Analisar a composição de um movimento quando sua velocidade possui dois movimentos independentes como na travessia de um rio.

         Determinar a direção que se deve manter o barco para conseguir fazer uma travessia na menor distância.

         Compreender que para conseguir atravessar um rio de correntezas no menor tempo, deve-se posicionar o barco sempre perpendicular a correnteza.          

          Vetores, Operação com vetores, componentes retangulares de um vetor, movimento uniforme.

Atividade I     

   Sugerimos que inicialmente o professor faça uma revisão sobre componentes de vetores. Para isso pode usar a animação disponível no Portal do professor segundo o endereço:

 http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=19518  

http://www.webventure.com.br/destino/imagens/fotos/22090/7_20090805_193700.jpg 

        Depois mostre a foto acima onde a primeira vista tudo indica que são pessoas que estavam pedalando em suas bicicletas e precisam atravessar o rio de barco. Em algumas regiões do Brasil, norte principalmente, existe alguns caminhos que por algum motivo precisa-se atravessar um rio, e algumas vezes a única alternativa é através de canoa ou um pequeno barco como na foto acima. Após a apresentação da foto, discuta a seguinte situação com a turma:

         Suponham que vocês se encontram à margem de um rio onde a velocidade da água v_a é paralela às margens e tem o mesmo valor em qualquer ponto do rio. Nessas condições vocês tem à disposição um barco cuja velocidade máxima em relação a água é v_b e devem atravessá-lo no menor tempo possível.

         Como vocês solucionariam este problema?

         A Figura 01 ilustra essa situação. Pergunte aos alunos, entre as direções indicadas pelas linhas pontilhadas, I, II e III, qual delas escolheriam para conseguir a travessia em menor tempo?

         Discuta com eles: qual a causa da direção escolhida?

         Após ouvir a turma, apresentar a eles o esquema da Figura 02.

Atividade II

          Na Figura 02 estão representadas as três direções de travessia, I, II e III. Em cada caso a velocidade do barco está representada por um vetor v_b em vermelho, a velocidade da correnteza por um vetor v_c na cor verde e o vetor resultante v_R em marrom que corresponde a velocidade do barco em relação às margens. A linha tracejada em preto indica a direção do barco em cada caso e a linha tracejada em branco indica a direção que o barco desloca em cada situação.

         Observa-se que com o barco na direção I a distância de travessia é menor e com o barco na direção III a velocidade resultante é maior. Seria a causa da opção justificada por algum aluno devido a um desses fatos?

          Por que a velocidade resultante do barco é maior como na direção III?

         Por causa da menor distância percorrida pelo barco como na direção I?

         Alguém escolheu a direção II?  Baseou-se em que? 

Atividade III

                Na Figura 03 há dois esquemas: no primeiro esquema, a esquerda, o barco é direcionado sempre numa mesma direção, durante a travessia ele ficará sempre apontando na direção paralela aquela linha, inicialmente escolhida uma direção aleatoriamente, linha tracejada I. O vetor, em vermelho, representa o vetor velocidade do barco v_B, o vetor em cor verde representa o vetor v_a velocidade da correnteza da água, o vetor em cor marrom é o vetor velocidade resultante v_R, veja que, v_R é a soma vetorial de (v_B + v_a) método do paralelogramo e corresponde a velocidade do barco em relação às margens. Assim sendo, a direção de travessia é a linha tracejada AB, direção da velocidade resultante.

         No segundo esquema, está representado as componentes do vetor v_B, em cor branca v_Bx e v_By.  O vetor D, cor amarela, é o vetor resultante entre a velocidade da correnteza e a componente v_By. O tempo de travessia é t, corresponde a distância total dividida pelo tempo gasto para atravessar o rio, (M.U.); t = AB/v_R.

        Faça a demonstração abaixo com acompanhamento da turma, sempre argumentando e interrogando para conferir que estão atentos ao desenvolvimento. Demonstração a seguir:

         Considerando os triângulos ABC e AEF: esses triângulos são semelhantes; “possuem um ângulo comum e os lados opostos a esse ângulo, EF e BC são paralelos”, logo, eles são semelhantes. Portanto, vale a relação: AC/AF = AB/AE, mas, observe pelo esquema da Figura 03 que, AC = L, AF = v_Bx e AE = v_R. Substituindo esses valores temos: L/v_Bx = AB/v_R.   Em que, AB/v_R = t ; v_Bx é a componente de v_B perpendicular a margem, v_Bx = v_Bcos(â).

         O tempo de travessia então será: t = L/v_Bcos(â). Para que t seja mínimo o valor do denominador tem que ser máximo o que ocorre quando cos(â) = 1, neste caso teremos â = zero, ou seja, o barco deve ser posicionado na direção perpendicular à margem para que o tempo de travessia seja mínimo.

          Após feita a demonstração o professor deve lembrar aos alunos que nessa direção, perpendicular às margens, a componente da velocidade da correnteza é nula, por isso, a correnteza não afeta o tempo de travessia quando o barco tem direção perpendicular às margens, apesar de arrastá-lo na direção e sentido da correnteza, e o tempo de travessia equivale aquele que teria se a água estivesse parada como num lago.

