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Irracionalidade do número π (Pi) aproximações entre matemática e arte *

 

14/09/2010

Autor e Coautor(es)
Eguimara Selma Branco
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CURITIBA - PR SECRETARIA ESTADUAL DE EDUCAÇÃO

Eziquiel Menta

Estrutura Curricular
Modalidade / Nível de Ensino Componente Curricular Tema
Ensino Médio Matemática Números e operações
Ensino Médio Matemática Geometria
Ensino Médio Artes Arte Visual: Contextualização
Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula

§  Identificar os diferentes contextos onde aparece o número π (Pi).

§  Reconhecer a irracionalidade do número π (Pi) por meio da geometria e da arte.

§  Construir conexões entre diferentes obras de arte e os conteúdos matemáticos.

Duração das atividades
3 a 4 aulas ( 50 minutos cada)
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Conhecimentos básicos de geometria e arte.

Estratégias e recursos da aula

Para essa aula, organize antecipadamente com os alunos uma pesquisa sobre o número π (Pi).

Para orientar a pesquisa, o professor pode utilizar a webquest “O número π” disponível em http://www.anossaescola.com/cr/webquest_id.asp?questID=585, ou a webquest “Pi - Um número fascinante”, disponível em http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_tabbed_w.php?id_actividad=9073&id_pagina=1.

Lembrando que a WebQuest é uma metodologia de pesquisa online, organizada por meio de um roteiro que segue com os seguintes passos: introdução, tarefa, recursos, processo, avaliação e conclusão. O professor dá indicativos de sítios, pré-selecionados, para que a aula seja aproveitada ao máximo, e os alunos não se distraiam diante de tantas informações da internet, e organizem a tarefa e a concluam com sucesso.

A ênfase da pesquisa deve ser para aprofundar conceitos referentes a história do número π (Pi), curiosidades, aplicações e onde podemos encontrar.   

Após a pesquisa, o professor pode fazer uma rodada de discussão com os alunos solicitando que apresentem suas considerações. É importante que o professor feche o conceito do que é π (Pi). Ressaltando que é a mais antiga constante matemática que se conhece. E, ao ser mencionado, é reconhecido por praticamente qualquer pessoa alfabetizada. A constante pode ser encontrada no trajeto aparente diário das estrelas no céu terrestre, no espalhamento de uma colônia de cogumelos, no movimento das engrenagens e rolamentos, na propagação dos campos eletromagnéticos e um sem número de fenômenos e objetos, do mundo natural onde encontramos a Matemática associadas às ideias de simetria circular e esférica. Por definição,  π (Pi) é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro.  

Será sempre o mesmo valor não importando o tamanho do círculo. E, por ser escrito como número finito, é considerado um número irracional. Seu valor aproximado é 3,1416...   

Mas como comprovar a irracionalidade do número π (Pi)?   

Atividade 1

Professor, essa atividade pode ser desenvolvida no laboratório de informática com um editor de imagens (se a escola dispuser) ou em sala de aula com papel e lápis de cor. Propor aos alunos que escolham uma figura geométrica e a partir dela, construam uma sequência usando 2 ou 3 cores.   

Por exemplo: 1 sequência de quadrados ou de triângulos... é importante destacar que dependendo da figura que escolham não conseguem fechar a sequência.

Após desenvolver a sequência na linha, deve-se repeti-la várias vezes em colunas.

Assim, teremos obras formadas a partir de repetições de figuras geométricas. Professor, explore com os alunos os padrões, aqui no caso quadrado amarelo, quadrado vermelho.

Faça a mesma analise para cada obra criada pelos alunos.

Para finalizar, o professor pode imprimir os trabalhos e fazer uma exposição no mural da escola apresentando as diferentes trabalhos. É importante observar o que surge ao final em termos de perspectiva e produção. Lembrando que cada obra necessita de nome, assinatura do autor e data de elaboração.

Obs. No caso do obra criada, o professor também pode provocar outras matematizações, como montar a equação que represente a sequência criada. Ou explorar área e perímetro.

Atividade 2

Depois de analisar a atividade realizada no concreto, vamos partir para a análise do abstrato. Para isso, propomos fazer uma viagem ao mundo das obras de arte. Para a atividade, os alunos devem observar o que mais chama a atenção nas obras apresentadas, existência ou ausência de padrões? Repetições?   

Professor, nesta atividade a ênfase deve observar a presença de padrões. O que se repete em cada obra?

Observando as obras o que temos? Figuras? Cores? Sequências? Simetrias?

Neste caso, escolhemos as obras de um casal de artistas plásticos alemães, Josef Albers e Anni Albers. Esta escolha se deve ao fato, de que os dois trabalharam com a abstração geométrica e seus trabalhos formaram a base de grandes e influentes programas de arte e educação do século 20.  

Com Josef Albers, o quadrado torna-se símbolo de uma realidade precisa. Por exemplo, na pintura Homenagem ao Quadrado: Signo Raro (3a. obra abaixo), realizada em 1967, é possível ver uma das quatro variações do esquema padrão criado por Albers em sua série iniciada em 1949. Três áreas quadrangulares, de tonalidades distintas de tom verde, propiciam a experiência visual ao espectador de perceber, pela sobreposição dos quadrados, a fusão visual dos planos de profundidade. Fonte: http://www.mac.usp.br 

Anni Albers, Second Movement IV, 1972.

