Compreensão dos alunos sobre os conceitos e as ferramentas estatísticas.

Compreensão sobre a prática da estatística em situações do “mundo real”.

Resolver problemas de arranjo utilizando o princípio multiplicativo.

Conhecimentos de matemática básica.

Vocês já ouviram falar em pessoas azaradas?

Que sempre escolhem o lado da pista que vai mais devagar, o caixa de mercado mais lento e a fatia de pão quando cai é com a parte da manteiga para baixo?

Pense, você decide lavar o carro e, quando termina o serviço, percebe nuvens carregadas se aproximando.

Ah! O universo conspira contra você. Será que existem mesmo pessoas azaradas???

Fonte: Lei de Murphy - Quando tudo dá errado. Disponível em: http://exatas.net/lei_murphy.pdf    

É curioso saber que propostas como esta que mencionamos são estudadas pela matemática. Para o físico britânico Robert Matthews, da Universidade Aston, em Birmingham, a famosa afirmação de que "se alguma coisa puder dar errado, dará" é matemática pura. Há quase uma década esse pesquisador dedica-se ao estudo dessas pequenas peças pregadas pelo dia-a-dia e é categórico ao afirmar que sim, as coisas têm mais chance de acabar mal do que bem. (Fonte: Artigo da Revista Galileu - Edição 148 - Nov/03, disponível em http://exatas.net/lei_murphy.pdf)    

Todos os fatos já foram meticulosamente estudados. No caso das filas, simplesmente não nos conta damos da situação, pois, a sensação de ser ultrapassado é mais significativa para o nosso cérebro, do que a de deixar as outras pessoas para trás. No caso da queda do pão, depende da gravidade, da altura média das mesas usadas por nós, ou seja, outros fatores interferem. Calcule quantas vezes por ano chove em sua cidade e descobrirá que, por menor que seja a chance de uma tempestade acontecer em um determinado dia, ela existe, e deve ser considerada. O fato é que muitas vezes, por conta do desconhecimento de certos princípios científicos, as pessoas atribuem fatos simples como os que citamos a uma fatalidade da vida... Ou culpa da “lei de Murphy^[1]”.

^[1] Para o físico inglês Robert Matthews, não há espaço para superstição. "A Lei de Murphy é um assunto científico, sim, pois pode ser usada para fazer previsões. De fato a frase é carregada de senso de humor, mas ajuda a disseminar um conhecimento que está longe das pessoas." Matthews dedica-se ao estudo da ciência que está embutida em conceitos populares, entre eles a Lei de Murphy, e já provou como alguns desses eventos desastrosos podem ser previstos pelos números. Fonte: Artigo da Revista Galileu - Edição 148 - Nov/03, disponível em http://exatas.net/lei_murphy.pdf, acesso em 09 de maio de 2010. 

Mas afinal, o que é a Lei de Murphy?

Atividade 1

No laboratório de Informática, os alunos em grupo podem pesquisar a respeito dessa Lei e do que ela significa. Após a pesquisa, o professor deve propor uma rodada para que os grupos apresentem suas conclusões.

Professor, neste momento, sugerimos que você acesse o artigo da Revista Galileu, edição 148, nov/03, disponível em http://exatas.net/lei_murphy.pdf que discute a Lei de Murphy. Para encaminhar essa discussão.

Vamos procurar entender esses processos...

Dentro da matemática, o ramo que estuda esses fatos, chama-se estatística, ela possibilita às pessoas a capacidade de pensar e discutir a realidade à sua volta por intermédio de números, tabelas e gráficos.   

A probabilidade é o campo da estatística que estuda as chances de sucesso ou fracasso de um evento. Algumas contas são bem simples, por exemplo, ao se jogar uma moeda para o alto, a chance é de 1/2, ou 50% para a ocorrência de cara ou coroa. Mas, problemas mais complicados como é o caso de dez cartas quaisquer de um baralho formarem uma seqüência ou de que, ao lançar dois dados, ambos mostrem a mesma face, necessitam cálculos mais elaborados que envolvem permutação ou combinação.

