/pdf/Ambiental/CDI_I/CDI1-A.pdf 
• http://www.google.com.br/url?sa=t&source=web&ct=res&cd=18&ved=0CCIQFjAHOAo&url=http%3A%2F%2Fnovosolhos.com.br%2Fsite%2Farq_material%2F15190_16347.doc&rct=j&q=exerc%C3%ADcios+sobre+Intersec%C3%A7%C3%A3o+de+duas+retas&ei=KOPSS_6NKY-MuAexiaWADg&usg=AFQjCNFhIquXqJOUiB3pw6v1d38jni4FhQ 

Atividade 3

          Professor, para que os alunos possam fazer a análise gráfica das retas, utilizaremos o GeoGebra.

          Mais detalhes sobre o software estão rem “Recursos complementares”. Professor, mostre aos alunos como proceder para construção de gráficos das equações de reta. Peça a eles que sigam os seguintes passos.

Passo 1: Inicie o aplicativo GeoGebra, aparecerá a seguinte tela:

Professor, comente com seus alunos que na barra de botões,  

temos diversas ferramentas que podem ser utilizadas. Em todos os botões aparece uma seta no canto inferior direito, que, ao ser clicada, permite visualizar as opções existentes.

Passo 2: Exibir malhas. No menu “Exibir”, selecione a opção “Malha”.

Passo 3: Definir uma reta. Na parte de baixo do aplicativo, existe uma caixa de texto destinada a entrada de dados e de fórmulas. Digite: r : 3x+2y-7=0 e, em seguida, pressione “Enter”, ou seja, estamos definindo uma reta “r” cuja equação é geral é 3x + 2y – 7 = 0. Nesta entrada de dados podemos digitar a equação geral ou a equação reduzida, o GeoGebra aceita as duas. Observe que no lado esquerdo da tela temos uma área chamada de “Janela algébrica”, onde foi apresentada a reta “r” na forma reduzida. No lado direito da tela, temos a “Janela gráfica”, nela foi apresentada a reta “r”.

Professor, peça aos seus alunos que definam uma reta s : x – 2y = 9 e observem o ponto de intersecção das duas retas.

Passo 4: Determinar a intersecção das duas retas. Podemos fazer isto de duas formas:

1ª forma:  No segundo botão da “Barra de botões”, clique na seta no canto inferior do lado direito e, em seguida, selecione a opção “Intersecção de dois objetos”. Clique na reta “r” e depois na reta “s”. Será criado um ponto “A” de coordenadas (4, -2.5).

2º forma: Na caixa de texto destinada a entrada de dados e de fórmulas, digite o comando P=interseção[r,s]. Será definido um ponto P que é a intersecção das retas r e s.

          Professor, comente que a determinação da intersecção do ponto P neste exemplo foi possível porque as retas “r” e “s” são concorrentes, ou seja, tem um único ponto comum. Apresente a eles mais dois exercícios.

1) Determinar o ponto de intersecção das retas r : y= (2/3)x-1 e s: 4x - 6y = -5. Professor, questione:

• Por que no ponto P apareceu indefinido?
• Como podemos classificar a posição relativa das retas “r” e “s” ?

2) Determinar o ponto de intersecção das retas r : 8x -12y = -10 e s: 4x - 6y = -5. Faça os mesmos questionamentos.

Atividade 4

          Professor, outra atividade interessante é montar rotinas utilizando linguagem de computador. Peça ao responsável pelo laboratório de informática que elabore uma aula utilizando este recurso. Um exemplo esta disponível em:

• http://www.inf.pucrs.br/~pinho/CG/Aulas/OpenGL/Interseccao/CalcIntersec.html. 
• http://www.guj.com.br/posts/list/172274.java 

1) Parte teórica:

• http://www.scribd.com/doc/12907064/geometriaanaliticaapostila 

2) Exercícios complementares:

