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A arte no plano: confeccionando ladrilhos e construindo ladrilhamentos - Desafio do Ladrilhamento - Matemática na Prática

 

06/07/2010

Autor e Coautor(es)
Paulo Antonio Silvani Caetano
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SAO CARLOS - SP Universidade Federal de São Carlos

Cláudio Carlos Dias, João Carlos Vieira Sampaio, Marlusa Benedetti da Rosa

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Geometria
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

Esta aula se insere em um bloco de três aulas que denominamos “Ladrilhamentos do plano: geometria e arte de mãos dadas”, pertinentes ao primeiro módulo do Matem@tica na Pr@tica, um curso de especialização em matemática inserido no Plano de Ações Articuladas do MEC. Este bloco de aulas pretende organizar um ambiente provocador de aprendizagem e explorar as potencialidades pedagógicas das construções geométricas. Nosso objetivo geral é abordar conteúdos como polígonos regulares, seus ângulos internos, entre outros, de maneira que os alunos compreendam a importância do que estão estudando. Propomos uma atividade experimental como desencadeadora do processo, pois acreditamos que esse tipo de atividade possibilita momentos de reflexão e cooperação entre os alunos, além do aspecto lúdico e motivador que um experimento permite desenvolver. Caso você tenha interesse em conhecer o bloco como um todo, as aulas estão organizadas na seguinte sequência: 1- “A arte no plano: confeccionando ladrilhos e construindo ladrilhamentos”; 2- “Ladrilhamentos do plano: ângulos internos e ladrilhos de três em três”; 3- “Ladrilhando o plano: mais de três ladrilhos por vez”.         

Nesta primeira aula que inicia o bloco, nosso objetivo é que o aluno realize experimentos de confecção dos ladrilhos e construção de ladrilhamentos utilizando diferentes modelos de polígonos regulares, a fim de compreender o modo como as propriedades geométricas dos polígonos regulares determinam os padrões de ladrilhamentos existentes.

Duração das atividades
Três tempos de aula (135 a 150 minutos)
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Para que os alunos compreendam esta aula, é importante que entendam os diversos elementos que constituem um polígono, tais como seus lados, vértices, ângulos internos e diagonais.

Estratégias e recursos da aula

Estratégias

  1. Debate sobre a história dos primeiros ladrilhamentos e aqueles encontrados no dia a dia.
  2. Aula experimental com roteiro publicado no final deste tópico.

Recursos

  1. Roteiro para a realização do experimento “Mãos na massa: construindo ladrilhos e descobrindo ladrilhamentos”.
  2. Material para a realização do experimento.
  3. Estudo Dirigido sobre o experimento realizado.

Atividades

Esta aula está dividida em três momentos. Em um primeiro momento sugerimos uma discussão sobre a história dos primeiros ladrilhamentos. Acreditamos que essa discussão motivará os alunos para a atividade experimental que vem a seguir. Após esta discussão, sugerimos a realização do experimento: “Mãos na massa: confeccionando ladrilhos”. Para finalizar, em um terceiro momento sugerimos a discussão dos resultados do experimento com a turma e, a partir deles, um registro dos ladrilhamentos formados.

Primeiro momento – Motivação para o experimento: a história dos primeiros ladrilhamentos

A primeira atividade desta aula consiste em um debate sobre a história dos ladrilhamentos. Você pode começar falando sobre os ladrilhamentos construídos pelos antigos egípcios, que desde 4000 a.C. usavam ladrilhos decorativos na construção de templos e nas grandes pirâmides, ou sobre os árabes, que criaram belíssimos ladrilhamentos como os encontrados em Alhambra, um conjunto de palácios da Espanha, construído por mouros e cristãos nos séculos XIII, XIV e XV. Você também pode explorar como se desenvolveram os diferentes tipos de ladrilhamentos na América, que foram introduzidos pelos espanhóis. Para isso, o professor de Matemática pode trabalhar juntamente com o professor de Artes (ou de História) da escola. Assim, antes de discutir com os alunos, se possível, converse com um colega da área de Artes ou de História e proponha que ele aborde aspectos históricos das civilizações, explicando como a geometria já fazia parte desse contexto.