Professor, para esclarecer melhor essas possibilidades, solicite aos alunos (ainda em grupos) que resolvam as seguintes atividades. Depois de resolvidas, pergunte ao grupo qual é a resposta e como fizeram para chegar a ela. Explore os diferentes encaminhamentos.

Atividade 2   

E no lançamento de dois dados, quantas são as possibilidades que podem acontecer?   

Resolução: Dois dados, cada um com 6 lados, se verificarmos todas as possibilidades temos 36, conforme o “Princípio Fundamental de Contagem”: 6 x 6 = 36 possibilidades.   

Atividade 3

Num baralho de 52 cartas quantas sequências (interessa a ordem) diferentes podemos formar ao tirar sucessivamente 3 cartas sem reposição?    

Resolução:    

De acordo com o “Princípio Fundamental de Contagem” temos: 52×51×50 = 132.600 sequências.

Atividade 4

Para realizar uma viagem de Curitiba (PR) até Salvador (BA), dispomos de 3 companhias diferentes de aviação e 4 de empresas de ônibus. Vamos pensar quantas são as possibilidades de fazermos essa viagem:   

Resolução: 

- Companhias de avião x, y e z.

- Empresas de ônibus A, B, C e D.   

Avião ou ônibus = 3 e 4

Possibilidades 3 + 4 = 7   

Atividade 5

Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?   

Resolução 6 x 6 x 6 = 216 números   

Encaminhamento para discussão

Professor, nesse momento você deve encaminhar sua explicação, questionando aos alunos, o que percebem de diferença nos problemas resolvidos. Na sua explicação, ajude-os a perceber que temos 2 modelos de problemas.  No caso do exemplo 4, ele representa um problema do Princípio aditivo no Princípio Fundamental de Contagem. (Vale lembrar que o princípio aditivo mostra-nos um método algébrico para determinar a resolução de problemas que envolvem contagem, ou seja, se um evento pode ocorrer por m ou n maneiras distintas e independentes entre si, para ocorrer esse evento existem m + n possibilidades. Contar, nem sempre é uma tarefa fácil...

Os problemas 2,3 e 5, representam exemplos de problema do Princípio Multiplicativo, também do Principio Fundamental de Contagem. (Só que nesse caso, se um evento pode ser dividido em duas etapas, em que para realizar a 1ª etapa existem m maneiras e para realizar a 2ª etapa, n maneiras, então para ocorrência desse evento existem m . n possibilidades.)

Dentro da estatística, tema de nossa aula, os Problemas de Contagem abrangem o Princípio Fundamental de Contagem (Aditivo e Multiplicativo) e também, a Análise Combinatória entendida como a parte da matemática que estuda e desenvolve métodos para a resolução de problemas que envolvem contagem.

Professor, para dar continuidade a aula, proponha o seguinte problema:

Atividade 6 

De quantas maneiras diferentes 3 pessoas podem se sentar num sofá de 3 lugares?   

Resolução:                               p1                                    p2                                     p3                        

                                        p2         p3                         p1        p3                          p1       p2                     

                                  p3                    p2                p3                p1                  p2                p1           

               =           p1 p2 p3;           p1 p3 p2;     p2 p1 p3;          p2 p3 p1;     p3 p1 p2;       p3 p2 p1

               =          6 possibilidades

Professor, novamente, explore as diferentes maneiras de resolução encontradas pelos alunos, e só então apresente a que propomos.

Na primeira etapa o número de possibilidades é 3, na segunda etapa é 2, portando 3 x 2 = 6

Dentro da estatística, denominamos de árvore das possibilidades o esquema desenvolvido (como esse do exercício) para mostrar todas as possibilidades de um acontecimento.

Vale lembrar que muitos problemas são simples (como os que propomos até aqui que podem ser resolvidos por dedução), porém, alguns necessitam de cálculos mais elaborados, como por exemplo:

Atividade 7 

Com panos de 5 cores (amarelo, verde, azul, vermelho e branco) quantas bandeiras tricolores podemos obter, supondo que os panos são colocados só em tiras verticais.  

Encaminhamento:

Deixe que os grupos pensem um pouco sobre essa resolução, e só então apresente a explicação que esse problema representa um arranjo simples.

