Essa aula se insere em um bloco de três aulas que denominamos “Ladrilhamentos do plano: geometria e arte de mãos dadas”, pertinente ao primeiro módulo do Matem@tica na Pr@tica, um curso de especialização em matemática inserido no Plano de Ações Articuladas do MEC . Este bloco de aulas pretende organizar um ambiente provocador de aprendizagem e explorar as potencialidades pedagógicas das construções geométricas. Nosso objetivo geral é abordar conteúdos como polígonos regulares, seus ângulos internos, entre outros, de maneira que os alunos compreendam a importância do que estão estudando. Propomos uma atividade experimental como desencadeadora do processo, pois acreditamos que esse tipo de atividade possibilita momentos de reflexão e cooperação entre os alunos, além do aspecto lúdico e motivador que um experimento permite desenvolver. Caso você tenha interesse em conhecer o bloco como um todo, as aulas estão organizadas na seguinte sequência: 1- "A arte no plano: confeccionando ladrilhos e construindo ladrilhamentos"; 2- “Ladrilhamento do plano: ângulos internos e ladrilhos de três em três”; 3- “Ladrilhando o plano: mais de três ladrilhos por vez”.  

Nessa aula, o aluno poderá estudar a matemática que está por trás dos ladrilhamentos. Para isso, ele será incentivado a investigar quais são os ladrilhamentos com mais de três polígonos regulares adjacentes a cada vértice e quais são as possíveis configurações desses polígonos em torno de cada vértice. Esses conceitos serão abordados de forma integrada para que o aluno perceba como cada um deles é uma ferramenta importante e necessária para o entendimento de questões geométricas.

Polígonos convexos, polígonos regulares, medidas dos ângulos internos de um polígono regular.

Estratégias   

• Aula experimental com sugestão de roteiro no final
• Aula expositiva para a problematização da atividade prática e o desenvolvimento dos conceitos matemáticos.

Recursos  

• Roteiro para a realização do experimento “Mãos na massa: construindo ladrilhos e descobrindo ladrilhamentos”, preenchido na aula 1: "A arte no plano: confeccionando ladrilhos e construindo ladrilhamentos" disponível no Portal.
• Estudo Dirigido sobre o experimento realizado na aula 1: "A arte no plano: confeccionando ladrilhos e construindo ladrilhamentos".
• Roteiro “Ladrilhamentos (k,ℓ,m): analisando ladrilhos de três em três”, para nortear o desenvolvimento geométrico e algébrico dos ladrilhamentos analisados durante a aula 2: “Ladrilhamento do plano: ângulos internos e ladrilhos de três em três” disponível  no Portal
• Roteiro para nortear o desenvolvimento geométrico e algébrico dos ladrilhamentos analisados: “Ladrilhamentos (3,ℓ,m,n,p): analisando ladrilhos de cinco em cinco”.

Atividades

Essa aula está dividida em três momentos. Em um primeiro momento, o professor deve retomar o que foi realizado nas aulas anteriores "A arte no plano: confeccionando ladrilhos e construindo ladrilhamentos" e “Ladrilhamento do plano: ângulos internos e ladrilhos de três em três”, para situar os alunos e dar continuidade ao processo de construção dos ladrilhamentos iniciado. No segundo momento, o professor irá utilizar argumentos geométricos e algébricos como uma ferramenta matemática para definir quais ladrilhamentos, formados com quatro ladrilhos ao redor de cada vértice, podem ladrilhar um plano. Por fim, o professor fará o mesmo no terceiro momento da aula, ou seja, lançar mão de argumentos geométricos e algébricos, só que, dessa vez, para mostrar quais são os ladrilhamentos formados com mais de quatro polígonos regulares ao redor de cada vértice.

Lembramos que a idéia de realizar as aulas "A arte no plano: confeccionando ladrilhos e construindo ladrilhamentos”, "Ladrilhamento do plano: ângulos internos e ladrilhos de três em três" e “Ladrilhando o plano: mais de três ladrilhos por vez” é uma sugestão. No entanto, se você ainda não tiver realizado as aulas 1 e 2  com sua turma, o roteiro “Mãos na massa: construindo ladrilhos e descobrindo ladrilhamentos” bem como o estudo dirigido a ele associado, e o roteiro “Ladrilhamentos (k,ℓ,m): analisando ladrilhos de três em três” podem ser encontrados no Portal. Se esse for o seu caso, esteja atento, pois o tempo estimado para essa aula "Ladrilhando o plano: mais de três ladrilhos por vez" terá que ser maior.

Primeiro Momento - Relembrando a construção dos ladrilhamentos e a análise do padrão (k,ℓ,m).