Atividade IV

                  Peça aos alunos que utilize uma folha quadriculada e usando 4 unidades (4 lados do quadrinho) para representar a velocidade do barco e 2 unidades para representar a velocidade da correnteza façam na folha a representação dos vetores v_b e v_c e encontre a velocidade resultante geometricamente, usando a regra do paralelogramo e a regra do polígono. Depois faça a soma vetorial de v_b + v_c  decompondo os vetores na direção paralela e na direção perpendicular à margem como no esquema da direita na Figura 03. Pedir também para checarem o valor da resultante nos três resultados.

        A Figura 04 é um esquema mostrando como seria essa travessia ao longo de todo o trajeto, observa-se que o barco mantém-se sempre numa mesma direção, perpendicular a correnteza, mas sua trajetória é direcionada para baixo porque a correnteza o arrasta em sua direção e sentido. Embora no início da travessia apontasse para o ponto B e sua direção não mudou em relação a correnteza, ele sai no ponto C do outro lado da margem. a direção AC  corresponde a direção da velocidade resultante. Como vimos, nessa travessia, Figura 04, o tempo de travessia é a distância AB (largura do rio) dividida pela velocidade do barco.

       Atividade V

           Com o objetivo de checar numericamente a conclusão acima, o  professor poderá fornecer valores às grandezas da Figura 01 fazendo, por exemplo, a velocidade do barco v_B iguais à 4,0 m/s e a largura do rio, (L) igual à 100 m e atribuindo valores de 30 graus, zero, e 60 graus respectivamente aos ângulos que as linhas I, II e III formam com a direção perpendicular á margem. Fornecer também os valores dos cós-senos desses ângulos; esses valores são: 0,87, 1,00 e 0,50 respectivamente, pedir aos alunos que encontrem o tempo de travessia em cada caso. Pedir também que calculem o tempo de travessia na direção perpendicular à margem desconsiderando a correnteza para comparar com os resultados obtidos.

        O tempo de travessia é: t = L/v_bcosâ.

        Substituindo o valor de L e do co-seno em cada caso, após certificar que o sistema de unidades está coerente, todas as unidades estão no SI, obtém-se o valor do tempo de travessia em segundos para cada direção do barco.

        I. O barco é mantido na direção tal que faz um ângulo de 30 graus com a direção perpendicular a correnteza; 

            t = 100/(4,0x0,87);  t = 29 s.

        II. O barco é mantido na direção perpendicular a correnteza; t = 100/4,0; t = 25 s.

       III. O barco é mantido na direção 60 graus com a direção perpendicular à margem; t = 100/(4,0x0,50); t = 50 s

          Os valores obtidos deste exercício reforçarão a conclusão obtida pela expressão algébrica, onde se verifica que o barco apontando sempre na direção perpendicular a correnteza, atravessará o rio em menor tempo.  

Atividade VI

          O professor ainda poderá elaborar mais uma atividade argumentando a turma que se ao invés do menor tempo de travessia eles desejassem atravessar o rio pelo menor caminho. A menor distância entre as margens é a linha perpendicular a elas, nesse caso, o barco deverá manter sua trajetória sempre perpendicular à margem, que direção ele deverá ter em relação à correnteza?

            A Figura 05 representa um esquema da travessia de um barco nessa situação, em que o barco se mantém numa direção, tal que, atravessa o rio perpendicularmente as margens, linha AB. Com base no esquema da figura sugerimos o exercício a seguir.

            Considere na Figura 05 que a largura do rio seja igual a 100 metros, a velocidade do barco 4,0 m/s e a velocidade da correnteza 2,0 m/s, com esses dados encontre o tempo que o barco atravessará o rio seguindo os seguintes passos.

            Primeiro passo: decomponha a velocidade do barco nas direções paralela e perpendicular as margens. Para que o barco não seja arrastado pela correnteza, sua componente paralela a margem deve ter valor igual a velocidade da correnteza.

           Segundo passo: a partir do valor obtido do co-seno, use a seguinte expressão trigonométrica: Cos²(â) + sen²(â) = 1, para determinar o valor do sen(â).

          Terceiro passo: observe que a velocidade resultante do barco, ou seja, a velocidade do barco em relação às margens é vb.cos(â). Determine então o tempo que o barco atravessará o rio nessas circunstâncias. Compare esse tempo com o menor tempo obtido no exercício anterior.

          O professor ainda poderá propor a turma que com os valores obtidos de cos(â) e sen(â) determine a tan(â), usando a relação: tan(â) = sen(â)/cos(â).

          Através de uma tabela trigonométrica, normalmente em livros textos de Física, ou usando uma calculadora científica, o valor do ângulo (â) é facilmente obtido.

        Sugerimos que o professor apresente para a turma a simulação que se encontra disponível na internet com o título, “A travessia do rio”, no seguinte endereço:

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnica.html?id=19514 

        Os exercícios elaborados sobre a travessia na Figura 01 poderão ser usados como aprendizado e também para checar a assimilação do conteúdo pelo aluno, mas o professor dispondo de tempo ao final da aula, poderá elaborar exercícios de aplicação deste assunto e pedir que os alunos resolvam em equipes ou individualmente. Ou pedir que resolvam em casa para correção em outra aula.