Esta é uma primeira aula idealizada a partir de experimentos envolvendo o lançamento aleatório de discos em quadriculados ou ladrilhados planos, pertinente ao primeiro módulo do Matem@tica na Pr@tica, um curso de especialização em matemátida inserido no Plano de Ações Articuladas do MEC.

Nessas aulas o ensino/aprendizagem de probabilidade é viabilizado de forma significativa através da construção do conhecimento a partir da experimentação, possibilitando um maior envolvimento do estudante com o tema probabilidade e permitindo uma maior cooperação e reflexão entre eles.   

Nesta primeira aula os estudantes irão aprender a estimar probabilidade e entender o significado deste conceito a partir do lançamento aleatório de CDs em pisos ladrilhados do chão da escola. Além disso, aprenderão que a estimativa encontrada melhora com o aumento do número de lançamentos realizados, conforme preconiza a Lei dos Grandes Números.

Para entender esta aula, é importante que os alunos saibam organizar dados em tabelas e reconhecer uma porcentagem a partir de uma fração.

Esta aula está dividida em dois momentos. No primeiro momento os alunos irão trabalhar em grupo para realizar lançamentos de CDs num piso ladrilhado da escola, anotando a quantidade de CDs que pararam dentro de um ladrilho sem tocar nem sobrepor o rejunte do ladrilhado (lançamento favorável). No segundo momento os alunos irão trabalhar com os dados encontrados em cada grupo para estimar a probabilidade de um lançamento ser favorável a partir do número de lançamentos executados, e comparar as estimativas obtidas.

Primeiro momento: experimentando o lançamento de CDs

O experimento consiste em lançar CDs em um piso ladrilhado no chão da escola com ladrilhos idênticos.

O objetivo do experimento é estimar a probabilidade de o lançamento ser favorável, no sentido de o CD parar sobre o piso sem tocar nem sobrepor o rejunte dos ladrilhos.

Um CD comum possui diâmetro padrão de 12 centímetros. Na foto vemos o resultado do lançamento aleatório de 10 CDs comuns sobre um piso ladrilhado com ladrilhos quadrados. Destes 10 lançamentos, somente 4 (indicados pela seta) foram favoráveis. Observe que o lançamento aleatório é favorável quando o CD para sobre o piso, ficando inteiramente dentro de um dos ladrilhos. O objetivo desta aula é que os alunos realizem lançamentos como estes, aprendendo a estimar a probabilidade de um lançamento ser favorável.

Para a realização do experimento, a turma precisará de um piso ladrilhado no chão da escola, de CDs comuns, de material para anotação e de um roteiro com os procedimentos e questões do experimento.

Na primeira folha do roteiro da aula, o prodedimento deve ser explicado em 4 etapas:

Etapa 1. Cada estudante do grupo deve pegar um CD e se posicionar de frente para o piso ladrilhado. De olhos fechados, cada estudante do grupo lança o CD em direção ao piso. Este procedimento deve se repetir até que o grupo tenha lançado um total de 10 CDs.

Etapa 2. Depois que todos os 10 CDs tiverem sido lançados, é hora de registrar os dados. Para registrar e organizar os dados, o grupo pode utilizar a tabela no verso. Conte quantos dos 10 CDs lançados pararam dentro de um dos ladrilhos do piso, sem tocar nem sobrepor o rejunte do ladrilhado. Os CDs que pararam dentro dos ladrilhos sem tocar nem sobrepor o rejunte caracterizam lançamentos favoráveis de CDs, ou simplesmente CDs favoráveis. Anote este número na tabela. Preste atenção, pois esta é a sessão número 1 de lançamento. Assim você deve anotar apenas o número de CDs favoráveis na sessão 1 de lançamentos.

Etapa 3. Após preencher o dado da sua primeira sessão de lançamentos, você deve continuar realizando novas sessões até completar toda a tabela, ou seja, até finalizar 20 sessões de lançamentos de CDs! Em cada sessão de lançamento, 10 CDs devem ser lançados de olhos fechados em direção ao piso ladrilhado e os lançamentos favoráveis devem ser registrados na sua tabela.