• http://www.coladaweb.com/matematica/equacoes 
• http://www.google.com.br/url?sa=t&source=web&ct=res&cd=33&ved=0CBAQFjACOB4&url=http%3A%2F%2Fwww.tamanduadesign.com.br%2Fdg%2Faula_02%2Faula_02.doc&rct=j&q=exerc%C3%ADcios+sobre+Intersec%C3%A7%C3%A3o+de+duas+retas&ei=9uTSS46TGYKJuAer2bn6DQ&usg=AFQjCNGf-X_3GSD0UhDQMPEFF4C_INpmRw 
• http://search.forkus.com/l/exercicios-retas.htm 
• http://www.scribd.com/doc/4908447/Matematica-Apostila-Geometria-Analitica-FRSM 
• http://www.scribd.com/doc/11553220/Aprovarano05livro31009 
• http://www.portalimpacto.com.br/docs/00000PimentelF4VestAula15DistanciaEntreDuasRetasParalelaseBissetriz.pdf 

3) Tutoriais, http://portaldoprofessor.mec.gov.br/linksCursosMateriais.html?categoria=88. Neste sítio, existem diversos tutoriais que ajudaram a trabalhar com ferramentas de informática, como  WebQuestion; Wiki; Twitter; JClic, PaintNet e outros, que ajudaram no desenvolvimento de nossas aulas. Veja também: 

a) WebQuestion, http://webquest.sp.senac.br/textos/oque: 

• Parte 1, http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/webquest--como-construir---parte-1-04023362CCA94366?types=A& 
• Parte 2, http://mais.uol.com.br/view/i54gm6ahdxbb/webquest--como-construir---parte-2-04023672CCA94366?types=A& 

b) Inclusão digital nas escolas públicas, http://www.escolabr.com/novo/ 

c) Moodle

• http://www.youtube.com/watch?v=eSpYULeSVUA&feature=player_embedded 
• http://www.youtube.com/watch?v=gBgJi_1LqFA&feature=related 
• http://www.youtube.com/watch?v=VEXMYmtfabU&feature=player_embedded# 

d) Pral, http://www.pral.com.br/index.pral. Neste portal, professores de toda parte e de qualquer nível podem disponibilizar materiais educacionais para download, divulgar trabalhos a serem realizados, criar provas online por meio de ferramentas específicas oferecidas pelo site, publicar notas, utilizar aplicativos diversos, comunicar-se com os alunos por meio de recados ou mensagens de e-mail, fazer amizades com outros professores, e muito mais. Os alunos, por sua vez, encontram no PRAL uma forma rápida e prática para obter materiais escolares, consultar suas notas, interagir de uma forma dinâmica com seus professores e colegas, participar de jogos e testes online, fazer novas amizades e muito mais! O PRAL oferece ainda uma eficiente agenda, pela qual os usuários poderão organizar seus compromissos e contatos, assim como compartilhar os seus eventos/compromissos com outros usuários.

e) GeoGebra           

          Como documentação do software, temos:  

• O manual disponível em http://www.geogebra.org/help/docupt_BR.pdf e outro   http://www.geogebra.org/help/docupt_PT.pdf, este em português de Portugal, mas um pouco mais completo;       
• Uma apostila sobre a utilização esta disponível em http://www.tinaeducacao.com.br/wp-content/uploads/2008/11/apostilageogebra_2007.pdf, nesta apostila temos várias atividades utilizando o software, e     
• Um guia rápido de comandos, disponível em http://cattai.mat.br/site/files/geogebra/guia_rapido_geogebra.pdf.   

A avaliação (1 aula) poderá ser da seguinte forma:

• Atividades em sala.
• Listas de exercícios envolvendo aplicações do assunto no cotidiano.
• Durante as aulas observando o interesse e a participação do aluno.
• Estimular os alunos a criarem e participarem de Blogs, Fóruns e Webquest (http://www.webquestbrasil.org/criador/) sobre o assunto. 
• Blog: http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20081106070836AAOoBO5   
• Fórum: http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=117&t=1323 
• Competição entre grupos, de no máximo quatro alunos, onde cada grupo apresenta um problema outro grupo. Caso consiga resolvê-lo, continua na competição, caso erre, será eliminado.
• Seminários sobre as atividades indicadas na aula.
• Professor, experimente criar um ambiente virtual onde você e os professores poderão criar blogs, webquest, fóruns, livros e exercícios virtuais. “Inclusão digital nas escolas públicas”, http://www.escolabr.com/novo/.