Esta aula se insere em um bloco de três aulas que denominamos “Despoluição de um lago”, pertinentes ao primeiro módulo do Matem@tica na Pr@tica, um curso de especialização em matemática inserido no Plano de Ações Articuladas do MEC. As aulas pretendem organizar um ambiente provocador de aprendizagem e explorar as potencialidades pedagógicas da modelagem matemática. Nosso objetivo geral é abordar conteúdos como progressões geométricas, logaritmos, funções exponenciais, entre outros. Propomos uma atividade experimental como desencadeadora do processo, pois acreditamos que esse tipo de atividade possibilita momentos de reflexão e cooperação entre os alunos, além do aspecto lúdico e motivador que uma simulação permite desenvolver. Caso você tenha interesse em conhecer o bloco como um todo, as aulas estão organizadas na seguinte sequência: 1- "Modelando o processo de despoluição de um lago através de um experimento prático"; 2- "Poluição de lagos: modelagem matemática, progressões geométricas e logaritmos"; 3- " Poluição de lagos: modelagem matemática, funções exponeciais e gráficos".

Nesta primeira aula que inicia o bloco, nosso objetivo é realizar experimentos simulados de despoluição de um lago-modelo utilizando os diferentes tipos de registro e sistematização dos dados (tabela, gráfico e algébrico). Através desses registros, pretendemos chegar a elaboração da fórmula do termo geral de uma progressão geométrica (PG).

Para esta aula, é importante que os alunos entendam multiplicação de números racionais, medidas de volumes, utilização de tabelas para organizar dados, conhecimentos sobre variáveis dependentes e independentes.

Estratégias

• Aula experimental com sugestão de roteiro no final

Recursos

• Roteiro para a realização do experimento “Simulando um lago em processo de despoluição”
• Material para a realização do experimento

Atividades

Esta aula está dividida em três momentos. Em um primeiro momento sugerimos uma discussão sobre os problemas ambientais atuais e os processos de poluição e despoluição da água. Acreditamos que essa discussão motivará os alunos para a atividade experimental que vem a seguir. Após esta discussão, sugerimos a realização do experimento: uma simulação da despoluição de um lago, a coleta e a sistematização de dados. Para finalizar, em um terceiro momento sugerimos a discussão dos resultados do experimento com a turma e, a partir deles, uma abordagem do conceito de progressão geométrica.

Primeiro momento – Motivação para o experimento: a poluição no mundo atual

A primeira atividade desta aula consiste em um debate sobre o problema da poluição de ambientes naturais. Como nesta aula sugerimos a utilização de um experimento empírico que se propõe a simular a despoluição de um lago, seria interessante que antes do experimento, os alunos debatessem aspectos relacionados à questão ambiental.

É importante que os alunos compreendam que na natureza este processo de despoluição é promovido pelas algas e bactérias presentes no ecossistema. A ilustração a seguir traz um resumo dos aspectos mais importantes do processo de despoluição na natureza.

Figura 1: Representação do processo de despoluição natural em um ambiente aquático.

Utilize um momento para fechar esta discussão antes de propor a simulação experimental e valorize a participação do seu aluno.

Segundo momento – Simulando um lago em processo de despoluição

Nesta atividade sugerimos a realização de um experimento em grupo. Para a realização deste experimento, sugerimos que o professor, antes da aula, solicite a cada grupo de alunos que organize um kit com os materiais necessários para experimentação. O Kit deve conter os materiais descritos no roteiro disponível como recurso 1. Repare que estes materiais são de fácil acesso (garrafas pet, copo plástico, balde, café preparado, água e colher).

Leia o roteiro e veja se está adequado as necessidades da sua turma, caso contrário antes de levar para sua classe faça as alterações necessárias. Antes de realizar este experimento com seus alunos, não deixe de testá-lo, fazendo o experimento você mesmo antes da aula.

Terceiro momento – Revendo os resultados e socializando o conhecimento

Este terceiro momento pode ser considerado um fechamento, mas também poderá ser o desencadeador de estudos sobre progressões geométricas.

Inicialmente promova uma correção em conjunto onde cada grupo possa socializar as respostas das questões que estão no roteiro. Neste momento, você assumirá o papel de mediador e fará as intervenções necessárias para que os grupos percebam os possíveis equívocos e para que possam alcançar os objetivos da atividade proposta.

Vamos refletir sobre as questões do roteiro?