Etapa 4. Após preencher os dados das 20 sessões de lançamentos, o grupo deve analisar e discutir os resultados, respondendo as questões do verso.

Na segunda folha do roteiro da aula, além de uma tabela para registro do resultado das 20 seções de lançamentos, alguns questionamentos devem promover uma discussão e reflexão sobre a matemática envolvida na atividade.

1. Antes dos lançamentos, o que o grupo achava mais fácil de acontecer: o CD parar inteiramente dentro de um ladrilho ou sobre o rejunte do ladrilhado?

2. Após os lançamentos, o que o grupo acha mais provável em um lançamento aleatório: o CD parar dentro de um ladrilho (lançamento favorável) ou o CD parar sobre o rejunte (lançamento não favorável)?

3. Qual a razão entre o número de lançamentos favoráveis e o número de lançamentos totais na sessão 1 de lançamentos?

OBS. Em um conjunto de lançamentos, ao fazer o cálculo da razão entre o número de lançamentos favoráveis e o número total de lançamentos, você está calculando uma estimativa da probabilidade do lançamento favorável fornecida por esses lançamentos.

4. Calcule a estimativa da probabilidade do lançamento favorável fornecida pela sessão com menor quantidade de CDs favoráveis.

5. Calcule a estimativa da probabilidade do lançamento favorável fornecida pela sessão com maior quantidade de CDs favoráveis.

6. Calcule a estimativa da probabilidade do lançamento favorável fornecida pela soma das 10 primeiras sessões.

7. Calcule a estimativa da probabilidade do lançamento favorável fornecida pela soma das 10 últimas sessões e compare com os resultados já obtidos.

8. Calcule a estimativa da probabilidade do lançamento favorável fornecida pela soma de todas as sessões.

9. Compare os resultados do seu grupo com os resultados dos outros grupos, com ênfase no resultado da pergunta 8.

10. O que você observa em todos esses cálculos? O que é possível concluir com este experimento?

Os CDs podem ser coletados previamente junto aos estudantes e professores. O professor também deverá escolher previamente um piso ladrilhado no chão da escola, com ladrilhos idênticos e lisos, com espaço suficiente para os alunos. Os ladrilhos podem ser de qualquer formato, porém grandes o suficiente para que o CD caiba com bastante folga no seu interior. Ladrilhos quadrados ou retangulares, com lados entre 25 e 40 centímetros, são boas escolhas. Caso sua escola não possua um piso ladrilhado, você pode desenhar um quadriculado no chão da sala. De posse do material e após definir o piso, o professor pode iniciar a atividade.

Para que os alunos possam trabalhar melhor, sugerimos a divisão da turma em grupos. O experimento precisa ser realizado por pelo menos três grupos de alunos, sendo que cada grupo irá utilizar 10 CDs comuns, de preferência já descartados. É bom ter CDs adicionais, pois alguns podem se quebrar durante o experimento.

No início da aula, após dividir os estudantes em grupos, o professor entrega o roteiro do experimento e leva os estudantes para o piso ladrilhado previamente escolhido.

Oriente os alunos para que leiam as instruções do roteiro e que registrem os resultados dos lançamentos dos CDs no próprio roteiro. Se você sentir que seus alunos não possuem autonomia para iniciarem sozinhos os lançamentos, explique o procedimento antes que eles comecem a fazer o experimento. Enquanto os grupos estiverem realizando os lançamentos, circule pelos grupos, observando se as atividades estão sendo realizadas dentro do esperado.

Repare que cada grupo deverá fazer sessões de lançamentos de CDs em um mesmo piso ladrilhado, e que em cada sessão de lançamento serão lançados 10 CDs. Garanta que os lançamentos sejam realizados sem mira, de olhos fechados ou de costas para o ladrilhado, para que não haja nenhuma tendência no local onde o CD irá parar no piso. Reforce para os alunos a importância de, após cada sessão de lançamentos, contar e registrar corretamente quantos dos 10 CDs lançados ficaram inteiramente dentro de um ladrilho, sem tocar nem sobrepor o rejunte dos ladrilhos (lançamentos favoráveis).