Para enriquecer essa discussão, você pode ainda apresentar fotos da arte de Alhambra (Figura 1), por exemplo, mostrando o processo de ladrilhamento nas paredes, tetos, pisos, portas... Valorize o fato de que, no século XIII, os árabes já eram capazes de construir padrões impressionantes, que se estendiam por amplas paredes, sem qualquer sobreposição ou lacunas entre ladrilhos, sem erros visíveis em sua estrutura e em grande escala.

Figura 1: Alhambra é a marca da presença árabe na história espanhola. Localizado em Granada, na parte sul do país, reúne a arquitetura islâmica do século XIV e a arquitetura cristã do século XVI.
Fonte: Porta: http://www.sxc.hu/photo/267495. Foto de Tom Albrighton. Castelo: http://www.sxc.hu/photo/746667. Foto de Thea Nielsen. Mosaico: http://www.sxc.hu/photo/683720. Foto de Guel Meri.     

A partir deste debate, seria interessante convocar os alunos para que eles, através de suas lembranças do dia a dia, descrevam quais ladrilhamentos de pisos ou paredes eles conhecem. Você pode levar jornais e revistas referentes à decoração de ambientes e dividir a turma em grupos, de modo que eles selecionem alguns ladrilhamentos ou ladrilhos que achem interessantes. Assim, ao final dessa atividade, cada grupo apresenta suas conclusões, mostrando as diferenças entre os ladrilhos ou ladrilhamentos de hoje e os das antigas civilizações.

Utilize um momento para fechar essa discussão antes de propor a atividade experimental e valorize a participação dos seus alunos.

Finalmente, você pode convidá-los a pôr a “mão na massa” para confirmar, através de experimentos, os tipos de ladrilhamentos por eles apresentados, bem como procurar descobrir novos ladrilhamentos.

Segundo momento – Confeccionando os ladrilhos

Para a realização deste experimento, sugerimos que você divida a turma em grupos e que, antes de a aula começar, cada grupo de alunos organize um kit com os materiais necessários para a experiência. O kit deve conter os materiais descritos no roteiro disponível como recurso 1. Seria interessante que você entregasse para cada aluno uma folha com as figuras A e B que estão disponíveis na etapa 1 do roteiro; isso irá facilitar a construção dos moldes. (Obs.: Para evitar qualquer acidente, opte por tesouras sem pontas.)

Depois que os grupos já estiverem organizados, solicite aos alunos que organizem os materiais do kit sobre as mesas e distribua um roteiro para cada aluno. Durante a realização deste tipo de atividade, é interessante que cada aluno responda seu próprio material, pois este servirá de fonte de consulta. Além disso, o preenchimento do roteiro mantém a atenção de todos na atividade.

Não se esqueça de orientar os alunos para que leiam as instruções de cada etapa e que registrem os dados no roteiro. Reafirme a importância do debate entre os membros do grupo sobre as respostas de cada questão.

Solicite, então, que leiam as etapas 1 e 2 do roteiro e depois iniciem o experimento. Se você achar que seus alunos não possuem autonomia para iniciarem sozinhos o experimento, explique o procedimento antes que eles comecem a fazer a experiência. Enquanto os grupos estiverem realizando a simulação e respondendo as questões, circule pela sala de aula observando se as atividades estão sendo realizadas dentro do esperado. Em caso de equívoco, questione, converse, mas evite dar respostas que não possibilitem a reflexão.

Antes de realizar este experimento com seus alunos, não deixe de testá-lo, fazendo o experimento você mesmo antes da aula. Leia o roteiro e veja se está adequado às necessidades da sua turma; caso contrário, antes de levá-lo para sua classe, faça as alterações necessárias.