Com as questões 1 (Qual o volume total, em mililitros, do nosso lago modelo (Recipiente B)?) e 2 (Quantos mililitros de poluente existem no nosso lago modelo?) os alunos deverão ser capazes de refletir sobre a unidade de medida utilizada na simulação (mL). Ou seja, perceberão que o lago tem o volume correspondente a 2000 mL, sendo que 200 mL correspondem ao poluente depositado nele.

Na questão 3, os alunos deverão sistematizar os dados na tabela. Nesse momento, o professor pode explicar que esse é um dos recursos que podemos utilizar para registrar e organizar os dados coletados a partir de um experimento, reforçando que esta organização é muito importante.

A partir das respostas da questão 4 (Na segunda troca, retiramos mais dois copos de água poluída e colocamos mais dois copos de água limpa no lago modelo. A quantidade de poluente retirado é a mesma que da primeira vez? Explique sua resposta com dados numéricos), procure levar seus alunos a compreender que ao substituir água poluída por água limpa, estamos diminuindo a quantidade de poluente a cada período de vinte e quatro horas.

Os dois copos de água poluída que são retirados, correspondem a um quinto do volume total. Professor, na realização desta simulação, estamos considerando uma hipótese simplificadora: OS ORGANISMOS VIVOS DO LAGO PURIFICAM 1/5 (OU SEJA 20%) DA QUANTIDADE DE POLUENTE NO LAGO, DURANTE QUALQUER PERÍODO DE 24 HORAS. Tal hipótese nos permite obter dados mais fáceis de calcular. Embora o volume de água do lago continue o mesmo em cada etapa, o volume de poluente diminui sempre 20% do restante na etapa anterior. No momento de discussão da aula, esta questão deve estar clara para os alunos.

Assim, na etapa 1 será reduzido 40 mL de poluente, mas na segunda etapa serão reduzidos apenas 32 mL, que correspondem a um quinto dos 160 mL restantes da primeira etapa. Essa situação se repetirá a cada etapa, e por este motivo o lago nunca ficará completamente despoluído.

Na questão 5 (Utilizando os dados da tabela anterior construa o gráfico da quantidade de poluente a(n) em função do número de trocas n.), é importante observar que n só pode assumir valores inteiros, pois representa o número de trocas de água. Por isso, não faz sentido ligar os pontos no gráfico. Essa discussão será aprofundada na aula 3 deste bloco de aulas.

Na questão 6 (Após cinco trocas o lago ficou totalmente despoluído? Haverá algum momento em que o poluente terá sido totalmente eliminado do lago modelo? Justifique sua resposta.), um erro comum é supor que a quantidade de poluente retirada em cada etapa é a mesma e concluir que após cinco trocas o lago ficará despoluído. Aproveite para alertar o aluno que o que é constante é razão entre a quantidade de poluente retirada e a presente em cada etapa. Com base nesta constatação, os alunos deverão chegar à conclusão de que o lago nunca ficará despoluído. Eles também poderão ainda se convencer de que essa resposta está errada se o experimento for repetido cinco vezes.

Por fim, a questão 7 (Tente escrever uma equação com as variáveis registradas na tabela (quantidade de poluente a(n) em função do período n). Explique como você chegou a essa relação matemática.) pode ser abordada de diversas maneiras e os alunos podem chegar a mesma equação por caminhos diferentes. Apresentamos a seguir uma possibilidade de registro que facilitará o encontro do modelo. Você pode mostrá-lo no quadro-negro ao longo da correção do roteiro:

• a(1) = 200 mL

• a(2) = (1 - 1/5) a(1) =  (4/5) a(1) = (4/5) a(1) = 160 mL

• a(3) = (4/5) a(2) = (4/5) (4/5) a(1) = (4/5)² a(1) = 128 mL

• a (4) = (4/5) a(3) = (4/5) (4/5)2 a(1) =  (4/5)³ a(1) = 102,4 mL

• a (5) = (4/5) a(4) = (4/5) (4/5)3 a(1) =  (4/5)⁴ a(1) = 81,92 mL ...

Observe que na etapa 2 o expoente do (4/5) é 1. Na etapa 3 o expoente é 2, na etapa 4 o expoente é 3 e na etapa n podemos representar o expoente como n-1. Logo

• a (n) = (4/5)^n-1 . 200, para n variando em n=1,2,3,4...

Você pode fazer com que seus alunos percebam que a (n) = (4/5)^n-1 . a (1), para n variando em n=1,2,3,4...

