1. Conhecer e compreender os sistemas de numeração dos Maias.
2. Operar com alguns destes sistemas com o intuito de desenvolver novas leituras e compreensões da matemática.
3. Propiciar reflexões a respeito da organização do tempo como construção histórica .

Conceitos de matemática básica.

Imagine um sistema de numeração que a base seja 20?

Resultado da soma do número de dedos das mãos e dos pés? Base 20? Mas o que isso quer dizer?

Então vejamos, nosso sistema de numeração é indo-arábico, ele usa um sistema de numeração posicional. Isso significa que a posição ocupada por cada algarismo em um número altera seu valor de uma potência de 10 (na base 10 = números dedos das mãos) para cada casa à esquerda.

Por exemplo, no sistema decimal (base 10), no número 125 o algarismo 1 representa 100 (uma centena) , o 2 representa 20 (duas dezenas) e o 5 representa 5 mesmo (5 unidades).

Assim, em nossa notação, 125 = 100 + 20 + 5

A base 10 é hoje a mais usualmente utilizada, embora não seja a única. No comércio podemos pedir uma dúzia de rosas ou uma “grosa” de parafusos (que possuem base 12), nosso tempo é marcado em minutos e segundos (base 60). Os computadores utilizam o sistema binário (base 2), onde programadores, por facilidade, usam em geral uma base que seja de potência de 2, tal como 24 (base 16 ou sistema hexadecimal) ou eventualmente ainda 23 (base 8 ou sistema octal).

Professor, neste momento, você pode utilizar de dois recursos para recordar com os alunos a Decomposição Numérica (base 10).

•  Unidades, decenas (disponível no link http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/12870), esse material apresenta um ábaco de milhares, centenas, dezenas e unidades, onde o usuário poderá formar números por meio da manipulação.
•  Números (disponível no link http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/8485), esse recurso proporcionar o desenvolvimento e a aplicação do conceito de números naturais e sua representação na forma de dezenas e unidades.

E também apresentar o

• Counting in binary (disponível no link http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/8241),  recurso que demonstra como se dá a contagem no Sistema Binário (Base 2).

Obs:  Como alguns dos sítios indicados estão em inglês convém ao professor instalar em seu computador um complemento de tradutor para seu navegador. Sugerimos o Google Translate que pode ser facilmente encontrado na internet. Se você usa o navegador Mozilla Firefox, pode baixar seu complemento em https://addons.mozilla.org/pt-BR/firefox/addon/46308. Para aqueles que têm dificuldade com esse tipo de instalação, no link http://winlight.wordpress.com/2009/05/05/tutorial-instalando-complementos-no-mozilla-firefox/ tem um tutorial explicativo que pode ajudar. Para aqueles que usam o Internet Explorer, pode baixar o complemento do Bing disponível em http://busca.superdownloads.com.br/busca/bing-translator.html, da mesma forma link para tutorial http://www.microsoft.com/brasil/windowsxp/using/web/sp2_addonmanager.mspx.       

Retomando...

No decorrer da história encontramos vários sistemas de numeração elaborados por grandes civilizações, como os egípcios, os babilônicos, os romanos, os chineses e os maias.

É sobre esse último, que iremos tratar nesta aula, o sistema desenvolvido pelos maias, uma civilização que viveu muito próximo de nós. Por mais de mil anos, habitaram a região onde se localiza o sul do México e a América Central.

Fonte: http://civilizacoesantigas.pbworks.com/f/maia_mapa.jpg 

Provavelmente, foi a mais antiga das civilizações pré-colombianas, surgiram no século IV d.C. na Península de Yucatán, onde hoje ficam o México, Belize e Guatemala. Jamais formaram um império, embora possuíssem uma cultura comum.    

Eram muito curiosos em relação ao movimento dos astros e estrelas, sendo também responsáveis por conhecimentos de Astronomia. Com este saber, os maias desenvolveram calendários precisos. Ao contrário de muitos povos, eles não se referiam as fases da Lua para medir o tempo. Para eles, a lua era um deus covarde, desta forma, mediam o tempo a partir dos vinte dedos, definindo meses de vinte dias.  Essa noção de número não ajudava apenas na Astronomia, mas também na administração de todo o reino para a cobrança de impostos das tribos súditas.   

Para representar os números, se utilizavam da combinação de três símbolos: um ponto, uma barra horizontal e uma concha; onde o ponto = 1 unidade, a barra = 5 unidades e a concha=0

O sistema ponto-barra, foi criado 4 ou 5 século a.C.
Fonte: IMENES, L.M. Os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1999. (Coleção Vivendo a matemática).   

Para grande surpresa deste sistema de numeração, aparece o zero, pois ele facilitava operações matemáticas e contribuía no caráter posicional da numeração maia.

Sabendo que o ponto significa 1 e a barra 5, para ler os números acima você deve apenas somar os símbolos. Pontinhos representados em cima das barrinhas.   

Mas e para representar o número a partir do número 20? Usaríamos 4 barras?  Observe a figura abaixo...