É importante que todos os alunos participem do experimento, lançando, contando ou registrando os resultados. Isso garantirá o envolvimento de todos com a atividade.

Cada grupo deverá realizar 20 sessões de lançamentos, totalizando no final 200 lançamentos.

No final dos lançamentos, cada grupo terá sua tabela com o resultado do experimento, e a análise dos dados pode ser estimulada com algumas perguntas, conforme descrito no roteiro disponível como recurso (inserir um link com recurso publicado no Portal). Esta parte da atividade deve ser realizada em sala de aula.

Não se esqueça de testar o experimento antes de sua aplicação em sala de aula, adaptando a atividade à sua escola e à sua turma.

Segundo momento:  Revendo os resultados e socializando o conhecimento

Este segundo momento pode ser considerado um fechamento, mas também poderá ser o desencadeador de outros estudos sobre probabilidade.

Promova uma análise das perguntas e respostas do roteiro em conjunto com a turma, para que cada grupo possa comparar suas respostas com as dos outros grupos. Nesse momento você assumirá o papel de mediador e fará as intervenções necessárias para direcionar a discussão a fim de que todos possam alcançar o objetivo da atividade.

Para auxiliá-lo nessa mediação, apresentamos a seguir o resultado de uma simulação desta aula com três grupos e as respostas às perguntas do roteiro, tendo como base os dados do Grupo 1.

1. Antes dos lançamentos, o que o grupo achava mais fácil de acontecer: o CD parar inteiramente dentro de um ladrilho ou sobre o rejunte do ladrilhado?   

Resposta: As respostas podem ser variadas.   

2. Após os lançamentos, o que o grupo acha mais provável em um lançamento aleatório: o CD parar dentro de um ladrilho (lançamento favorável) ou o CD parar sobre o rejunte (lançamento não favorável)?   

Resposta: Na maioria das sessões com 10 lançamentos, a quantidade de lançamentos favoráveis é menor do que 5. Isso indica que deve ser mais provável um lançamento aleatório ser não favorável, com o CD parando sobre o rejunte.   

3. Qual a razão entre o número de lançamentos favoráveis e o número de lançamentos totais na sessão 1 de lançamentos?

Resposta: 2/10 ou 1/5 ou 0,2 ou 20%.

4. Em um conjunto de lançamentos, ao fazer o cálculo da razão entre o número de lançamentos favoráveis e o número total de lançamentos, você está calculando uma estimativa da probabilidade do lançamento favorável fornecida por esses lançamentos. Calcule a estimativa da probabilidade do lançamento favorável fornecida pela sessão com menor quantidade de CDs favoráveis.  

Resposta: A 12ª sessão foi a que teve menor quantidade de lançamentos favoráveis: apenas 1. A estimativa do lançamento favorável fornecida por esses lançamentos é de 1/10 ou 0,1 ou 10%.

5. Calcule a estimativa da probabilidade do lançamento favorável fornecida pela sessão com maior quantidade de CDs favoráveis.   

Resposta: A 5ª sessão foi a que teve maior quantidade de lançamentos favoráveis: 7. A estimativa fornecida por esses lançamentos é de 7/10 ou 0,7 ou 70%.

6. Calcule a estimativa da probabilidade do lançamento favorável fornecida pela soma das 10 primeiras sessões.   

Resposta: Nas 10 primeiras sessões, foram feitos 100 lançamentos ,dos quais 38 foram favoráveis. A estimativa fornecida por esses lançamentos é de 38/100 ou 0,38 ou 38%.

7. Calcule a estimativa da probabilidade do lançamento favorável fornecida pela soma das dez últimas sessões e compare com os resultados já obtidos.   