Anni Albers, Second Movement V, 1978.

Josef Albers- Homenagem ao Quadrado: Signo Raro, 1967


Josef Albers, Homage to the Square, 1964

Fonte: http://www.albersfoundation.org    

Obs. Se houver a possibilidade, o professor pode levar os alunos no laboratório de informática, onde podem navegar pela Fundação Albers (http://www.albersfoundation.org) e conhecer algumas de suas obras. Clique sobre a imagem a seguir para ver as orientações ampliadas.

Caso contrário o professor pode projetar aos alunos, conforme segue.

Cada obra de arte apresenta um contexto de época. A Bauhaus (1919-1933), escola de arte da Alemanha, associava artes visuais, desenho industrial, arquitetura e artes decorativas. O objetivo era produzir objetos funcionais, que atendessem às necessidades da sociedade industrial e tornasse mais harmônico o cotidiano das pessoas, eliminando, assim, todos os elementos meramente decorativos.Os Albers fizeram parte desse movimento, com suas figuras e uso direto da simetria inversa.   

Atividade 3   

Na mesma direçao da abstração da atividade 2, propor aos alunos que observem uma obra já pronta:


Fonte: http://wirober.blog.uol.com.br/images/arteemPI2.jpg 

Analisem brevemente a existência de padrões ou sequências? Procurem estabelecer uma expressão que represente essa obra. Isso é possível? (Clique sobre a obra para vê-la em tamanho maior)

Percebam que logo abaixo existe uma legenda a partir das cores, sugira que os alunos façam a substituição da mesma... Pois, não existem padrões nem sequências...

Essa imagem trata-se da representação artística do número π (Pi) =  3,14159265358979323846264338327950288419716939937510... Assim, pela inexistência de sequências e padrões, pelo caos visual que se identifica a irracionalidade do número  π (Pi).

Cada cor desses quadradinhos, representa um algarismo decimal do número... e por isso o caos, o irracional, a inexistência de padrões.  

Com a tecnologia, há cálculos com milhões de casas decimais para  π (Pi), para esse quadro foram usados 2000 quadradinhos. Observe as legendas, o número 3 é o inteiro e por isso não está considerado, a obra começa a partir da vírgula.

Explique aos alunos professor que o número pi (representado habitualmente pela letra grega π ) é o irracional mais famoso da história, com o qual se representa a razão entre o perímetro de qualquer circunferência e o seu diâmetro.

Sugestão de encaminhamento:

Proponha aos alunos que imaginem dar uma volta ao redor da Lua seguindo um dos seus círculos máximos. O valor aproximado que vão encontrar é 10920 Km. Dividindo esse valor pelo diâmetro aproximado da Lua que é 3476 Km, encontramos que esta razão é de 3,14154200…, este número nos é familiar, é aproximadamente 3,14. Na realidade, como número irracional, pi é expresso por uma dizima infinita não periódica, que nos dias de hoje com a ajuda dos computadores já é possivel determinar com centenas de milhões de casa decimais.

Para fechar essa atividade, utilizar com os alunos o simulador O número Pi disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/2069, acesso em 11 de agosto de 2010, que contribui para enfatizar conceitos básicos sobre grandeza e medidas, enfocando o número π (Pi).  O simulador apresenta a definição do número π (Pi), diferentes formas de se chegar a ele e sua aplicação no cotidiano.

O número Pi 

Relações interdisciplinares

Durante toda aula, buscar a contribuição do professor de Artes, para fazer as devidas explorações tanto nas obras apresentadas, quanto nas desenvolvidas pelos alunos, fazendo a análise de cada composição do ponto de vista da Arte e apresentando trazendo conexões entre a arte e a matemática e como essas duas áreas caminham próximas. Pode-se usar o vídeo O artista e o matemático [Arte e matemática], disponível em http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10247,  acesso em 11 de agosto de 2010, episódio do programa Arte & matemática, da TV Escola que aborda a semelhança entre arte e matemática, traçando um paralelo entre matemáticos e artista.

O artista e o matemático [Arte e matemática] 

BRANCO, E. A irrracionalidade do Número Pi. Disponível em: http://egui.blogspot.com/2010/02/irrracionalidade-do-numero-pi.html, acesso em 02 de agosto de 2010. 

*Aula baseado na ideia da professora Ana Maria Liblik (UFPR)

Recursos Educacionais
Nome Tipo
O artista e o matemático [Arte e matemática] Vídeo
O número Pi Animação/simulação
Recursos Complementares

Viagem ao interior de PI / O seu nome em PI. Disponível em: http://www.atractor.pt/fromPI/index.html, acesso em 02 de agosto de 2010. 

Avaliação

A avaliação deverá ser diagnóstica, processual e continua, ou seja, realizada ao longo de todas as aulas.

Critérios a serem observados:

- Participação na atividade inicial, discutiu a questão? colaborou com os colegas? contribuiu?

- Desenvolvimento e realização das atividades centrais? Participou? Raciocínio adequado?

- O aluno foi argumentativo? Sua produção foi pertinente?

- Participação no desenvolvimento do contexto geral da aula.

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