Terceiro momento – Construindo os ladrilhamentos do plano

Agora que os grupos já fizeram todos os ladrilhos, antes de começar esta etapa de construção dos ladrilhamentos convém esclarecer que os ladrilhamentos do plano que estamos considerando são os que chamamos de bem-comportados. Isso significa que devem satisfazer às três regras ou condições a seguir:

  • Os ladrilhos devem ser em formato de polígonos regulares, de um ou vários tipos, com todos os lados de mesma medida.
  • A interseção de dois ladrilhos, se existir, é sempre um lado comum ou um vértice.
  • A distribuição de ladrilhos ao redor de cada um dos vértices do ladrilhamento é sempre a mesma.

Explicando melhor essa terceira regra, se dermos uma volta, no sentido horário ou anti-horário, em torno de qualquer vértice, encontraremos sempre os mesmos tipos de polígonos regulares, e a sequência cíclica em que esses polígonos aparecem será sempre a mesma, conforme ilustrado na Figura 2. Por exemplo, no ladrilhamento mostrado na Figura 2, ao redor de cada vértice sempre estão dispostos dois octógonos e um quadrado com a seguinte sequência: octógono – octógono − quadrado. Poderíamos também tomar as sequências quadrado – octógono – octógono ou octógono – quadrado – octógono para esse mesmo ladrilhamento.

Figura 2: Ao girarmos no sentido horário ou anti-horário, em torno de qualquer vértice desse ladrilhamento, encontramos sempre os mesmos tipos de ladrilhos.

Nessa etapa de construção dos ladrilhamentos, você deve, primeiramente, explicar as regras de bom comportamento e posteriormente orientar seus alunos a construírem somente dois tipos de ladrilhamentos bem-comportados do plano: os ladrilhamentos regulares, em que todos os ladrilhos são congruentes, ou seja, de um único tipo, e os ladrilhamentos semirregulares, que podem conter dois ou mais tipos de ladrilhos. Não deixe de esclarecer que o plano que está sendo considerado é, na verdade, ilimitado, estendendo-se indefinidamente em todas as direções.

Você pode instigá-los a descobrir de quantas maneiras podemos ladrilhar um plano usando apenas polígonos regulares de um mesmo tipo. Ou ainda perguntar: e se os ladrilhos forem polígonos regulares de mais de um tipo, de quantas maneiras poderemos ladrilhar esse mesmo plano?

Essa última etapa deve ser feita juntamente com a etapa 3 do roteiro disponível como recurso 1 desta aula, pois agora que os ladrilhos já estão  confeccionados, passaremos à experimentação propriamente dita. Sugerimos que o professor divida a turma em grupos, fazendo com que cada grupo descreva e anote na etapa 3 do roteiro o porquê do sucesso ou do insucesso de cada tentativa de ladrilhar o plano. Seria interessante, caso possível, que fosse feito também um registro fotográfico de cada tentativa.

Nesse momento, você será o mediador e fará as intervenções necessárias para que os grupos percebam os possíveis equívocos e para que possam alcançar o objetivo da atividade proposta.

Fique atento durante a condução da etapa 3 do roteiro, pois as questões 1, 2 e 3 são mais abrangentes e vão ampliar as possibilidades de padrões de ladrilhamentos no plano. As demais perguntas têm uma natureza diferente; para responder as questões 4, 5 e 6, os alunos deverão compreender a relação que existe entre os ladrilhamentos e as três regras de bom comportamento.

Recurso 1 - Roteiro para a realização do experimento

Identifique sua instituição: Nome do Colégio Professores envolvidos:

Disciplinas: Aluno(a):_________________________________Turma:______Grupo:______

“Mãos na massa: construindo ladrilhos e descobrindo ladrilhamentos”.

