Analisar a inexistência de variação de forma nas seções produzidas, por qualquer tipo de plano, nas esferas.

Executar a representação em épura de seções produzidas, por planos projetantes, em esferas.

Executar os procedimentos gráficos para a obtenção da verdadeira grandeza das seções analisadas.

Os alunos devem conhecer o conceito de seção plana e o princípio de geração dos sólidos de revolução. É interessante que os alunos já tenham analisado seções de outros sólidos de revolução - cone e cilindro, por exemplo - e fundamental que estejam familiarizados com a representação de sólidos por meio de suas projeções em épura ou, ainda, por meio de vistas ortográficas.

Ao iniciar a aula, o professor deverá identificar, com a participação dos alunos, características do tema proposto que estabeleçam relações com outros conteúdos já estudados - seções de cones e cilindros, por exemplo.

A solução, em épura, de problemas envolvendo as seções planas de poliedros é bastante facilitada pelo fato de os vértices do polígono resultante corresponderem, precisamente, aos pontos de interseção entre os traços do plano secante e as projeções das arestas do sólido. Os corpos de revolução, contudo, não possuem arestas, sendo necessário estabelecer algum referencial sobre sua superfície de modo a tornar possível a localização de pontos particulares, como aqueles produzidos por uma seção plana.

No cilindro e nos cones, cabe às geratrizes desses sólidos a função de auxiliar a identificação dos pontos de interseção entre a superfície dos sólidos e os planos secantes. Já na esfera, a utilização de posições da geratriz não é adequada, pois sua representação em épura é muito trabalhosa.

O objetivo da primeira atividade será, portanto, desenvolver uma alternativa a esse sistema.    

Atividade 1

Divididos em grupos, os alunos deverão elaborar processos para mapear a superfície da esfera.

A proposta para essa atividade é que os alunos sugiram meios de mapear a superfície da esfera que permitam resolver, em épura, problemas que envolvam a interseção entre esse tipo de sólido e diversos tipos de planos.

Um dos aspectos que devem ser observados nessa etapa é o de que a descrição da superfície da esfera segue os mesmos princípios utilizados para o cone e o cilindro, isto é, uma linha geratriz (no caso da esfera, uma semicircunferência), gira em torno de um eixo, segundo uma determinada diretriz (o caminho percorrido pela geratriz). Para efeitos de adequação ao nível médio, as diretrizes serão consideradas sempre circulares e contidas em um plano perperdicular ao eixo.

Um exemplo de mapeamento da superfície esférica, bastante familiar aos alunos, é a divisão do globo terrestre em meridianos - correspondendo às posições da geratriz - e paralelos - vários círculos paralelos, de raios distintos, dispostos em planos perpendiculares ao eixo de rotação do globo. O professor, no entanto, não deverá apresentar esse exemplo logo de início; espera-se que, em algum momento da atividade, os alunos consigam fazer essa associação por conta própria.

http://www.aesap.edu.pt/Geografia/images/circ_men.jpg 

http://santa_isabel.tripod.com/adm/interstitial/remote.gif  

Atividade 2

Os grupos apresentarão à turma os sistemas de mapeamento desenvolvidos, representando-os no quadro de giz

Os métodos de mapeamento da superfície esférica propostos deverão ser avaliados de acordo com sua funcionalidade na representação em épura. Ideias que envolvam, por exemplo, a representação de polígonos sobre a esfera - associada ao desenho das bolas de futebol -, implica em um excesso de linhas reversas sobrepostas nas projeções do sólido, o que tornaria esse método muito complexo.    

Na abordagem que essa aula propõe para o estudo das seções da esfera, sugerimos que apenas o método das seções circulares - criação de "latitudes" a partir de seções obtidas por meio de planos de corte perpendiculares ao eixo de revolução-, seja empregado.

Terminadas as apresentações, o professor deve estimular a turma a fazer uma breve avaliação dos métodos propostos, identificando prós e contras de cada um. Ao final dessa etapa, o professor deve proceder a um estudo de casos, analisando o modo de funcionamento do método das seções circulares, tomando, pelo menos, dois exemplos como referência:

a) uma seção produzida por um plano frontal (paralelo ao plano vertical de projeção)

http://www.4shared.com/document/eqGQlz1o/Sees_planas_esfera_pl_frontal.html   

b) uma seção produzida por um plano vertical (perpendicular ao plano horizontal de projeção e oblíquo ao plano vertical de projeção)

http://www.4shared.com/document/DlHuu5pr/Sees_planas_esfera_pl_vertical.html  

Nessa análise é importante que sejam observados os seguintes aspectos:

- Qual a consequência do plano secante ser paralelo a um dos planos de projeção? Isso facilita ou dificulta a representação da seção? Por que?

- No caso do plano secante vertical, que elementos da seção podem ser identificados prontamente? É possível construir a representação da seção utilizando apenas esses elementos? Como poderíamos obter mais elementos para definir os contornos da seção de modo mais preciso?

O exemplo a) é auto-explicativo, dado que qualquer forma contida em um plano paralelo a um plano de projeção determina neste uma imagem em verdadeira grandeza. O exemplo b), no entanto, requer a construção de seções paralelas que constituirão lugares geométricos de alguns dos pontos produzidos pela interseção entre o plano secante e a superfície da esfera.

Atividade 3

Os alunos deverão empregar o método analisado na atividade anterior para representar, em épura, as projeções e a verdadeira grandeza da seção produzida, por um determinado plano, em uma esfera dada. 

A última etapa da aula deverá consistir na realização de exercícios de aplicação, de modo que os alunos possam verificar seu grau de facilidade no emprego prático dos conceitos e técnicas analisados no estudo de casos.    

Outro aspecto que deverá ser observado nessa atividade diz respeito à invariância de forma das seções obtidas na esfera - são sempre circulares -, o que dispensa a análise de casos muito diversos. Por uma questão de adequação ao nível médio, recomendamos que sejam analisados apenas problemas em que os planos secantes sejam verticais, de topo, frontais ou horizontais.

Os endereços abaixo apresentam informações interessantes relativos ao tema dessa aula:

http://www.mat.uel.br/geometrica/php/gd_t/gd_15t.php

http://www.desenhoprojetivo.pro.br/htmlgd/solidos%20de%20revol.htm

http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/atividades_diversas/trabalho_winplot/solidosderevolucao.htm 

A aula deverá ser avaliada com base na pertinência dos métodos propostos na primeira atividade, na qualidade das intervenções feitas pelos alunos nas etapas de análise dos casos e na desenvoltura observada na realização dos exercícios propostos ao final da aula.