Analisar os elementos necessários para a definição de um plano.

Analisar as posições que um plano pode assumir em relação a um ou mais referenciais.

Identificar os elementos suficientes para a definição do plano

A aula se desenvolverá de forma mais consistente se os alunos conhecerem as posições relativas entre retas e o conceito de retas coplanares.

Em geral, os alunos costumam associar ao plano uma posição de repouso ou estabilidade, tomando como referências principais a horizontalidade e a verticalidade expressas, respectivamente, em pisos e paredes, por exemplo. As superfícies onde são desenvolvidas as atividades em sala – a carteira, no caso do aluno, e o quadro de giz, no caso do professor – que seguem esse mesmo padrão, reforçam essa percepção, embora, por outro lado, também possibilitem a identificação intuitiva dos elementos que definem um plano.

Atividade 1

Divididos em grupos, os alunos deverão representar, sobre um suporte plano, elementos suficientes para a definição dessa superfície.

Para explorar as possibilidades advindas dessa noção intuitiva do que seja um plano, e, ao mesmo tempo, para introduzir novos referenciais no estudo dos elementos que definem um plano, o professor deverá iniciar a aula propondo uma atividade prática, dividindo a turma em grupos de, pelo menos, três elementos. A cada grupo deverão ser serão entregues os seguintes materiais:

- Dois pedaços de barbante ou corda fina, com 1,5 metros cada.

- Uma cartolina ou uma folha de papel cartão.

- Três bastões de giz de cera, preferencialmente de cores diferentes.

- Fita adesiva (poderá ser compartilhada – não é necessário um rolo por grupo)

(Se a escola não dispuser desses materiais, o professor deverá solicitar, na aula anterior a esta, que os alunos o providenciem. Nesse caso, sugerimos que os grupos também sejam previamente formados, de modo que seus integrantes possam se organizar para a aquisição do material).

De posse dos materiais necessários, os alunos deverão ser orientados a representar, livremente, sobre a cartolina, os elementos que julgarem suficientes para definir o plano constituído pelo papel.

Para direcionar a atividade e assegurar a seriedade de sua realização, o professor deverá convidar cada grupo a apresentar seu trabalho para os demais colegas, justificando os traçados executados.

Ao fim das apresentações, sugerimos ao professor listar no quadro os elementos relacionados pelos grupos como suficientes para a definição do plano. Esse procedimento permitirá objetivar a atividade seguinte, suprimindo informações redundantes.

Atividade 2

Os alunos deverão analisar e identificar as relações existentes entre elementos do plano que possibilitam a definição deste.

A segunda atividade, embora dispense alguns formalismos teóricos, permitirá aos alunos compreenderem claramente o porquê dos elementos considerados suficientes para a definição do plano.   

Tendo como referência a totalidade de linhas traçadas no papel, cada grupo deverá escolher três pontos, bem distribuídos e não colineares, sobre a cartolina. Os pontos poderão estar dispostos sobre uma mesma linha curva – desde que atendam à condição anterior – ou localizados em linhas diferentes.

Tomando, inicialmente dois dos pontos marcados, os grupos deverão afixar sobre estes, com a fita adesiva, o primeiro pedaço de barbante.

Em seguida, o professor deverá solicitar aos alunos que estiquem firmemente o cordel e virem a cartolina de modo que fique apoiada horizontalmente sobre ele.  De imediato os alunos perceberão que o barbante – que representa uma reta – não é suficiente pra manter a folha paralela ao chão, posição que descreveria um determinado plano.

A oscilação da cartolina em torno do barbante – assim como uma gangorra em torno de seu eixo – remete à ideia de que por uma mesma reta podem passar inúmeros planos, cujas descrições se dão em função de um – nesse caso, o chão – ou mais referenciais.

O próximo passo será solicitar aos alunos que afixem o segundo pedaço de barbante na cartolina, de modo que, obrigatoriamente, contenha o ponto externo à reta representada pelo primeiro cordel.  O grupo poderá optar livremente pelo segundo ponto de fixação, que poderá, inclusive, ser um dos utilizados para prender o primeiro barbante.  

Completada a fixação do segundo barbante, a cartolina deverá, novamente, ser girada de forma a apoiar-se sobre os barbantes distendidos.

Diante do resultado verificado na experiência, o professor  deverá solicitar aos alunos que reflitam sobre as seguintes questões:

- Na segunda etapa da experiência anterior, o plano representado pela cartolina adquiriu uma posição horizontal estável, por equilibrar-se sobre os barbantes distendidos. Se os barbantes fossem movidos de modo a assumirem alturas diferentes entre si, ainda que se conservem paralelos ao chão, a cartolina terá sua posição relativa ao solo alterada?

-  Seria correto afirmar que a partir de duas retas distintas – representadas pelos barbantes – é possível descrever (e controlar a posição) de um único plano – cartolina?

-  Quantos pontos foram empregados para definir as direções dos barbantes? Que posições relativas os barbantes podem assumir entre si?

Atividade 3

Os alunos deverão analisar como a alteração posicional dos elementos suficientes para a definição do plano acarretam na variação da posição deste em elação a um referencial dado.

As respostas a essas perguntas subsidiarão a última atividade proposta para a aula. Nela, os alunos deverão identificar, com suas próprias palavras, como a variação de posição ou coordenadas dos elementos mínimos para a definição de um plano interferem em sua posição relativa a um referencial determinado (o chão da sala, nesse caso). Em seguida, deverão apresentar suas conclusões para a turma. Com base nestas, o professor deverá , para finalizar a aula, estabelecer formalmente, e com os termos apropriados, o conjunto mínimo de elementos necessários para a definição de um plano, analisando as posições que este pode assumir em relação a um sistema formado por dois planos ortogonais (chão e parede).

A sequência completa de ilustrações da atividade 2 encontra-se no endereço:

http://www.4shared.com/document/1ZI2eXfm/Elementos_que_definem_um_plano.html 

Para obter mais informações relativas ao conteúdo da aula, o professor poderá acessar os sites:

http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial3.php 

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/geometria/geo-basico.htm 

http://www.desenhoprojetivo.pro.br/menugd.htm 

http://mathworld.wolfram.com/Plane.html 

A avaliação da aula deverá considerar, principalmente, a participação dos alunos na atividade prática e a desenvoltura por eles demonstrada em estabelecer relações entre elementos concretos e aspectos conceituais.