Com esta aula, o aluno poderá aprender e ampliar seus conhecimentos sobre o conceito de infinito, assim como sua importância no estabelecimento de outros conceitos matemáticos.

Duas aulas de 50 minutos

O Professor, o conceito de paradoxo deverá ser explorado deste o início da aula. Assim, o endereço http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo#Matem.C3.A1ticos.2FL.C3.B3gicos é um bom ponto de partida para esse entendimento.

Professor nossa proposta de aula está dividida em três etapas, onde a primeira será realizada em uma sala em que possa ocorrer a exibição de um filme, a segunda em sala de aula utilizando uma atividade investigativa, e a terceira na Sala Ambiente de Informática. É interessante solicitar aos seus alunos que realizem uma pesquisa sobre o conceito de infinito, antes do início desta aula. O endereço http://euler.mat.ufrgs.br/~vclotilde/disciplinas/html/paradoxo_infinito.pdf nos fornece várias informações sobre este conceito no decorrer da história.

Etapa I

Iniciaremos nossa proposta de aula com a exibição do filme “Do zero ao infinito” da série Arte e Matemática, encontrado no endereço http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/18418/me003978.wmv ,
 

 

 

Imagem encontrada no endereço www.maistematica.com

 

O filme mostra os elos existente entre as Artes e a Matemática, sempre tentando traçar os paralelos históricos entre as duas, como a beleza da proporção áurea, a harmonia da música e a relação que a arte e a matemática tem com o tempo. Ao final da exibição do filme realize os seguintes questionamentos aos seus alunos:

• · O que você entende por infinito? Será que o infinito da arte é igual ao da matemática?

 

Etapa II

Nesta etapa da nossa proposta de aula utilizaremos um trecho do livro “O Diabo dos números” do autor Hans Enzensberger, onde o personagem Robert depara-se com o conceito de infinito. Divida seus alunos em grupos e entregue para cada grupo uma cópia deste texto. Pretendemos que os alunos compreendam, matematicamente, o conceito de infinito, através da exploração desse texto e observando no decorrer das atividades a força desse conceito em variadas áreas do saber e da atuação humana.

O Diabo dos Números

-Pois aí é que está, meu Robert –respondeu o velho. –O que há de diabólico nos números é que eles são simples. Na verdade, você não precisa nem de uma calculadora. Para começar, você só precisa de uma coisa: o 1. Com ele, pode-se fazer quase tudo. Se, por exemplo, os números grandes o assustam, digamos o 5723812, é só começar com:

1
1 + 1
1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1
...
e assim por diante, até chegar aos 5 milhões e tanto. Não venha me dizer que complicado demais para você! Até o último dos idiotas entende isso, ou não?
- Claro –respondeu Robert.
- E isso nem é tudo –prosseguiu o Diabo dos números. Segurava agora numa das mãos sua bengala com castão de prata, e a girava diante do nariz de Robert. –Quando chegar aos 5 milhões e tanto, você simplesmente segue contando. E vai ver que pode prosseguir até o infinito. Na verdade os números são infinitos.
Robert não sabia se devia acreditar naquilo.
- E como é que você sabe? –perguntou Robert. –Já experimentou fazer isso?
- Não, eu não. Em primeiro lugar, demoraria muito tempo e, em segundo, não é importante.
Isso não ficou claro para Robert que argumentou:
- Ou eu posso contar até o infinito, e então os números não serão infinitos, ou eles são, e aí eu não posso contar até lá.
- Errado! –gritou o diabo dos números. Seu bigode tremia, o rosto ficou vermelho e a cabeça começou a inchar de raiva e a crescer cada vez mais.
- Errado? Como assim? –perguntou Robert.
- Seu burro! Quantos chicletes você acha que já foram mascados no mundo todo até hoje?
- Não sei.
- Mais ou menos?
- Um montão enorme –respondeu Robert. –Se a gente contar só os do Albert, da Betina, do Charlie, os do pessoal da minha classe, os de toda cidade, os do país inteiro, os doa Estados Unidos... São bilhões.
No mínimo –avaliou o diabo dos números. –Vamos supor então que a gente contasse até o último dos últimos. Aí o que é que eu faço? Tiro um novo chiclete do bolso, e pronto: nós teremos o número de todos os chicletes mascados até hoje mais 1, ou seja, o número seguinte. Entendeu? Não preciso contar os chicletes. Em vez disso, simplesmente indico para você numa receita como é que a contagem prossegue. Não precisa mais nada.
Robert refletiu por um momento. Teve então que admitir que o homem tinha razão.
- Aliás, o contrário também acontece –acrescentou o velho.
- O contrário? O que quer dizer “o contrário”?
- Ora, Robert –e o velho agora dava de novo o seu sorrisinho -, é que existem tanto infinitos grandes quanto infinitos pequenos também. Infinitos mesmo.
E, ao dizer isso, o sujeito fez sua bengala girar feito uma hélice diante do rosto de Robert.
“Isso é de dar tontura”, pensou ele. Era a mesma sensação do escorregador pelo qual já escorregara tantas vezes para dentro do abismo, cada vez mais fundo, em seus sonhos.
- Chega! –Robert gritou.
- Mas por que você está tão nervoso, Robert? Isso é totalmente inofensivo. Olhe só, vou pegar um chiclete. Aqui está...
E, de fato, ele puxou um chiclete de verdade do bolso. Só que o troço era tão grande quanto uma prateleira, tinha uma cor lilás suspeita e era duro como pedra.
- Quer dizer que isso é um chiclete?