A primeira atividade dessa aula consiste em uma recapitulação da atividade experimental realizada na aula "A arte no plano: confeccionando ladrilhos e construindo ladrilhamentos", bem como das discussões realizadas a partir da construção dos ladrilhamentos na aula “Ladrilhamento do plano: ângulos internos e ladrilhos de três em três”. Para essa recapitulação, sugerimos que o professor peça aos alunos que peguem o roteiro que receberam nas aulas anteriores e que relembrem todas as etapas realizadas no experimento e todas as análises feitas na aula 2 sobre os ladrilhamentos de padrão (k,ℓ,m). Depois, o professor deve solicitar aos alunos que observem as perguntas dos roteiros que responderam e corrigiram.

Quando os alunos tiverem feito isso, o professor deve retomar as questões lembrando o que foi discutido. É importante que o professor comente pausadamente as questões da etapa 3 do roteiro discutido na primeira aula desse bloco, relembrando e dando ênfase às três regras de bom comportamento estudadas e analisadas nos ladrilhamentos construídos. Comente também as etapas 1 e 2 do roteiro “Ladrilhamentos (k,ℓ,m): analisando ladrilhos de três em três”, chamando a atenção dos alunos para os argumentos geométricos e algébricos que nortearam a discussão da segunda aula desse bloco.

Segundo momento - Analisando ladrilhamentos formados com quatro polígonos ao redor de cada vértice.

Você pode começar essa etapa de aula lembrando que cada vértice de um ladrilhamento “bem-comportado” é formado por no máximo seis ângulos de 60º adjacentes a ele, ou seja, seis triângulos eqüiláteros, e por no mínimo três hexágonos, ou seja, por três ângulos de 120º adjacentes a ele. Dessa forma, o estudo dos ladrilhamentos fica limitado aos casos em que temos de 3 a 6 ladrilhos ao redor de cada vértice. Como já foram estudados (na aula 2 desse bloco) os ladrilhamentos formados com apenas três polígonos regulares, nessa aula, conduza sua turma a descobrir geometricamente os ladrilhamentos do plano constituídos com quatro, cinco e seis polígonos regulares ao redor de cada vértice. A estratégia é descobrir quais são os polígonos que constituem esses padrões de ladrilhamento.

Comece pelos ladrilhamentos formados com quatro polígonos regulares. Escolha ainda iniciar do jeito mais simples, ou seja, começando pelo ladrilhamento que possua ao menos um triângulo em sua composição, mais precisamente um ladrilhamento de padrão (3,ℓ,m,n).

Professor, diferentemente da análise feita na segunda aula desse bloco, o estudo dos padrões (k,ℓ,m,n) e (k,ℓ,m,n,p) será dividido em dois casos:

1. ladrilhamentos que possuem triângulos equiláteros,
2. ladrilhamentos que não fazem uso de triângulos equiláteros.

Veja que os casos 1 e 2 são excludentes, ou seja, sua turma terá apenas esses casos para estudar.

Desenhe o triângulo equilátero de vértices A, B, C e a disposição dos outros ladrilhos em torno dele, conforme ilustrado na figura 1:

Figura 1: Os tipos dos vértices A e B são equivalentes, se compararmos a figura do item (a) com a do item (b), seguindo a orientação das setas.

Agora mostre que, fazendo pequenos percursos circulares em torno dos vértices A e B, ambos possuem vértices do tipo (3,ℓ,m,n), e que, observando a figura 1, o vértice C é do tipo (3,ℓ,m,ℓ), como mostra a figura 1 (a), ou do tipo (3,n,m,n), conforme figura 1 (b). Como o vértice C precisa ser do mesmo tipo dos vértices A e B para atender à terceira condição de bom comportamento, então conclua que, necessariamente, ℓ = n.

Relembre que uma condição para a existência do ladrilhamento é que a soma dos ângulos internos dos polígonos que concorrem em cada vértice deve ser igual à medida do ângulo de uma volta completa, ou seja, 360º. Relembre também que, se um polígono regular tem n lados, então, cada ângulo interno a_n é dado pela igualdade a_n=180^o (n-2)/n.

Utilizando a expressão anterior e voltando ao ladrilhamento de padrão (3,n,m,n), deveremos ter  a₃+2 a_n+a_m=360^o. Como  a₃=60^o segue que 2 a_n+a_m=300^o.

Você poderia usar o mesmo raciocínio da aula “Ladrilhamento do plano: ângulos internos e ladrilhos de três em três”. Porém, sugerimos que você proponha uma abordagem diferente nessa aula. Dessa vez, atribua valores para o polígono de n lados e, usando a expressão acima, encontre, junto com seus alunos, os valores do polígono de m lados correspondente, da seguinte forma:   

Comentário: Faça esse estudo caso a caso, pausadamente, de modo que sua turma acompanhe todo o desenvolvimento matemático.