Arranjos Simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes, ou seja, arranjos simples de n elementos tomados p a p são todos os agrupamentos sem repetição que é possível formar com p (n > ou = p) elementos diferentes escolhidos entre os n elementos de um conjunto dado.

                n!
A_n,p = ________     , onde lemos: arranjo simples de n elementos tomados p a p. Sendo n > ou =  p.

            (n - p)!      

Resolução:   

Assim, se designarmos as cores pelas letras a, b, c, d, e, respectivamente, cada bandeira será representada por 3 destas letras, escritas segundo a ordem das cores, por exemplo: abc bca abd dab cde...   

Conforme o enunciado, as bandeiras tricolores são representadas pelos diferentes conjuntos ordenados de 3 cores, que é possível formar a partir das 5 letras consideradas. A esses conjuntos ordenados dá se o nome de arranjos das 5 cores 3 a 3.  

               5!           5 x 4 x 3 x 2!
A_5,3 = _______ = ______________ = 60

             (5 - 3)!              2!  

Atividade 8   

Quantos números de dois algarismos podemos formar com os dígitos 1, 2, 4, 5, 6 e 7 ?                 

             6x5x4x3x2x1
A_6,2 = _____________ = 6x5 = 30                
                  (6-2)!

Além dessas atividades, orientamos que o professor retorne ao laboratório de informática para que acesse com seus alunos (ou apresente em multimídia, dependendo da realidade), o recurso "As probabilidades", disponível http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/9826, que aborda o conteúdo de probabilidade por meio de uma situação muito comum, o lançamento de uma moeda. O objetivo desse recurso é estimular o aluno a entender o conceito de probabilidade e como encontrá-la mediante o uso da fração, bem como o significado de seu numerador e denominador para o cálculo da probabilidade. 

As probabilidades 

Além desse recurso, sugerimos também o software Combinatória, disponível em http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/4784, onde basta que o aluno insera números respectivos ao arranjo, à combinação e à permutação, para que o programa calcule os resultados.  

Combinatória 

Caro professor! Durante essa aula, você pode trazer objetos para sala de aula (dados, baralho, ou outros exemplos manipuláveis?). E sugerir aos alunos primeiro "brincarem" com esses materiais, identificando diferentes aplicações matemáticas. A partir da "brincadeira" que eles proponham diferentes problemas, utilizando dos conceitos matemáticos trabalhados nesta aula. Essa atividade pode ser desenvolvida em grupo, por exemplo cada grupo fica com um objeto e propõe problemas que devem ser resolvidos pelos outros grupos e, assim sucessivamente.

ARAUJO NETO, J. Análise Combinatória. Disponível em http://marista.edu.br/maceio/files/2009/02/mat_anacomb_2.pdf, acesso em 10 de maio de 2010.    

Revista Galileu. Lei de Murphy - Quando tudo dá errado. Ed. 148, Nov./03. Disponível em: http://exatas.net/lei_murphy.pdf, acesso em 10 de maio de 2010. 

A Tábua da Fortuna, disponível em http://www.cdcc.usp.br/exper/medio/matematica/matematica_medio/3_tabua_da_fortuna_p.pdf, acesso a 10 de maio de 2010    

Jogando e ganhando, disponível em http://www.cdcc.usp.br/exper/medio/matematica/matematica_medio/5_jogando_e_ganhando_a.pdf, acesso a 10 de maio de 2010. 

Probabilidade, disponível em http://rived.mec.gov.br/atividades/matematica/probabilidades/atividade1/mat5_ativ1.swf, acesso a 10 de maio de 2010. 

Análise combinatória, disponível em: http://sites.unifra.br/Portals/17/Matematica/Arranjo/arranjo.swf, acesso a 10 de maio de 2010.

A avaliação deverá ocorrer no decorrer das aulas, de maneira diagnóstica, processual e contínua.

1. contribuição na discussão inicial: apresentou hipóteses, fez questionamentos ou dúvidas;
2. cooperação no laboratório de informática: auxiliou o parceiro, auxiliou outras duplas;
3. realização das atividades: fez as tarefas;
4. trabalho em grupo: interaçao no grupo, desenvolvimento do problema.