 

Imagem encontrada no endereço http://n.i.uol.com.br/educacao/saladoprofessor/planos/dianumeros.jpg

- Um chiclete sonhado –disse o diabo dos números. –Vou reparti-lo com você. Preste atenção. Até agora, ele ainda está inteiro. É o meu chiclete. 1 pessoa, um chiclete.
E, enfiando um pedaço de giz de uma cor lilás suspeita na ponta de sua bengala, o diabo dos números prosseguiu:
- Isso a gente escreve assim:

                                                                                               

Os dois uns, ele os rabiscou direto no céu, exatamente como aqueles aviões que desenham frases de propaganda no ar. Os números lilases e pairavam sobre um fundo de nuvens braças, e só foram se desfazendo aos poucos, como sorvete de amora.
Robert olhava para o alto.
- Coisa de maluco –disse ele. –Bem que eu queria uma bengala dessas também.
Ora, não é nada especial. Com ela, escrevo em tudo: nuvens, muros, telas. Não preciso de caderno ou pasta. Mas não é disso que estamos falando! Preste atenção no chiclete. Vou quebrá-lo em dois, e cada um de nós ficará com uma metade. 1 chiclete, 2 pessoas. O chiclete, a gente escreva em cima, as pessoas, embaixo:

                                                                                          

E agora é claro, os outros também vão querer um pedaço, o pessoal da sua classe.
- Albert e Bettina –disse Robert.
- Por mim, tudo bem. Albert pede um pedaço para você, Bettina pede um pra mim, e nós dois vamos ter que repartir nosso chiclete. Cada um vai ficar com ¼:

                                                                         

Mas é lógico que isso ainda não é tudo. Cada vez mais pessoas vão chegando, cada uma querendo seu pedacinho. Primeiro, o pessoal da sua classe; depois, a escola inteira, a cidade inteira. Cada um de nós quatro vai precisar dar metade de seu um quarto de chiclete, e então a metade da metade, e metade da metade da metade, e assim por diante...
- E o chiclete vai acabar virando pó –conclui Robert.
- Até que os pedacinhos de chiclete vão ficar tão minúsculos que não vai ser mais possível vê-los a olho nu. Mas isso não tem importância. A gente continua dividindo os pedacinhos até que todos os 6 bilhões de habitantes da Terra tenham recebidos os seu. E, depois, será a vez dos 6 bilhões de ratos, que também querem chicletes. Como você pode ver, dessa maneira nós chegaríamos ao fim.
Com sua bengala, o velho seguira escrevendo cada vez mais uns sob um infindável traço lilás no céu.

• · Escreva uma redação sobre o que você entende sobre infinito? Dê um exemplo de onde podemos encontrar a idéia de infinito.
  
• · Você acredita que existe infinitamente pequeno também? Dê um exemplo.

Etapa III

Esta etapa tem por objetivo destacar o papel fundamental do conceito de infinito na constituição do conhecimento matemático e elaborar estratégias de ensino específicas para superar as dificuldades de ordem cognitiva geradas por essa noção.Utilizaremos nesta etapa uma pesquisa na internet sobre paradoxos envolvendo o infinito, importantes para a compreensão da matemática. Divida seus alunos em grupos de acordo com o número de computadores disponíveis na Sala Ambiente de Informática de sua escola. O trabalho em grupos em atividades deste tipo facilita a criação de registros.
Nesta proposta indicamos alguns endereços interessantes para esta atividade, mas lembre-se que o objetivo é que os alunos busquem e investiguem. Logo outros endereços poderão ser utilizados, mas sempre tendo em vista o objetivo da atividade.
Instrua seus alunos a criarem um registro contendo os conteúdos mais significativos encontrados, assim como os sites pesquisados e as conclusões criadas. No endereço http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT638940-2680,00.html encontramos uma matéria sobre dois paradoxos bastante eficientes para o objetivo desta aula, O Paradoxo de Zenão e o Paradoxo do Hotel Hilbert.
 

 

 

Imagens encontradas no endereço http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT638940-2680,00.html

Provavelmente seus alunos se depararão com a citação do nome do matemático russo George Cantor, caso isso não ocorra, uma breve biografia sua pode ser encontrada no endereço http://www.pucrs.br/famat/statweb/historia/daestatistica/biografias/Cantor.htm .

Imagem encontrada no endereço www.pucrs.br

Dica: Outro ente matemático interessante para a construção do conceito de infinito é a Curva de Moebius. No endereço  encontramos uma interessante atividade sobre sua construção. E no endereço http://www.matematita.it/materiale/?p=cat&sc=6,314,325&pg=1 podemos descobrir fascinantes imagens sobre esse ente matemático.
 

 

Imagem encontrada no endereço http://www.matematita.it

  

Nome	Tipo
Tempo e infinito: parte 2 [Arte e matemática]	Vídeo

No endereço http://www.unesp.br/~jroberto/paradox.htm são encontrados diversos paradoxos interessantes que podem ser muito úteis para ampliação de conceitos que são utilizados nessa proposta de aula.

A redação, a pesquisa biográfica e a participação e envolvimento nas atividades investigativas podem ser utilizadas como atividade avaliativa de diferentes aprendizagens do aluno. Pode-se averiguar, através das atividades realizadas no decorrer da aula, se os alunos conseguem perceber a importância de se conhecer o conceito de infinito, assim como sua necessidade para o estabelecimento de outros conceitos matemáticos;