Se n = 3, a_n = 60°, e então a_m = 300° – 120° = 180°. Conclua que esse caso é impossível, pois pela definição de polígono convexo todos os seus ângulos internos devem ser menores que 180°.

Se n = 4, a_n = 90°, e então a_m = 300° - 180° = 120°, que é o ângulo interno de um hexágono regular. (Esse é o primeiro caso possível)

Se n = 5, a_n = 108°, e então a_m = 300° - 216° = 84°. Mostre que esse caso também é impossível de ocorrer, pois nenhum polígono regular possui ângulos internos com essa medida.

Se n = 6, a_n = 120°, e então a_m = 300° – 240° = 60°, que é o ângulo interno de um outro triângulo eqüilátero. (Esse é o segundo caso possível)

Se n = 7, a_n = 128,57°, e então a_m = 300° – 257,14° = 42,86°. Conclua que esse caso também é impossível, pois não existe polígono regular que possua ângulo interno menor que 60°.

Diante disso, mostre que se n ≥ 7, então a_n > 120° e a_m < 60°, o que é impossível, pois o menor polígono regular que existe possui a medida de cada um de seus ângulos internos igual a 60°.

Você irá concluir que os ladrilhamentos bem- comportados possíveis que possuem padrão da forma (3,ℓ,m,n), onde ℓ = n, são (3,4,6,4) e (3,6,3,6).

Para finalizar o estudo do padrão de ladrilhamento (k,ℓ,m,n), mostre que, se esse padrão não fizesse uso de triângulos eqüiláteros, o polígono regular com o segundo menor número de lados seria o quadrado, que possui ângulo interno igual a 90°. E, considerando que os  ladrilhamentos são bem-comportados, a soma dos ângulos adjacentes a cada vértice será 360°.

Mostre que a única alternativa que atende às regras de bom comportamento é o ladrilhamento regular (4,4,4,4). Ele é o único desse padrão que é constituído por quatro polígonos com número par de lados. Ressalte que se substituirmos pelo menos um quadrado por um pentágono, por exemplo, o valor da soma dos ângulos internos adjacentes ao vértice já seria maior que , o que não atende à segunda regra de bom comportamento.

Terceiro momento - Analisando ladrilhamentos formados com mais de quatro polígonos ao redor de cada vértice.  

A discussão anterior permitiu a classificação de todos os ladrilhamentos do plano constituídos de quatro polígonos regulares. O próximo passo é tentar classificar todos os ladrilhamentos do plano constituídos de cinco polígonos regulares.

Esses ladrilhamentos necessariamente contêm triângulos. Do contrário, a soma dos ângulos internos ao redor de cada vértice seria maior do que 360º.

Mais uma vez, desenhe o triângulo equilátero de vértices A, B, C e a disposição dos outros ladrilhos em torno dele, conforme ilustrado na figura 2:

Figura 2: Apesar de estarem em sentidos diferentes, comparando a figura do item (a) com a do item (b), concluímos que os tipos de vértice A e B são equivalentes.  

Mostre que, fazendo pequenos percursos circulares em tornos dos vértices A e B, ambos possuem vértices do tipo (3,ℓ,m,n,p), e que, observando a figura 2, o vértice C é do tipo (3,ℓ,m,n,ℓ), como mostra a figura 2 (a), ou do tipo (3,p,m,n,p), conforme figura 2 (b). Como o vértice C precisa ser do mesmo tipo dos vértices A e B para atender à terceira condição de bom comportamento, então conclua que, necessariamente, ℓ = p.

Essa análise assegura que os possíveis ladrilhamentos de padrões (3,ℓ,m,n,p) são, na realidade, de padrões (3,p,m,n,p). Basta pesquisar quais são os demais polígonos que constituem esse padrão de ladrilhamento.

Nessa etapa da aula, cabe ressaltar que tais ladrilhamentos têm que ter no mínimo três triângulos. Caso contrário, teremos duas opções:

• Se esse ladrilhamento tiver entre seus componentes apenas um triângulo, a soma dos ângulos internos dos polígonos em torno do vértice seria no mínimo igual a 420º. Nesse caso, ele seria formado, no mínimo, por um triângulo e quatro quadrados, formando o padrão (3,4,4,4,4);
• Se fosse formado com apenas dois triângulos, a soma dos ângulos deles e dos demais polígonos em torno de cada vértice seria no mínimo igual a 390º, pois seria formada por dois triângulos e três quadrados, formando o padrão (3,3,4,4,4).   

Como as duas opções não atendem às regras de bom comportamento, tais ladrilhamentos têm pelo menos três triângulos em sua composição. Sendo ele de padrão (3,p,m,n,p) só restam duas possibilidades de padrões: (3,3,m,n,3)  e  (3,p,3,3,p).