Resposta: Nas dez últimas sessões foram feitos 100 lançamentos, dos quais 29 foram favoráveis. A estimativa fornecida por esses lançamentos é de 29/100 ou 0,29 ou 29%. Vemos que, quando tomamos as sessões com menor e com maior quantidade de lançamentos favoráveis, os resultados são muito diferentes. Portanto, as estimativas não são boas. Quando tomamos as 10 primeiras sessões e as 10 últimas, os resultados são bem mais próximos. Isso indica que, quanto maior a quantidade de lançamentos, mais próximos entre si devem estar os valores das estimativas encontradas.

8. Calcule a estimativa da probabilidade do lançamento favorável fornecida pela soma de todas as sessões.   

Resposta: Foram feitos 200 lançamentos, dos quais 67 foram favoráveis. A estimativa fornecida por esses lançamentos é de 67/200 ou 0,335 ou 33,5%.

9. Compare os resultados do seu grupo com os resultados dos outros grupos, com ênfase no resultado da pergunta 8.   

Resposta: O grupo 2 fez 200 lançamentos, dos quais 70 foram favoráveis; a estimativa fornecida por esses lançamentos é de 70/200 ou 0,35 ou 35%. Já o grupo 3 fez 200 lançamentos, dos quais 73 foram favoráveis; a estimativa fornecida por esses lançamentos é de 73/200 ou 0,365 ou 36,5%. Comparando as estimativas, percebemos que a maior diferença entre elas é de 3%. 

10. O que você observa em todos esses cálculos? O que é possível concluir com este experimento?   

Resposta: Primeiro, concluímos que um experimento, mesmo com uma grande quantidade de lançamentos, sempre fornece uma estimativa do valor real da probabilidade. Segundo, concluímos que, quanto maior a quantidade de lançamentos, mais chance temos de obter uma aproximação melhor do valor real da probabilidade.   

As respostas às perguntas 1, 2 e 3 dependem do que os alunos perceberam. Nessas respostas espera-se que eles entendam como se calcula probabilidade e o significado desse conceito matemático.   

As respostas às perguntas 4 e 5 provavelmente serão muito diferentes, e indicam que um experimento com poucos lançamentos tem poucas chances de fornecer uma boa aproximação da probabilidade.   

As respostas às perguntas 6 e 7 provavelmente serão bem mais próximas entre si do que as duas anteriores.   

As respostas às perguntas 8 e 9 provavelmente indicarão uma tendência, mostrando que, com o aumento da quantidade de lançamentos, temos mais chance de obter uma probabilidade mais realista.   

A resposta à pergunta 10 é uma conclusão da atividade. Espera-se que os alunos percebam como se calcula uma probabilidade e que percebam que, quanto maior o número de lançamentos, mais próximas são as probabilidades calculadas, conforme estabelece a Lei dos Grandes Números.

Outra forma de realizar o experimento consiste em construir quadriculados em cartolina. Uma boa opção são quadriculados com quadrados de 3 cm de lado. Nesse caso podem ser lançados botões ou moedas.  A probabilidade exata do lançamento favorável para um determinado disco pode ser obtida aplicando-se a definição de probabilidade geométrica.

Para mais detalhes confira:   

[1] Paterlini, R. R. O Problema do Jogo dos Discos. Revista do Professor de Matemática no. 48, 1o quadrimestre de 2002, p. 13-20. Republicado em Matemática Ensino Médio, Coleção Explorando o Ensino vol. 3, Brasília, Ministério da Educação, 2004.   

[2] Paterlini, R. R. Aula sobre o Problema do Jogo dos Discos. Hipertexto Pitágoras. Departamento de Matemática, UFSCar, 2002.  http://www.dm.ufscar.br/hp/hp205/hp2053/hp2053001/hp2053001.html 

A aprendizagem dos estudantes poderá ser avaliada de forma contínua, envolvendo a participação dos alunos e a análise de suas respostas às perguntas.   

Além disso, você pode propor outros problemas semelhantes para avaliação, nos quais os alunos trabalhem com o cálculo de probabilidade.