Fonte: IMENES, L.M. Os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1999. (Coleção Vivendo a matemática).

O número 20 era representado por 1 ponto e 1 concha, o número 21 por 2 pontos, o 22 por 3 pontos... e assim sucessivamente. Porém é importante observar a posição que cada ponto ocupa, isso é o que faz a diferença.

Curiosamente, parece confuso, mas vamos tentar entender a sequência.   

Atividade 1

Nesse momento professor sugerimos que questione os alunos, para que apresentem proposições para compreender a sequência. Faça os registrar no quadro de giz, de todas as proposições, até que o grupo chegue a um entendimento plausível. E, só depois disso retome a continuidade da aula...

Os escribas maias usavam de modo pertinente as duas dimensões da página, distinguindo o espaço horizontal de separação dos constituintes de um número. Nesse contexto, não confundimos jamais os números “2”e “21”.

Fonte: IMENES, L.M. Os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1999. (Coleção Vivendo a matemática).

Para complementar o entendimento do sistema de numeração maia, proponha aos alunos a realização das atividades a seguir:

Atividade 2:

Que quantidades representam os seguintes números?

Fonte: IMENES, L.M. Os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1999. (Coleção Vivendo a matemática).

Resposta:

Fonte: IMENES, L.M. Os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1999. (Coleção Vivendo a matemática).

Atividade 3 

Agora escreva os seguintes números, usando a representação maia.

a)      35

b)      41

c)      74

d)     120   

Resposta:

Retomando a história do Sistema de Numeração Maia,  observamos que como os demais vizinhos "mesoamericanos", os maias também construíram um calendário religioso de 260 dias, chamado tzolkin.

Cada dia era designado por uma expressão da forma αX, composta por um número α e um nome de dia X. Também tinham um ano solar (um calendário civil) de 365 dias, o Haab, com 18 meses de 20 dias e um período complementar de 5 dias chamado Uayeb. Cada dia do ano solar era expresso por βY.

Fonte: CAUTY, André. Aritmética Maia. Scientific American, nº11.Portugal, 2005.   

Curioso saber que, o calendário maia foi desenvolvido até 2012, segundo algumas pesquisas, nesta época prevê uma estranha série de eventos terríveis (colisão de meteoros e planetas com a Terra, previsões de muitos ‘paranormais’ sobre o fim do mundo em 2012 e problemas de conservação do nosso planeta como o efeito estufa). Seria o fim do mundo?

Atividade 4

Assistir o filme 2012, dirigido por Roland Emmerich, distribuído pela Columbia Pictures, retrata a luta pela sobrevivência da humanidade após uma grande devastação ocorrida no planeta Terra. A trama faz referência a uma profecia do calendário Maia que afirma que no solstício de inverno do ano de 2012 – mais precisamente no dia 21 de dezembro -, o mundo como conhecemos hoje iria desaparecer. Fonte: Cinepop 

Fonte:  http://www.cinepop.com.br/cartazes/2012_7.jpg 

Organização da atividade  

Conforme já vimos, o povo Maia possuía um desenvolvimento matemático elevado, fato esse comprovado pelo seu sistema de numeração e calendários mais avançados. O filme é de ficção científica, mas, a partir dele, podemos discutir que a organização do tempo é uma construção histórica e, portanto, uma relação do homem com a natureza. Neste exercício, o professor pode estabelecer semelhanças entre o que é uma profecia e o que é uma previsão científica, situando cada um em seu contexto sócio-político. A partir dessa discussão, podem pesquisar no laboratório de informática, outras profecias e refletir a respeito.

Obs.Se achar difícil assistir todo filme em sala de aula, o professor pode sugerir aos alunos que assistam na íntegra em casa, para depois em sala de aula, retomar fragmentos e discutir sobre as possibilidades apresentadas.

CAUTY, André. Aritmética Maia. Scientific American, nº11. Portugal, 2005.

GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática – A invenção dos números. São Paulo: Ática, 2004.

IMENES, Luiz Márcio Pereira. Os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1999. (Coleção Vivendo a matemática).

MORAES, Denise. O sistema numérico maia. Disponível em: http://www.invivo.fiocruz.br/cgi/cgilua.exe/sys/start.htm?infoid=973&sid=9, acesso em 04 de maio de 2010. 

IFRAH, Georges. História Universal dos Algarismos: a inteligência dos homens contada pelos números e pelo cálculo. Tomo 1. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1997.

Prof. Materaldo. Sistemas de numeração, vídeo do youtube, disponível em  http://www.youtube.com/watch?v=qzATFMVEXFM, acesso em 04 de maio de 2010.  

A avaliação deve ser diagnóstica, processual e contínua, durante todo desenvolvimento das aulas.

Critérios para observação:

1. participação coerente nas reflexões da discussão inicial;

2. realização das atividades (recursos sugeridos) no laboratório de informática;

3. desenvolvimento/socialização das atividades 1, 2 e 3.

4. produção e pertinência das respostas dadas às questões presentes atividade 4;

5. participação individual e coletiva dos alunos no desenvolvimento do contexto geral da aula.