Convide os alunos a utilizarem o método de hipóteses, estudado no segundo momento dessa aula, para descobrir quais são ladrilhamentos de padrões (3,3,m,n,3) e  (3,p,3,3,p) que atendem às regras de bom comportamento.

Você pode dividir a turma em grupos e orientar esse estudo seguindo o roteiro “Ladrilhamentos (3,ℓ,m,n,p): analisando ladrilhos de cinco em cinco”, disponível nessa aula. Durante a realização deste tipo de atividade, é interessante que cada aluno responda seu próprio material, pois este servirá de fonte de consulta no futuro. Além disso, o preenchimento do roteiro mantém a atenção de todos na atividade.

Não se esqueça de orientar os alunos para que leiam as instruções de cada etapa e que registrem os dados no roteiro. Afirme a importância do debate entre os membros do grupo sobre as respostas de cada questão. Se você achar que seus alunos não possuem autonomia para iniciarem sozinhos o desenvolvimento matemático, explique o procedimento antes que eles comecem a fazer o trabalho.

Conclua essa atividade mostrando que os únicos ladrilhamentos bem-comportados com cinco polígonos em torno de cada vértice são os de padrões (3,3,3,4,4), (3,3,3,3,6) e (3,4,3,3,4).

Seria interessante chamar a atenção de sua turma para o fato de que os ladrilhamentos (3,4,3,3,4) e (3,3,3,4,4), apesar de serem formados pelos mesmos polígonos regulares (três triângulos e dois quadrados), constituem ladrilhamentos de padrões diferentes.    

Para finalizar essa aula, mostre que o único caso de ladrilhamento “bem-comportado” formado com seis polígonos regulares é o de padrão (3,3,3,3,3,3), constituído por seis triângulos equiláteros. Como o triângulo equilátero é o polígono regular de menor ângulo interno, qualquer outro ladrilhamento com seis polígonos, diferente deste, terá um polígono regular com ângulo interno maior do que 60º, o que seria suficiente para a soma dos ângulos adjacentes ao vértice ser maior do que 360º, impossibilitando a existência de tais ladrilhamentos.

Portanto, conclua que o único ladrilhamento “bem-comportado” do plano possível, constituído por seis polígonos regulares, é o de padrão (3,3,3,3,3,3). E, consequentemente, não existem ladrilhamentos do plano constituídos por sete ou mais polígonos regulares que atendam às três regras de bom comportamento.

Roteiro: Ladrilhamentos (3,ℓ,m,n,p):  analisando ladrilhos de cinco em cinco

 Identifique sua instituição: Nome do Colégio

Professores envolvidos: Disciplinas:

Aluno(a):_________________________________Turma:______Grupo:______

Ladrilhamentos (3,ℓ,m,n,p):  analisando ladrilhos de cinco em cinco

Introdução: Analisaremos geometricamente os padrões de ladrilhamento (3,3,m,n,3)  e  (3,p,3,3,p).

Procedimento:   

Etapa 1 - analisando o padrão de ladrilhamento (3,3,m,n,3)    

Sabendo que a soma dos ângulos internos adjacentes aos vértices de um ladrilhamento “bem-comportado” tem que ser igual a 360º para atender às regras de bom comportamento, descubra quais são os polígonos representados pelas letras m, n no ladrilhamento de padrão (3,3,m,n,3) para que ele seja considerado “bem- comportado”.

Etapa 2-  Analisando o padrão de ladrilhamento (3,p,3,3,p)   

Sabendo que a soma dos ângulos internos adjacentes aos vértices de um ladrilhamento “bem-comportado” tem que ser igual a 360º para atender às regras de bom comportamento, descubra qual é o polígono representado pela letra p no ladrilhamento de padrão (3,p,3,3,p) para que ele seja considerado bem-comportado.

[1] Software livre de desenho geométrico www.geogebra.org  

[2]http://matematica.incubadora.fapesp.br/portal/textos/matematicaladrilhos/ladrilhamentos.pdf 

[3] Revista do professor de Matemática Nº 40 e Nº70 – ISSN 0102-4981

A avaliação dessa aula pode ser feita através da análise das respostas às perguntas feitas pelo professor. O professor pode avaliar o que os alunos aprenderam na aula anterior no momento de recapitular as aulas "A arte no plano: confeccionando ladrilhos e construindo ladrilhamentos" e “Ladrilhamento do plano: ângulos internos e ladrilhos de três em três”. Além disso, o professor pode avaliar o acompanhamento e o envolvimento dos alunos nas discussões. Pode ainda avaliar os alunos por meio das respostas, dúvidas e questões que surgirem na realização do roteiro “Ladrilhamentos (3,ℓ,m,n,p) :  analisando ladrilhos de cinco em cinco”, desenvolvido nessa aula.