Introdução: 

Construiremos seis moldes diferentes que usaremos como base para a confecção dos ladrilhos. Esses ladrilhos ficarão no formato de polígonos regulares, que posteriormente serão usados para ladrilhar um plano.

Materiais:

  • folhas de papel cartão ou cartolina; ou
  • papel color set de boa gramatura (grossura); ou
  • folhas de E.V.A. (é uma abreviação de etileno-vinil-acetato, um material  sintético, macio e de aparência emborrachada, vendido em lojas de materiais plásticos e papelarias)
  • lápis;
  • borracha;
  • tesoura.

Atenção: Polígonos regulares de um mesmo tipo devem ser feitos da mesma cor. Como teremos mais de um tipo de polígono, diversas cores devem ser usadas.

Procedimentos:   

Etapa 1 - Construindo os moldes  

Desenhe em uma cartolina, ou em qualquer material recomendado, um triângulo equilátero, um quadrado, um pentágono regular, um hexágono regular, um octógono regular e um dodecágono regular, de forma que todos possuam lados de mesma medida. Após ter desenhado, recorte cada um dos polígonos.  

Para facilitar a construção dos moldes, que permitirão a confecção dos ladrilhos, são exibidas a seguir as figuras A e B, que orientarão a construção de moldes dos polígonos regulares listados. (Repare que os polígonos regulares presentes nas figuras têm lados de mesmo comprimento.)

Os polígonos deverão ser então recortados ao longo de seus contornos, conforme ilustrado na foto a seguir:

Etapa 2 - Confeccionando os ladrilhos   

Para confeccionar os ladrilhos, escolha um dos polígonos do molde e desenhe a lápis na cartolina (ou em qualquer material recomendado) a maior quantidade que conseguir. Depois disso, recorte todos os polígonos desenhados. Veja a seguir o exemplo da confecção dos ladrilhos triangulares:

Registro:  

  1. Quantos ladrilhos foram construídos no total?
  2. Preencha a tabela a seguir com os ladrilhos construídos e suas respectivas quantidades:  

Etapa 3 - Descobrindo os diferentes ladrilhamentos

Escolha uma superfície plana e, usando os ladrilhos que foram confeccionados, comece a ladrilhar. Para facilitar a experiência, você pode começar a ladrilhar somente com ladrilhos de mesmo tipo; depois, utilize dois tipos diferentes, em seguida três tipos diferentes de ladrilhos e assim por diante, de modo que toda a superfície seja coberta.

Registro:     

  1. Quantos e quais foram os padrões de ladrilhamentos do plano que possuíam somente ladrilhos iguais?
  2. Quantos e quais foram os padrões de ladrilhamentos do plano formados com ladrilhos diferentes?
  3. Todos os ladrilhamentos encontrados eram bem-comportados?
  4. Quais foram os ladrilhamentos que não atenderam às três regras de bom comportamento e por quê?
  5. Quais foram os ladrilhamentos bem-comportados encontrados e por que podem ser classificados assim?
Recursos Complementares
Avaliação

A avaliação será contínua e envolverá a participação dos alunos, a análise dos ladrilhamentos e seus registros, bem como as respostas às perguntas do roteiro.

Nesse processo de avaliação, a aprendizagem poderá ser avaliada analisando o cumprimento da tarefa pelos vários grupos, com destaque para os seguintes aspectos:   

a)    Participação no debate sobre os ladrilhamentos dos dias atuais e os das antigas civilizações.

b)    O zelo na confecção dos ladrilhos, cortes bem definidos, cores diferentes para ladrilhos de formatos distintos.

c)    Se o grupo visualizou o motivo de cada sucesso ou insucesso nas suas tentativas de construção dos ladrilhamentos.

d)    Se, a partir dos experimentos e das regras de bom comportamento, foram capazes de propor uma estratégia global para a construção de ladrilhamentos no plano.

e)    A quantidade de tentativas concluídas com sucesso e explicadas com base nas regras de bom comportamento.

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