Com esta expressão algébrica, você pode explicar para os alunos que eles conseguiram construir um modelo matemático que descreve a despoluição de um lago-modelo. Além disso, deve explicar também que este modelo é uma progressão geométrica de razão 4/5 e termo inicial a(1), debatendo brevemente o comportamento gráfico da mesma a partir do gráfico construído pelos alunos.

Roteiro “Simulando um lago em processo de despoluição”

Identifique sua instituição: Nome do Colégio

Professor:

Aluno(a):_________________________________Turma:______Grupo:______

Simulando um lago em processo de despoluição

Introdução:

Construiremos um lago modelo poluído e o processo de despoluição será realizado trocando-se água poluída por água limpa. Essa troca representará a ação dos microrganismos no ambiente.

Materiais:

• Dois vasilhames transparentes com capacidade superior a 2 litros (você pode usar garrafas pet de 2,5 ou 3 litros);
• Dois copos comuns com capacidade de 200 mL (copos descartáveis utilizados em festas podem servir a este propósito);
• Um copo (200 mL) de café preparado;
• Quatro litros de água limpa;
• Um recipiente para descarte da água usada (um balde pode servir a este propósito).

Procedimento:   

Etapa Preparando o poluente no vasilhame (A)

Pegue um dos vasilhames transparentes e despeje nele um litro de água. Depois acrescente 200 mL de café preparado e misture bem. Deixe separado. Este é o poluente.

Etapa 2- Construindo o lago modelo no vasilhame (B)

Para simular o processo de poluição do lago, pegue o vasilhame (B) vazio e despeje nele nove copos (200 mL cada) de água limpa. Pegue um copo de poluente (vasilhame A) e acrescente ao mesmo vasilhame (B) que contém a água limpa. Misture bem e reserve!

Registro:

1) Qual o volume total, em mililitros, do nosso lago modelo (Recipiente B)?

2) Quantos mililitros de poluente existem no nosso lago modelo?

Etapa 3 - Observando o processo de despoluição

Agora que já temos um lago poluído, o processo de despoluição será realizado da seguinte maneira:

• Remova dois copos de água do lago modelo (vasilhame B) e descarte no recipiente vazio (aquele que é reservado para descarte de água usada).
• Recipiente B Acrescente dois copos de água límpida no lago modelo (vasilhame B).

• Registre, a cada passo, a quantidade de poluente restante no lago modelo na tabela a seguir

3) Registre seus dados na Tabela

A segunda coluna da tabela representa a quantidade de poluente, em mililitros, restante no lago. Não esqueça que você a cada etapa está retirando água poluída, mas também está acrescentando água limpa!

4) Na segunda troca, retiramos mais dois copos de água poluída e colocamos mais dois copos de água limpa no lago modelo. A quantidade de poluente retirado é a mesma que da primeira vez? Explique sua resposta  com dados numéricos.

5) Utilizando os dados da tabela anterior construa o gráfico da quantidade de poluente a(n) em função do número de trocas n. Não se esqueça de utilizar escala e de colocar legenda!

6) Após cinco trocas o lago ficou totalmente despoluído? Haverá algum momento em que o poluente terá sido totalmente eliminado do lago modelo? Justifique sua resposta.

7) Tente escrever uma equação com as variáveis registradas na tabela (quantidade de poluente a(n) em função do período n). Explique como você chegou a essa relação matemática.

Endereços eletrônicos com algumas histórias de poluição e despoluição para utilizar na discussão: 

• A história do rio Tietê  (São Paulo - SP) http://www.cetesb.sp.gov.br/Institucional/tiete/tiete.asp    
• A história da Baía de Guanabara (Rio de Janeiro - RJ) http://www.portalbaiadeguanabara.org.br/portal/exibe_sub.asp?id_sub=50 

A avaliação será contínua e envolverá a participação dos alunos, a análise das pesquisas e seus registros, bem como, as respostas às perguntas do roteiro.

No processo de avaliação, é importante que o professor considere o erro não como uma forma de rotular ou classificar o aluno e sim como uma oportunidade valiosa para a construção contínua do conhecimento. Acreditamos que com o trabalho em grupo e com o uso de materiais concretos os alunos não se sentem inferiorizados quando erram; simplesmente reconhecem que uma suposição errada não pode se manter, se ela não corresponder à realidade. Há assim, um processo de meta-cognição, no qual o próprio aluno avalia seu desempenho a partir das discussões com o grupo.

Você pode também propor outros problemas semelhantes para avaliação, nos quais os alunos, a partir das informações do problema, montem tabelas, gráficos e encontrem a lei de formação.